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首先定义几个概念:
1,卷积:
设是两个数论函数(也就是说,以自然数集为定义域的复数值函数),则卷积运算定义为
可以证明,卷积运算满足:
1)交换律:
由定义显然。
2)结合律:
考察两边作用在上,左边是
右边是
故两边相等。
3)存在单位元使得
我们需要
故不难猜到应该定义为
事实上,直接验证可得
以上说明数论函数在卷积意义下构成一个交换群。
2,乘法单位元
上面的是数论函数在卷积意义下的单位元,而普通乘法意义下的单位元显然是把所有自然数都映到1的函数,记作。
3,莫比乌斯函数在卷积意义下的逆元,称为莫比乌斯函数。也就是说是满足
的唯一的数论函数。
把这个表达式写开就是
…………(*)
通常,莫比乌斯函数定义为
;
,如果能写成个不同素数之积;
,其他情况。
按照这种定义不难证明(*)式。
对于,(*)式成立;
对于,用算术基本定理把写成
于是
现在来看看莫比乌斯反演说的是什么呢?
当且仅当
换而言之,
证明:
反之
作者:Syu Gau
链接:https://www.zhihu.com/question/23764267/answer/26007647
来源:知乎
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