1.什么是快速幂

快速幂，是指在进行幂运算的时候，用一种快速方法得出答案。比如，要求2^100的值，那按照最简单的方式，就是一个一个2去相乘，然后最终得到答案，那么这样就要计算100次，非常浪费时间，那么快速幂就是使用一种技巧使得将其计算次数减少，快速得到答案。

2.快速幂的“小数”运算

对于系统内置类型的整型，暂且叫他“小数”，这个时候进行快速幂运算，代码如下:

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;
const long long int mod = 1000000000007;   //对答案取模
int main()
{ 
   
	long long int n;
	long long int ans = 1;
	long long int temp = 2;
	cin >> n;   //求2的n次方
	printf("2的%lld次幂对对1000000000007取模的最终值是：", n);
	while (n > 0)  //快速幂模板
	{ 
   
		if (n%2 == 1)
			ans = (ans%mod * temp%mod) % mod;
		n /= 2;
		temp = (temp % mod * temp % mod)%mod;
	}
	printf("%lld",ans%mod);
	return 0;
}

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那么快速幂的原理是什么呢？
用一张图来表示
在这里插入图片描述

3.高精度（大数）的快速幂

上面的代码发现当n的值稍微大一点就不行了，但是用高精度运算就不要有这种限制。下面是代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;

long long int ans[100000];  //存放答案
long long int temp[100000];  //存放2的2^n的值
long long int save[100000];    //临时数组

int ans_len = 1;
int temp_len = 1;
void count_1(long long int* ans, long long int* temp)  //计算数组ans*数组temp,实际上就是简单的高精度大数相乘了
{ 
   
	memset(save, 0, sizeof(save));
	for (int i = 0; i < ans_len; i++)  //先不考虑进制
	{ 
   
		for (int j = 0; j < temp_len; j++)
		{ 
   
			save[i + j] += ans[i] * temp[j];
		}
	}
	int weishu_max = ans_len + temp_len;   //最终答案最终这么多位数。可以那9999*9999这种极端证明
	for (int i = 0; i < weishu_max; i++)
	{ 
   
		save[i + 1] += save[i] / 10;
		save[i] %= 10;
	}
	if (save[weishu_max - 1] != 0)  //n位数*m位数要么就是m+n位数，要么就是m+n-1位数
		ans_len = weishu_max;
	else
	{ 
   
		ans_len = weishu_max - 1;
	}
	for (int i = 0; i < ans_len; i++)  //将save的复制给ans
		ans[i] = save[i];
}


void count_2(long long int* temp)   //算2的2^n次方,也就是temp自乘
{ 
   
	memset(save, 0, sizeof(save));
	for (int i = 0; i < temp_len; i++)
		for (int j = 0; j < temp_len; j++)
			save[i + j] += temp[i] * temp[j];
	int weishu_max = temp_len + temp_len;
	for (int i = 0; i < weishu_max; i++)
	{ 
   
		save[i + 1] += save[i] / 10;
		save[i] %= 10;
	}
	if (save[weishu_max - 1] != 0)
		temp_len = weishu_max;
	else
		temp_len = weishu_max - 1;
	for (int i = 0; i < temp_len; i++)
		temp[i] = save[i];

}

int main()
{ 
   
	int n;
	cin >> n;
	ans[0] = 1;
	temp[0] = 2;
	while (n > 0)
	{ 
   
		if (n % 2 == 1)
		{ 
   
			count_1(ans, temp);
		}
		n /= 2;
		count_2(temp);
	}
	for (int i = ans_len-1; i >=0; i--)
	{ 
   
		cout << ans[i];
	}
	return 0;
}

如果用不考虑进制的做法话，实际上求大数还是有一定的限制，因为一个数组元素最多临时保存了n个数相加，如果当这n个数的和大于long long int的范围，那就会出错。那么可以用考虑进制的做法，虽然麻烦一点，但是会完美无缺，具体做法之前的博客都有提到，可以去看一看。实际上也非常简单，写个乘法竖式总结一下规律就可以写了。

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