切比雪夫不等式为_闵可夫斯基不等式和柯西不等式

全栈程序员-用户IM • 2022年10月25日下午11:36 • 未分类

切比雪夫不等式为_闵可夫斯基不等式和柯西不等式一、马尔可夫不等式马尔可夫不等式描述的是非负随机变量绝对位置的概率上限对于非负随机变量X，a>=0，有证明：原式可化为注意到，因为X非负，右边二、切比雪夫不等式切比雪夫不等式描述的是随机变量距期望相对位置偏离的概率上限证明：记右边注意到，在中，，因此有三、柯西-施瓦茨不等式…

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一、马尔可夫不等式（Markov）

马尔可夫不等式描述的是非负随机变量绝对位置的概率上限

对于非负随机变量X，a >= 0，有 $P(X\geq a)\leq \frac{EX}{a}$

证明：原式可化为

$\int_{a}^{\infty}f(x)dx\leq \int_{0}^{\infty}\frac{x}{a}f(x)dx$

注意到，因为 X 非负，右边 $\int_{0}^{\infty}\frac{x}{a}f(x)dx\geq \int_{a}^{\infty}\frac{x}{a}f(x)dx\geq \int_{a}^{\infty}f(x)dx=P(X\geq a)$

二、切比雪夫不等式（Chebyshev）

切比雪夫不等式描述的是随机变量距期望相对位置偏离的概率上限

$P(|X-EX|\geq \varepsilon )\leq \frac{Var(X)}{\varepsilon^2}$

证明：记 $\Phi =\{|x-EX|\geq \varepsilon \}$

$\int_{\Phi}^{ }f(x)dx\leq \frac{E(X-EX)^2}{\varepsilon^2}$

右边 $\frac{E(X-EX)^2}{\varepsilon^2}=\int_{-\infty}^{\infty}(x-EX)^2f(x)dx/\varepsilon^2\geq \int_{{\Phi}^{ }}(x-EX)^2f(x)dx/\varepsilon^2$

注意到，在 $\Phi$ 中， $(x-EX)^2\geq \varepsilon ^2$ ，因此有

$\int_{{\Phi}^{ }}(x-EX)^2f(x)dx/\varepsilon^2\geq \int_{{\Phi}^{ }}f(x)dx$

三、柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz）

柯西-施瓦茨不等式描述的是协方差与方差之间的不等关系

$Cov(X,Y)^2\leq \sigma _{X}^2\sigma _{Y}^2$

证明：上式可化为 $E^2(X-EX)(Y-EY)\leq E(X-EX)^2E(Y-EY)^2$

可以看到组成部分只有 2 个： X-EX 与 Y-EY

因此构造函数 f(t)=E[t(X-EX)+(Y-EY)]^2

=E[(X-EX)^2t^2+2(X-EX)(Y-EY)t+(Y-EY)^2]

显然有 $f(t)\leq 0$ ，所以上述二次函数 $\Delta =4E^2(X-EX)(Y-EY)-4E(X-EX)^2E(Y-EY)^2\leq 0$

即柯西-施瓦茨不等式

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