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一、介绍
差分进化算法是模拟自然界生物种群以“优胜劣汰,适者生存”为原则的进化发展规律而形成的一种随机启发式搜索算法。其保留了基于种群的全局搜索策略,采用实数编码,基于差分的简单变异操作和一对一的竞争生存策略,比遗传算法更简单。同时,差分进化算法独特的记忆能力使其可以动态的跟踪当前的搜索情况,及时调整搜索测量,因此具有较强的全局收敛能力。
目前为止,差分进化算法已经成为一种求解非线性,不可微,多极值和高维复杂函数的一种极其有效的方法。
在优化设计中,差分进化算法与传统的算法相比,具有以下特点:
1.差分进化算法从一个群体即多个点而不是从一个点开始搜索,这也是算法能够以较大的概率找到整体最优解的原因。
2.算法的进化准则是基于适应性信息的,不需要其他的辅助性信息,如要求函数可导,连续等。
3. 差分进化算法具有内在的并行性,适用于大规模并行分布处理,减小时间成本开销。
但缺点为:
1.算法后期个体之间的差异性减小,收敛速度慢,易陷入局部最优。
2.没有利用个体的先验知识,可能较多的迭代次数才能收敛到全局最优
算法框架:
(1)群体初始化
在n维空间里随机产生满足约束条件的M个个体
x i j ( 0 ) = x i j m i n + ( x i j m a x − x i j m i n ) ∗ r a n d ( 0 , 1 ) x_{ij}(0)=x_{ij_{min}}+(x_{ij_{max}}-x_{ij_{min}})*rand(0,1) xij(0)=xijmin+(xijmax−xijmin)∗rand(0,1)
其中, x i j m a x , x i j m i n x_{ij_{max}},x_{ij_{min}} xijmax,xijmin表示第 j j j个染色体的上下界。
(2) 变异
从群体中随机选择三个个体 x p 1 , x p 2 , x p 3 x_{p1},x_{p2},x_{p3} xp1,xp2,xp3且要求 i ≠ p 1 ≠ p 2 ≠ p 3 i\neq p1\neq p2\neq p3 i̸=p1̸=p2̸=p3,则:
h i j ( t + 1 ) = x p 1 j ( t ) + F ∗ ( x p 2 j ( t ) − x p 3 j ( t ) ) h_{ij}(t+1)=x_{p1j}(t)+F*(x_{p2j}(t)-x_{p3j}(t)) hij(t+1)=xp1j(t)+F∗(xp2j(t)−xp3j(t))
如果没有局部优化的问题,变异操作为:
h i j ( t + 1 ) = x b j ( t ) + F ∗ ( x p 2 j ( t ) − x p 3 j ( t ) ) h_{ij}(t+1)=x_{bj}(t)+F*(x_{p2j}(t)-x_{p3j}(t)) hij(t+1)=xbj(t)+F∗(xp2j(t)−xp3j(t))
其中, x p 2 j ( t ) − x p 3 j ( t ) x_{p2j}(t)-x_{p3j}(t) xp2j(t)−xp3j(t)为差异化向量,是差分进化算法的关键;F为变异因子;P1,P2,P3为随机整数,表示个体在种群中的序号; x b j x_{bj} xbj是当前种群中最好的个体,这一步借鉴了当前种群中最好的个体信息,可以大大加快收敛速度
(3) 交叉
交叉操作可以增加群体的多样性
v i j ( t + 1 ) = { h i j ( t + 1 ) , r a n d    l i j ≤ C R h x i j ( t ) , r a n d    l i j > C R v_{ij}(t+1)=\left\{ \begin{array}{c} h_{ij}(t+1),rand\; l_{ij} \leq CR\\ hx{ij}(t),rand\; l_{ij}>CR\ \end{array}\right. vij(t+1)={
hij(t+1),randlij≤CRhxij(t),randlij>CR
CR为交叉因子。
(4) 选择操作
为了确定 x i ( t + 1 ) x_i(t+1) xi(t+1)是否成为下一代的成员,我们需要对目标向量和当前的向量的适应度值进行比较,具体由适应度函数决定:
x i ( t + 1 ) = { v i ( t + 1 ) , f ( v i 1 ( t + 1 ) , . . . v i n ( t + 1 ) ) < f ( x i 1 ( t ) , . . . , x i n ( t ) ) x i ( t + 1 ) , f ( v i 1 ( t + 1 ) , . . . v i n ( t + 1 ) ) ≥ f ( x i 1 ( t ) , . . . , x i n ( t ) ) x_{i}(t+1)=\left\{ \begin{array}{c} v_{i}(t+1),f(v_{i1}(t+1),…v_{in}(t+1)) <f(x_{i1}(t),…,x_{in}(t))\\ x_{i}(t+1),f(v_{i1}(t+1),…v_{in}(t+1))\geq f(x_{i1}(t),…,x_{in}(t)) \ \end{array}\right. xi(t+1)={
vi(t+1),f(vi1(t+1),...vin(t+1))<f(xi1(t),...,xin(t))xi(t+1),f(vi1(t+1),...vin(t+1))≥f(xi1(t),...,xin(t))
通过反复执行步骤(2)到(4),直至达到最大的迭代次数。
二、参数设置
1.变异因子F
变异因子是控制种群多样性和收敛性的重要参数,当F值较小时,种群之间的差异度小,容易使得种群过早的收敛于局部最小值,当F过大时,容易跳出局部最优解,但是收敛速度会减慢。F一般在[0,2]之间取值。
2.交叉因子CR
交叉因子可以控制个体参数的各维对交叉的参与程度,全局搜索和局部搜索能力的平衡。CR越小,种群多样性减小,容易收敛于局部最优解。CR越大,收敛速度变快,但过大,扰动大于群体差异度时,会导致收敛变慢。CR一般取[0,1]之间。
3.群体规模Size
Size一般为5D和10D之间,D时求解的维度。Size越大,获得最优解的概率越大,但计算时间增长。
4.迭代次数G
G 一般作为近化过程的终止条件,G越大,最优解越精准。当然终止条件也可以由适应度函数给出。
三、matlab代码
以函数
f ( x , y ) = − 20 e − 0.2 ( x 2 + y 2 ) / 2 − e ( c o s 2 π x + c o s 2 π y ) / 2 + e f(x,y)=-20e^{-0.2\sqrt{({x^2+y^2})/2}}-e^{({cos2\pi x+cos2 \pi y})/2}+e f(x,y)=−20e−0.2(x2+y2)/2−e(cos2πx+cos2πy)/2+e为例
三维图为:
可见该函数是多极值的。函数全局最优解为max(max(f(x,y)))=-19.2926,使用一般的算法,极易陷入局部的最优解。
使用差分进化算法,结果为-19.2523,与真实值十分的接近。
适应度函数变化曲线为:
matlab代码为:
% clear all;
% close all;
%
size=50;%群体个数
Codel=2;%所求的变量个数
MinX(1)=-5;%未知量范围
MinX(2)=-5;
MaxX(1)=5;
MaxX(2)=5;
G=200;%迭代次数
F=1.2;%变异因子[0 2]
cr=0.8;%交叉因子[0.6 0.9]
%初始化种群
for i=1:1:Codel
P(:,i)=MinX(i)+(MaxX(i)-MinX(i))*rand(size,1);
end
Best=P(1,:);%全局最优个体 之后不断更新
for i=2:size
if(fun_DE(P(i,1),P(i,2))>fun_DE(Best(1),Best(2)))
Best=P(i,:);
end
end
fi=fun_DE(Best(1),Best(2));%不是C语言 一定要记得给初始变量否则程序跑飞
%%进入循环直到满足精度要求或者迭代次数达到
for Kg=1:1:G
time(Kg)=Kg;
%第二步 变异
for i=1:size
r1=1;r2=1;r3=1;r4=1;%使得个体满足变异条件
while(r1==r2||r1==r3||r1==r4||r2==r3||r2==r4||r3==r4||r1==i||r2==i||r3==i||r4==i)
r1=ceil(size*rand(1));%大小匹配
r2=ceil(size*rand(1));
r3=ceil(size*rand(1));
r4=ceil(size*rand(1));
end
h(i,:)=P(r1,:)+F*(P(r2,:)-P(r3,:));
%h(i,:)=Best+F*(P(r2,:)-P(r3,:));
for j=1:Codel %检查是否越界
if(h(i,j)<MinX(j))
h(i,j)=MinX(j);
elseif(h(i,j)>MaxX(j))
h(i,j)=MaxX(j);
end
end
%交叉
for j=1:Codel
temper=rand(1);
if(temper<cr)
v(i,j)=h(i,j);
else
v(i,j)=P(i,j);
end
end
%选择
if(fun_DE(v(i,1),v(i,2))>fun_DE(P(i,1),P(i,2)))
P(i,:)=v(i,:);
end
if(fun_DE(P(i,1),P(i,2))>fi)
fi=fun_DE(P(i,1),P(i,2));
Best=P(i,:);
end
end
Best_f(Kg)=fun_DE(P(i,1),P(i,2));
end
fprintf('最优解结果为%f,%f',Best(1),Best(2));
fprintf('最大函数值为%f',Best_f(Kg));
plot(time,Best_f(time));
适应度函数
function J=fun_DE(x1,x2)
% J=100*(x1^2-x2)^2+(1-x1)^2;
J=-20*exp((0.2*sqrt((x1^2+x2^2)/2)))-exp((cos(2*pi*x1)+cos(2*pi*x2))/2)+exp(1);
end
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