矩阵外积与内积

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一个行向量乘以一个列向量称作向量的内积，又叫作点积，结果是一个数；

一个列向量乘以一个行向量称作向量的外积，外积是一种特殊的克罗内克积，结果是一个矩阵，

假设和b分别是一个行向量和一个列向量，那么内积、外积分别记作和，,为了讨论方便，假设每个向量的长度为2。

注意：外积在不同的地方定义方式不太一样，这里不详细讨论

定义了内积和外积以后，我们讨论矩阵的乘法。矩阵是由向量组成的，因此对矩阵不同角度的抽象，将矩阵乘法转换为向量乘法，可以使我们从不同的角度去理解矩阵的乘法。首先我们可以对于一个矩阵A（假设行和列的大小都是2），我们可以即可以把它看作由两个行向量组成的列向量，

，又可以看作是由两个列向量组成的行量,我们表示列向量，表示行向量

 

这样矩阵A和矩阵B的乘积按照不同的角度就可以组成四种理解方式。

一、 A是由行向量组成的列向量，B是由列向量组成的行向量

                              

此时AB乘积变为了两个新的向量的外积形式，按照外积定义，我们有

注意到这里面每一个都是一个向量，因此就是一个内积,计算结果就是AB矩阵第i行第j列中的元素。因此，我们可以看到，矩阵乘积是两个向量的外积，并且外积矩阵中的每一个元素是一个内积。这种方式是最直接的理解方式。

二、 A是由列向量组成的行向量，B也是由列向量组成的行向量

令C = AB， 我们考虑C的每一个列向量:

同理：

因此，矩阵C的每一个列向量，是A的列向量的一个线性组合，该线性组合中的系数是的各个元素。从这个角度说C的每一列都存在于A的列向量空间内。

三、 A是由行向量组成的列向量，B也是由行向量组成的列向量

类似于上面的情况，不过我们现在考虑C的每一个行向量:

同理：

因此，矩阵C的每一个行向量，是B的行向量的一个线性组合，该线性组合中的系数是的各个元素。从这个角度说C的每一个行向量都存在于B的行向量空间内。

四、 A是由列向量组成的行向量，B也是由行向量组成的列向量

此时AB乘积变为了两个新的向量的内积形式。按照内积定义我们有：

注意到是一个外积形式，因为是一个列向量，是一个行向量，因此C是由各个外积矩阵相加得到的。

 

根据以上分析，我们可以将第一种和第四种方式放到一起，第二种和第三种放到一起分别进行理解。第一种方式先将A抽象为列向量，将B抽象为行向量，从而将矩阵乘法变为了一种外积的形式，而外积矩阵中的每一个元素是一个行向量和一个列向量的内积。这种方式每次得到C的一个元素。

第四种理解方式先将A抽象为行向量，将B抽象为列向量，从而将矩阵乘法变为了一种内积形式，内积的各个组成部分又是一个外积。这种方式每次不是得到C的一个元素，而是将C看作是多个矩阵相加组成的，每次计算得到一个加数矩阵。

第二种方式将矩阵A、B都抽象为行向量，行向量的每个组成是一个列向量，A乘以B的每一个列向量得到一个新的列向量，并且该列向量存在于A的列向量空间内，A乘以B相当于是对A进行了列变换。第三种方式则将A乘以B看作是对B进行了行变换。

如果想对一个矩阵进行行变换，可以左乘一个矩阵；相应的如果想对矩阵进行列变换，可以右乘一个矩阵。这种思想被应用到高斯消元的过程中。

 

最后我们总结一下矩阵C(C=AB)到底是什么，C是一个矩阵，是一个多面孔的矩阵。它既是列向量组成的行向量，每个列向量是A的列空间的线性组合，又是行向量组成的列向量，每个行向量是B的行空间的线性组合；它是一个内积，内积的每个成分是一个外积，同时它又是一个外积，外积矩阵的每一个元素是一个内积。

向量是由n个实数组成的一个n行1列（n*1）或一个1行n列（1*n）的有序数组；

向量的点乘,也叫向量的内积、数量积，对两个向量执行点乘运算，就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作，点乘的结果是一个标量。

点乘公式

对于向量a和向量b：

                                                           

a和b的点积公式为：

要求一维向量a和向量b的行列数相同。

点乘几何意义

点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角，以及在b向量在a向量方向上的投影，有公式：

推导过程如下，首先看一下向量组成：

定义向量：

根据三角形余弦定理有：

根据关系c=a-b（a、b、c均为向量）有：

即：

向量a，b的长度都是可以计算的已知量，从而有a和b间的夹角θ：

根据这个公式就可以计算向量a和向量b之间的夹角。从而就可以进一步判断这两个向量是否是同一方向，是否正交(也就是垂直)等方向关系，具体对应关系为：

     a·b>0    方向基本相同，夹角在0°到90°之间

     a·b=0    正交，相互垂直  

     a·b<0    方向基本相反，夹角在90°到180°之间 

叉乘公式

两个向量的叉乘，又叫向量积、外积、叉积，叉乘的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量组成的坐标平面垂直。

对于向量a和向量b：

a和b的叉乘公式为：

其中：

根据i、j、k间关系，有：

叉乘几何意义

在三维几何中，向量a和向量b的叉乘结果是一个向量，更为熟知的叫法是法向量，该向量垂直于a和b向量构成的平面。

在3D图像学中，叉乘的概念非常有用，可以通过两个向量的叉乘，生成第三个垂直于a，b的法向量，从而构建X、Y、Z坐标系。如下图所示： 

在二维空间中，叉乘还有另外一个几何意义就是：aXb等于由向量a和向量b构成的平行四边形的面积。