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分治算法详解
一、基本概念
在计算机科学中，分治法是一种很重要的算法。字面上的解释是“分而治之”，就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，再把子问题分成更小的子问题……直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并。这个技巧是很多高效算法的基础，如排序算法(快速排序，归并排序)，傅立叶变换(快速傅立叶变换)……
任何一个可以用计算机求解的问题所需的计算时间都与其规模有关。问题的规模越小，越容易直接求解，解题所需的计算时间也越少。例如，对于n个元素的排序问题，当n=1时，不需任何计算。n=2时，只要作一次比较即可排好序。n=3时只要作3次比较即可，…。而当n较大时，问题就不那么容易处理了。要想直接解决一个规模较大的问题，有时是相当困难的.
二、基本思想及策略
分治法的设计思想是：将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之。
分治策略是：对于一个规模为n的问题，若该问题可以容易地解决（比如说规模n较小）则直接解决，否则将其分解为k个规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题形式相同，递归地解这些子问题，然后将各子问题的解合并得到原问题的解。这种算法设计策略叫做分治法。
如果原问题可分割成k个子问题，1<k≤n，且这些子问题都可解并可利用这些子问题的解求出原问题的解，那么这种分治法就是可行的。由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这就为使用递归技术提供了方便。在这种情况下，反复应用分治手段，可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小，最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。这自然导致递归过程的产生。分治与递归像一对孪生兄弟，经常同时应用在算法设计之中，并由此产生许多高效算法。
三、分治法适用的情况
分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征：
1) 该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决
2) 该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质。
3) 利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；
4) 该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子子问题。
第一条特征是绝大多数问题都可以满足的，因为问题的计算复杂性一般是随着问题规模的增加而增加；
第二条特征是应用分治法的前提它也是大多数问题可以满足的，此特征反映了递归思想的应用；、
第三条特征是关键，能否利用分治法完全取决于问题是否具有第三条特征，如果具备了第一条和第二条特征，而不具备第三条特征，则可以考虑用贪心法或动态规划法。
第四条特征涉及到分治法的效率，如果各子问题是不独立的则分治法要做许多不必要的工作，重复地解公共的子问题，此时虽然可用分治法，但一般用动态规划法较好。
四、分治法的基本步骤
分治法在每一层递归上都有三个步骤：
step1 分解：将原问题分解为若干个规模较小，相互独立，与原问题形式相同的子问题；
step2 解决：若子问题规模较小而容易被解决则直接解，否则递归地解各个子问题
step3 合并：将各个子问题的解合并为原问题的解。
它的一般的算法设计模式如下：
Divide-and-Conquer(P)
1. if |P|≤n0
2. then return(ADHOC(P))
3. 将P分解为较小的子问题 P1 ,P2 ,…,Pk
4. for i←1 to k
5. do yi ← Divide-and-Conquer(Pi) △ 递归解决Pi
6. T ← MERGE(y1,y2,…,yk) △ 合并子问题
7. return(T)
其中|P|表示问题P的规模；n0为一阈值，表示当问题P的规模不超过n0时，问题已容易直接解出，不必再继续分解。ADHOC(P)是该分治法中的基本子算法，用于直接解小规模的问题P。因此，当P的规模不超过n0时直接用算法ADHOC(P)求解。算法MERGE(y1,y2,…,yk)是该分治法中的合并子算法，用于将P的子问题P1 ,P2 ,…,Pk的相应的解y1,y2,…,yk合并为P的解。
五、分治法的复杂性分析
一个分治法将规模为n的问题分成k个规模为n／m的子问题去解。设分解阀值n0=1，且adhoc解规模为1的问题耗费1个单位时间。再设将原问题分解为k个子问题以及用merge将k个子问题的解合并为原问题的解需用f(n)个单位时间。用T(n)表示该分治法解规模为|P|=n的问题所需的计算时间，则有：
T（n）= k T(n/m)+f(n)
通过迭代法求得方程的解：
递归方程及其解只给出n等于m的方幂时T(n)的值，但是如果认为T(n)足够平滑，那么由n等于m的方幂时T(n)的值可以估计T(n)的增长速度。通常假定T(n)是单调上升的，从而当 mi≤n<mi+1时，T(mi)≤T(n)<T(mi+1)。
（8）最接近点对问题
（10）汉诺塔
123 345 678 * 3 = 370 037 034
在这里我们可以这样写：
345 * 3 = 1035
678 * 3 = 2034 组合在一起是
369 1035 2034。
（加1，得370） （进1，保留037） （进2，保留034）
值得说明一下：为何1000进制表示出来的数和10进制表示出来的数是一样的，其实不仅如此，100进制 1000进制 乃至10000进制，表示的最后结果都是一样的，不知道你发现了没？
void RandomBigNumFun(int low,int high) //传递参数为底数和指数
{
unsigned int temp[1024] = {0}; //初始化一个数组，用来存放10000进制的数据
temp [0] = low; //初始化第一个元素为需要的值！
int flag = -1; //标记变量，用来指示是否需要往上一位进位，同事保存进多少
unsigned int m_count = 1; //技术变量，计算数组中被占用了多少个元素
int _index,index; //两个循环变量
for(_index = 0;_index <high-1; ++_index) //循环high-1次 因为本身temp[0]= low，
{
for(index = 0; index < m_count ; ++index) //循环m_count次，其实原本可以把整个数组循环完
{ //只不过耗时了，因为实际有值的地方只有m_count个
temp[ index ] *= low;
if(flag != -1) //检测下一位是否溢出，需要向自己进位
{
temp[index] += flag;
flag = -1; //进位之后别忘记把标记在设置为-1
}
if(temp[index] > 9999) //判断是否需要向上一位进位
{
flag = temp[index]/10000 ;
temp[index] %= 10000;
}
}
if(flag != -1)
{
temp[index] += flag;
++m_count;
flag = -1;
}
if(m_count > 1023)
{
printf("数据过大而数组过小，请重置存放数组的大小");
exit(0);
}
}
for(index = m_count-1;index >=0;--index) //这里值得说明，如果该位上是1，则要输出0001，因为是一万进制
{
if(temp[index] < 10)
cout<<"000"<<temp[index];
else if(temp[index] < 100)
cout<<"00"<<temp[index];
else if(temp[index] < 1000)
cout<<"0"<<temp[index];
else
cout<<temp[index];
}
}
其实上述函数需要传递参数进去，这里就传3和2000进去，运行结果如下(大得难以想象)：
#include <iostream>
using namespace std;
inline int Translate(char str)
{
return (str - 48);
}
int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
char NumStr1 [3] = {'2','3','4'};
char NumStr2 [3] = {'4','5','6'};
int temp[3][6] = {0};
signed int flag = -1;
int Temp_x = 0;
int Temp_y ;
int _index,index;
for(_index = 2;_index >= 0 ;--_index) //这里的两重循环是分别赋值到二维数组里面
{
Temp_y = 5 - Temp_x;
for(index = 2;index >= 0;--index,--Temp_y)
{
temp[Temp_x][Temp_y] = Translate(NumStr2[_index]) * Translate(NumStr1[index]);
if(flag != -1)
{
temp[Temp_x][Temp_y] += flag;
flag = -1;
}
if(temp[Temp_x][Temp_y] >= 10)
{
flag = temp[Temp_x][Temp_y]/10;
temp[Temp_x][Temp_y] %= 10;
}
}
if(flag != -1)
{
temp[Temp_x][Temp_y] += flag;
flag = -1;
}
++ Temp_x;
}
int temp_sum[6]={0};
flag = -1;
for(int j=5;j >= 0;-- j) //接下来这个循环是加每一列的数组到最后的结果数组里面
{
for(int i=2;i>=0;--i)
temp_sum[j] += temp[i][j];
if(flag != -1)
{
temp_sum[j] += flag;
flag = -1;
}
if( temp_sum[j] >= 10)
{
flag = temp_sum[j] /10;
temp_sum[j] %= 10;
}
}
flag = -1;
for(int i = 0;i !=6;++ i) //这里是输出结果
cout<<temp_sum[i];
cout<<endl;
system("pause");
return 0;
}
#include <stdio.h>#include <stdlib.h>static int count = -1;void move(char x,char y); // 对move函数的声明 void hanoi(int n,char one,char two,char three) ;// 对hanoi函数的声明\int main(){ int m; printf("请输入一共有多少个板子需要移动:"); scanf("%d",&m); printf("以下是%d个板子的移动方案:\n",m); hanoi(m,'A','B','C'); system("pause"); return 0;}void hanoi(int n,char one,char two,char three) // 定义hanoi函数 // 将n个盘从one座借助two座,移到three座 { if(n==1) move(one,three); else { hanoi(n-1,one,three,two); //首先把n-1个从one移动到two move(one,three); //然后把最后一个n从one移动到three hanoi(n-1,two,one,three); //最后再把n-1个从two移动到three }}void move(char x,char y) // 定义move函数 { count++; if( !(count%5) ) printf("\n"); printf("%c移动至%c ",x,y);}
#include <iostream>
using namespace std;
int binary_sreach(int *array,int len,int elem);
int main(int argc, char* argv[])
{
int a[7] = {1,2,3,6,8,9,99};
cout<<binary_sreach(a,7,6);
system("pause");
return 0;
}
int binary_sreach(int *array,int len,int elem)
{
int low = 0;
int high = len - 1;
int middle;
while (low <= high)
{
middle = (low + high)/2;
if(array[middle] == elem)
return middle;
else if(array[middle] > elem)
high = middle;
else
low = middle;
}
return -1;
}
运行结果也可想而知是3，二分法其实也就这么简单，这里也明显利用了分治的思想！！
分治法是一个非常重要的算法思想，在各种程序设计大赛上经常采用分治思想解答，这里只是列举了一些经典问题的解法，具体问题还需要具体分析，以后我会持续更新，每次遇见就记录下来给大家分享！
发布者：全栈程序员-用户IM，转载请注明出处：https://javaforall.cn/203520.html原文链接：https://javaforall.cn
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