如何理解无偏估计量_无偏估计量是唯一的吗

如何理解无偏估计量_无偏估计量是唯一的吗现实中常常有这样的问题,比如,想知道全体女性的身高均值 ,但是没有办法把每个女性都进行测量,只有抽样一些女性来估计全体女性的身高:那么根据抽样数据怎么进行推断?什么样的推断方法可以称为“好”?1无偏性比如说我们采样到的女性身高分别为:那么:是对 不错的一个估计,为什么?因为它是无偏估计。首先,真正的全体女性的身高均值 ,我们是不知道,只有上帝才知道,在图中就画…

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现实中常常有这样的问题,比如,想知道全体女性的身高均值\mu ,但是没有办法把每个女性都进行测量,只有抽样一些女性来估计全体女性的身高:

如何理解无偏估计量_无偏估计量是唯一的吗

那么根据抽样数据怎么进行推断?什么样的推断方法可以称为“好”?

1 无偏性

比如说我们采样到的女性身高分别为:

\{x_1,x_2,\cdots,x_n\}

那么:

\overline{X}=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}

是对\mu 不错的一个估计,为什么?因为它是无偏估计。

首先,真正的全体女性的身高均值mu ,我们是不知道,只有上帝才知道,在图中就画为虚线:

如何理解无偏估计量_无偏估计量是唯一的吗

我们通过采样计算出\overline{X} :

如何理解无偏估计量_无偏估计量是唯一的吗

会发现,不同采样得到的\bar{X} 是围绕\mu 左右波动的:

如何理解无偏估计量_无偏估计量是唯一的吗

这有点像打靶,只要命中在靶心周围,还算不错的成绩:

如何理解无偏估计量_无偏估计量是唯一的吗

如果用以下式子去估计方差\sigma^2 :

\displaystyle S^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2

根据“为什么样本方差的分母是 n-1?”的解释,就会产生偏差:

如何理解无偏估计量_无偏估计量是唯一的吗

这个偏差经过计算,就是:

\frac{1}{n}\sigma^2

这种偏差就好像瞄准镜歪了,是系统性的:

如何理解无偏估计量_无偏估计量是唯一的吗

就此而言,无偏估计要好于有偏估计。

2 有效性

打靶的时候,右边的成绩肯定更优秀:

如何理解无偏估计量_无偏估计量是唯一的吗

进行估计的时候也是,估计量越靠近目标,效果越“好”。这个“靠近”可以用方差来衡量。

比如,仍然对\mu 进行估计,方差越小,估计量的分布越接近\mu :

如何理解无偏估计量_无偏估计量是唯一的吗

有效估计和无偏估计是不相关的:

如何理解无偏估计量_无偏估计量是唯一的吗

举个例子,从N(\mu,\sigma^2) 中抽出10个样本:

\{x_1,x_2,\cdots,x_n\}

下面两个都是无偏估计量:

\displaystyle T_1=\frac{x_1+x_3+2x_{10}}{4}\quad T_2=\frac{1}{10}\sum^{10}_{i=1}x_i

但是后者比前者方差小,后者更有效。

并且在现实中不一定非要选无偏估计量,比如:

如何理解无偏估计量_无偏估计量是唯一的吗

如果能接受点误差,我倒觉得选择右边这个估计量更好。

3 一致性

之前说了,如果用以下式子去估计方差\sigma^2 :

\displaystyle S^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2

会有一个偏差:

\frac{1}{n}\sigma^2

可以看到,随着采样个数n 的增加,这个偏差会越来越小。那么这个估计就是“一致”的。

如果样本数够多,其实这种有偏但是一致的估计量也是可以选的。

4 总结

判断一个估计量“好坏”,至少可以从以下三个方面来考虑:

  • 无偏

  • 有效

  • 一致

实际操作中,要找到满足三个方面的量有时候并不容易,可以根据情况进行取舍。

文章的最新版本在(可能会有后续更新):如何理解无偏估计量?

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