利用计算机程序快速得到9*9大小数独的解法

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对于 $9 * 9$ 大小的数独游戏，我们可以使用回溯法求得其正确的解，但是，一般的回溯法实现这个过程保证不了时间复杂度，所以我们可以利用二进制压缩的方法来优化其过程。

具体思路如下：

明确数独的约束：

相同一行不能出现重复的数
相同一列不能出现重复的数
同一宫内不能出现重复的数

定义 $r o w [i]$ 数组代表，第 $i, j$ 位置，在 $i$ 行哪些数被占用，用二进制 $1$ 表示没有被占用， $0$ 表示被占用那么最开始 $r o w [i]$ = $111111111$ ，表示行没有数被占用。

定义 $c o l [j]$ 数组代表，第 $i, j$ 位置，第 $j$ 列哪些数被占用，用二进制 $1$ 表示没有被占用， $0$ 表示被占用，那么最开始 $c o l [i]$ = $111111111$ ，表示列没有数被占用。

定义 $c e l l [i / 3] [j / 3]$ 数组代表，第 $i, j$ 格所在的宫中那些数被占用，用二进制 $1$ 表示没有被占用， $0$ 表示被占用，那么最开始 $c e l l [i / 3] [j / 3]$ = $111111111$ ，表示宫中没有数被占用。

然后我们需要初始化上面三个数组，因为一开始的数独游戏位置被一些数占用了，那么这些数的位置就会影响 $r o w [i], c o l [j], c e l l [i] [j]$ 的二进制数，我们需要把相应的数，在二进制数的响应位改变成0，表示这个数在此列或行或宫被占用了。

然后我们利用位运算&对三个数组进行&，就可以得到三个数组都没有被占用的数，然后从其中挑选数，进行回溯法即可得到数独的解。

注意要熟悉： $l o w b i t ()$ 的用法，是取二进制数第一次出现 $1$ 时的大小，例如 $100100$ ，这个数的 $l o w b i t ()$ 就是 $100$ ,在这个程序中他用来取&后的数字的二进制可用数是多少，这个可用数我们也提前预处理，映射到了 $m a p []$ 数组里，然后这个还有一个贪心策略，即当可用数越少答案就越确定，我们用 $o n e s []$ 数组记录一下所有可出现状态的1的数量，1的数量少代表当前位置越确定，这个可以对程序执行很大的优化。

下面以一个数独游戏为例：
被解决的数独游戏：
在这里插入图片描述

程序跑出的解：
输入的时候空位置用.代替即可

可执行代码：

#include <algorithm>
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 9;
int row[N], col[N], cell[3][3], ones[1 << N], map[1 << N], cnt;
char s[N][N];
inline int lowbit(int x) { 

return (x & -x);
}
inline void init() { 

for (int i = 0; i < N; i++)
row[i] = col[i] = (1 << N) - 1;
for (int i = 0; i < 3; i++)
for (int j = 0; j < 3; j++)
cell[i][j] = (1 << N) - 1;
}
inline int get(int x, int y) { 

return row[x] & col[y] & cell[x / 3][y / 3];
}
bool dfs(int cnt) { 

if (!cnt)
return true;
int x, y, mav = 10;
for (int i = 0; i < N; i++) { 

for (int j = 0; j < N; j++) { 

if (s[i][j] == '.') { 

int t = ones[get(i, j)];
if (mav > t) { 

mav = t;
x = i, y = j;
}
}
}
}
for (int i = get(x, y); i; i -= lowbit(i)) { 

int t = map[lowbit(i)];
row[x] -= 1 << t;
col[y] -= 1 << t;
cell[x / 3][y / 3] -= 1 << t;
s[x][y] = '1' + t;
if (dfs(cnt - 1))
return true;
row[x] += 1 << t;
col[y] += 1 << t;
cell[x / 3][y / 3] += 1 << t;
s[x][y] = '.';
}
return false;
}
int main() { 

for (int i = 0; i < N; i++)
map[1 << i] = i;
for (int i = 0; i < (1 << N); i++) { 

int k = 0;
for (int j = i; j; j -= lowbit(j)) { 

k++;
}
ones[i] = k;
}
while (true) { 

for (int i = 0; i < N; i++)
cin >> s[i];
init();
cnt = 0;
for (int i = 0; i < 9; i++) { 

for (int j = 0; j < 9; j++) { 

if (s[i][j] != '.') { 

int t = s[i][j] - '1';
row[i] -= 1 << t;
col[j] -= 1 << t;
cell[i / 3][j / 3] -= 1 << t;
} else { 

cnt++;
}
}
}
dfs(cnt);
for (int i = 0; i < N; i++) { 

for (int j = 0; j < N; j++) { 

cout << s[i][j] << ' ';
}
cout << endl;
}
}
return 0;
}