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一、莫比乌斯反演
莫比乌斯反演公式:
若
则
为什么呢?请看证明:
由于莫比乌斯函数具有性质
∑i|nμ(i)=[n=1] ∑ i | n μ ( i ) = [ n = 1 ]
,因此我们考虑把原式带入:
证毕。
莫比乌斯反演的另一种形式:
若
则
证明过程与上面的相仿。
例题:BZOJ1101
给定 n,m,求∑i=1n∑j=1m[gcd(i,j)=k] n , m , 求 ∑ i = 1 n ∑ j = 1 m [ g c d ( i , j ) = k ] 。
设
则根据莫比乌斯反演定理,
于是变成了一个很显然的整除分块,复杂度
O(Tn−−√) O ( T n )
。
二、二项式反演
若
则
证明如下:
最后一步是逆用二项式定理,展开
(1−1)n−j ( 1 − 1 ) n − j
,发现只有当
n=j n = j
时
0n−j=1 0 n − j = 1
,因此
证毕。
另一种形式:若
则
证明过程与上述过程相仿
例题
染色问题
有n个格子排成一排,用 m(m≥2) m ( m ≥ 2 ) 种颜色染色,求使得相邻格子不能染上相同颜色,且每种颜色都要用上的染色方案数。 (m≤100,000,n≤109) ( m ≤ 100 , 000 , n ≤ 10 9 )
直接计算不好处理,考虑去掉某个限制条件。设 f(m) f ( m ) 为原题答案, g(m) g ( m ) 为相同格子不能染上相同颜色,至多用m种的染色方案,则显然有 g(m)=m(m−1)n−1 g ( m ) = m ( m − 1 ) n − 1 。我们考虑使用 f f 计算出
g
,可以枚举具体使用了哪些颜色,则:
根据二项式反演,我们就可以得到:
于是题目就可以在
O(mlogn) O ( m l o g n )
的时间内解决。
洛谷8月月赛T4
给定一张 n×m(m≥n) n × m ( m ≥ n ) 的棋盘,求在这个棋盘上放置 2n 2 n 个炮使得他们互不攻击的方案数。
(n≤m≤2,000或(m−n≤10且n≤m≤100,000)) ( n ≤ m ≤ 2 , 000 或 ( m − n ≤ 10 且 n ≤ m ≤ 100 , 000 ) )
分析题目,会发现每行必然出现两个炮。由于每列出现的数量也不超过2,考虑把原问题转化为:
给定 1到m共m 1 到 m 共 m 种数字,每种数字有两个。现在将它们组合成 n n 对无序二元组,每个二元组当中两个数字不同的方案数。
原问题不方便直接计算,我们考虑把“每个二元组当中两个数字不同”的限制去掉。但由于原题求的是无序二元组,在不确定每个二元组中数字是否相同的情况下也非常难计算。于是我们把“无序二元组”变为“有序二元组”。
设
f(n,m)为原题答案,g(n,m)
为满足上述条件的方案数。考虑如何求 g(n,m) g ( n , m ) 。
注意到最特殊的情况就是有一些种类的数我们把两个全部选进去了,考虑我们选了多少个这样的数字,又有多少种填入的方案。剩下来的种类中必然是每种选择一个,填入剩下的格子中。于是我们有:
于是
g(n,m) g ( n , m )
便可以在
O(m) O ( m )
的时间内计算出来。但是题目给
m−n≤10 m − n ≤ 10
的条件干什么呢?观察上述算式,会发现若
2i>2n或2n−2i>m−i时A2i2n或A2n−2im−i就为0了 2 i > 2 n 或 2 n − 2 i > m − i 时 A 2 n 2 i 或 A m − i 2 n − 2 i 就 为 0 了
,无需计算。
解上述不等式可以发现
2n−m≤i≤n 2 n − m ≤ i ≤ n
,因此我们只需要在
max(2n−m,0)≤i≤n m a x ( 2 n − m , 0 ) ≤ i ≤ n
的范围中求解即可。
这个范围大小就是
O(m−n) O ( m − n )
级别的了。
我们再考虑如何通过
g(n,m)求出f(n,m) g ( n , m ) 求 出 f ( n , m )
。
f和g f 和 g
之间一个非常大的区别就是要求二元组中的数字是否相同。我们考虑枚举有多少个二元组中数字相同,别忘了还要把无序变为有序。于是可以得到:
于是可以想到二项式反演。但是上面那个算式不方便于反演,我们可以稍微转化一下。
考虑到无论是
f,g f , g
,他们在题目中能够使用到的两个下标差值均为
n−m n − m
。于是令:
在加上组合数的左右值对称,于是上面的算式就变成二项式反演的模型了。
再根据
F,G F , G
的定义,把
f,g f , g
带入得到:
至此,这道题目就可以在
O(min(n,m−n)×n) O ( m i n ( n , m − n ) × n )
的时间内解决了。
三、斯特林反演
第一类斯特林数
第一类斯特林数分为有符号和无符号两种,这里仅讨论无符号的情况。
下面记 s(n,k) s ( n , k ) 为无符号第一类斯特林数。
定义:
也就是说,
有符号第一类斯特林数是
x x
的
n
阶下降幂展开式的系数。
定义:
也就是说,
无符号第一类斯特林数是
x x
的
n
阶上升幂展开式的系数。根据定义,我们可以使用分治NTT在
O(nlog2n) O ( n l o g 2 n )
的时间内预处理出第一类斯特林数。
组合数学性质:
s(n,k) s ( n , k )
表示将
n个数划分为k n 个 数 划 分 为 k
个无区别非空环的方案数。
递推式:
性质:
证明:我们假设一个
1到n排列为p 1 到 n 排 列 为 p
,定义一次置换为将
i位置上的数pi与pi i 位 置 上 的 数 p i 与 p i
位置上的数字交换。则排列可以被划分为若干个环。如2,4,3,1,5,根据置换我们可以把排列分为(2,4,1),(3),(5)三个环。显然的,环的划分与每个排列一一对应,根据第一类斯特林数的组合数学性质,可以证明。
第二类斯特林数
定义: S(n,k) S ( n , k ) 表示将n个数字分为k个无区别非空集合的方案数。
递推式:
根据定义,可以得到如下性质:
这个公式也比较好理解,我们排除掉非空的条件,并且把无区别变为有区别,枚举共有多少个非空集合即可。
于是根据二项式反演,我们可以得到
因为
i i
从0开始和从1开始没有什么区别。观察到最后的形式其实是一个卷积,因此我们可以通过NTT在
O(nlogn)
的时间内预处理数第二类斯特林数。
第二类斯特林数的性质还有一个表述,就是
也就是将
i的上界由k变为n i 的 上 界 由 k 变 为 n
。其实也非常好理解,因为若
i>k,则(ki)=0;若n<k,则对于i>n也有S(n,i)=0 i > k , 则 ( k i ) = 0 ; 若 n < k , 则 对 于 i > n 也 有 S ( n , i ) = 0
,不会影响计算结果。
利用第二类斯特林数的性质,我们可以处理出自然数幂和。
先证明一个引理:
显然,当
n=0 n = 0
时无论
m m
取何非负整数都满足要求,或当
m=0时n
取任何非负整数也满足要求。接下来证明若
n,m和n,m+1满足,则n+1,m+1也满足 n , m 和 n , m + 1 满 足 , 则 n + 1 , m + 1 也 满 足
。
引理得证,接下来开始计算自然数幂和。
由于
(n+1)j+1–––– ( n + 1 ) j + 1 _
是由
j+1 j + 1
个连续整数相乘,必然有一个为
j+1 j + 1
的倍数。因此这种方法可以在
O(k2) O ( k 2 )
的时间内处理出任何模数下的自然数幂和。如果模数类似于998244353,我们可以先用NTT预处理出所有的第二类斯特林数,再预处理出
n+1 n + 1
的下降幂和正整数逆元,可以在
O(klogk) O ( k l o g k )
的时间计算出自然数幂和。
性质应用例题BZOJ2159
给定一棵树,每条边边权为1,对于每个节点 u,求∑i=1ndist(u,i)k u , 求 ∑ i = 1 n d i s t ( u , i ) k 。
考虑应用第二类斯特林数的性质
则对于每个节点,都计算出
∑i=1n(dist(u,i)j) ∑ i = 1 n ( d i s t ( u , i ) j )
即可。我们分两次进行树形dp,第一次统计每个节点和它子树当中所有点的和,记为
f(u,j),则f(u,j)=∑v∈son[u]f(v,j−1)+f(v,j) f ( u , j ) , 则 f ( u , j ) = ∑ v ∈ s o n [ u ] f ( v , j − 1 ) + f ( v , j )
,第二次统计每个节点除子树外的所有节点的和,记为
g(u,j),则g(u,j)=g(fa[u],j)+g(fa[u],j−1)+∑v∈son[fa[u]]且v≠uf(v,j−2)+2f(v,j−1)+f(v,j) g ( u , j ) , 则 g ( u , j ) = g ( f a [ u ] , j ) + g ( f a [ u ] , j − 1 ) + ∑ v ∈ s o n [ f a [ u ] ] 且 v ≠ u f ( v , j − 2 ) + 2 f ( v , j − 1 ) + f ( v , j )
,后面那个求和预处理一下
s(j)=∑v∈son[fa[u]]f(v,j) s ( j ) = ∑ v ∈ s o n [ f a [ u ] ] f ( v , j )
,计算的时候减去自己即可。总复杂度
O(nk+k2) O ( n k + k 2 )
。
反演公式
若
则
其中大写
S S
表示第二类斯特林数,小写
s
表示第一类斯特林数。
证明:
考虑两类斯特林数的性质,有
根据上述等式,我们发现只有当
j=n j = n
时后面算式的值才应当为1,其他时刻全为0.因此:
证毕。
我们其实会发现斯特林反演和二项式反演的形式很像,那二项式反演的第二种形式斯特林反演是否满足呢?满足。
用类似二项式反演的办法可以得到
再次考虑他们的性质,换一种方法可以得到:
仍然会有后面的部分为1当且仅当
j=n j = n
。于是把这个性质带入回去,也就是把上式的
j j
变为
m
,
n n
变为
j
,就会发现只有当
j=m j = m
的时候上式的值才为1.因此
证毕。
例题BZOJ4617
定义两个结点数相同的图G1与图G2的异或为一个新的图G, 其中如果(u,v)在G1与G2中的出现次数之和为1, 那么边(u,v)在G中, 否则这条边不在G中.现在给定s个结点数相同的图G1…s, 设S=G1,G2,…,Gs, 请问S有多少个子集的异或为一个连通图?
直接做是不好做的,我们考虑差分(容斥)。发现节点数很小,于是可以想到去在节点数上面做手脚。定义 f(i)为异或图中连通块个数恰好为i的方案数,g(i)为异或图中连通块个数大于等于i的方案数。考虑怎么求g(i) f ( i ) 为 异 或 图 中 连 通 块 个 数 恰 好 为 i 的 方 案 数 , g ( i ) 为 异 或 图 中 连 通 块 个 数 大 于 等 于 i 的 方 案 数 。 考 虑 怎 么 求 g ( i ) 。
我们可以考虑枚举最终的连通块有哪些,此时花费的时间为n的贝尔数,最大为115975。此时我们限定枚举出的子集之间不能连边,子集内部随便连不连。枚举每一个子图,看看这个子图含有哪些子集之间的边,每个子图标记一个01串。我们最终要求这些01串异或起来的结果中有多少个为全0串。
可以把这些01串全部插入到线性基中,找出自由元的数量为 x,则方案数为2x x , 则 方 案 数 为 2 x 。为什么呢?对于任何一个自由元的子集,它们异或出来的结果必然也可以用主元代替,这就对应了一个全0串的情况。
于是我们用 O(bell(n)n2s) O ( b e l l ( n ) n 2 s ) 的时间算出了所有的 g g ,接下来算出
f
即可。
根据定义,有
因为计算的时候我们相当于把
i i
个连通块划分成了
m
个子集。
于是根据斯特林反演,我们可以得到
于是我们最终可以求出
f(1) f ( 1 )
,整个问题便解决了。
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