伽马(gamma)函数_伽马分布的分布函数怎么求

伽马(gamma)函数_伽马分布的分布函数怎么求一。ΓΓ\Gamma分布指数分布是两次事件发生的时间间隔ΓΓ\Gamma分布是n倍的指数分布即,ΓΓ\Gamma分布表示发生n次(αα\alpha次)事件的时间间隔的概率分布可以直观地认为ΓΓ\Gamma分布是Possion分布在正实数集上的连续化版本Possion(X=k|λ)=λke−λk!Possion(X=k|λ)=λke−λk!Possion(X=k|\lambda…

大家好,又见面了,我是你们的朋友全栈君。如果您正在找激活码,请点击查看最新教程,关注关注公众号 “全栈程序员社区” 获取激活教程,可能之前旧版本教程已经失效.最新Idea2022.1教程亲测有效,一键激活。

Jetbrains全家桶1年46,售后保障稳定

一。 Γ \Gamma Γ分布

指数分布是两次事件发生的时间间隔
Γ \Gamma Γ分布是n倍的指数分布
即, Γ \Gamma Γ分布表示发生n次( α \alpha α次)事件的时间间隔的概率分布。

其实 Γ \Gamma Γ分布 就是Possion分布在正实数集上的连续化版本

P o s s i o n ( X = k ∣ λ ) = λ k e − λ k ! Possion(X=k|\lambda )=\frac{\lambda ^ke^{-\lambda} }{k!} Possion(X=kλ)=k!λkeλ

可以看做横坐标是k,纵坐标便是X=k的概率分布: P o s s i o n ( X = k ∣ λ Possion(X=k|\lambda Possion(X=kλ), λ \lambda λ为一个常数,代表单位时间内事件发生的次数。

回忆一下Poisson分布的直观含义:
随机变量X代表出生婴儿的个数,P {X=k} 代表出生k个婴儿的概率,
λ \lambda λ为已知数,代表平均单位时间出生婴儿的个数。
求t时间内出生k个婴儿的概率:P {X=k} ,令t=1,就是
这个公式 P o s s i o n ( X = k ∣ λ ) = λ k e − λ k ! Possion(X=k|\lambda )=\frac{\lambda ^ke^{-\lambda} }{k!} Possion(X=kλ)=k!λkeλ
因此Possion公式的直观意义就是:
已知单位时间内平均出生 λ \lambda λ个婴儿, 得到单位时间内出生k个婴儿的概率。
如果将k看成是一个变量, Possion公式就是单位时间内出生婴儿个数的概率分布。
直观理解,当然是单位时间出生 λ \lambda λ个婴儿的概率最大。

在 P o i s s o n 分 布 中 , λ 是 一 个 已 知 数 , 是 一 个 常 数 , {\color{Red}{ 在Poisson分布中,\lambda 是一个已知数,是一个常数,}} Poissonλ
如 果 我 们 把 λ 看 成 一 个 变 数 , 假 设 是 x {\color{Red}{如果我们把\lambda看成一个变数,假设是x}} λx
那 么 得 到 的 分 布 就 叫 G a m m a 分 布 {\color{Red}{那么得到的分布就叫Gamma分布}} Gamma,显然Gamma比Poisson更高一维的分布。

= > 将 λ 转 为 一 个 连 续 实 数 x {\color{Red}{=> 将 \lambda 转为一个连续实数 x}} =>λx

在Gamma分布的密度中取 α = k + 1 \alpha =k+1 α=k+1,得

G a m m a ( x ∣ α = k + 1 ) = x k e − x Γ ( k + 1 ) = x k e − x k ! Gamma(x|\alpha =k+1)=\frac{x^{k} e^{-x} }{\Gamma (k+1)} = \frac{x^k e^{-x } }{k!} Gamma(xα=k+1)=Γ(k+1)xkex=k!xkex

G a m m a ( x , k ) = x k e − x k ! Gamma(x,k) = \frac{x^k e^{-x } }{k!} Gamma(x,k)=k!xkex

由此可见,Gamma函数是一个关于x和k的二维概率分布。x是单位时间内事件发生的平均次数,k是单位时间内事件发生的某一特定次数,得到类似于下图,可见,它是一个指数分布,k与越接近,概率越大,在k与x相等的地方,概率达最大值。(如果将x固定一个常数,就是Poisson分布。)

所以,Gamma分布与Possion分布在数学形式上是一致的,只是Poisson分布是离散的,Gamma分布是连续的,可以直观的认为Gamma分布是Poission分布在正实数集上的连续化版本。

在这里插入图片描述

二。 Γ \Gamma Γ函数
定义
Γ ( s ) = ∫ 0 + ∞ e − x x s − 1 d x ( s > 0 ) \Gamma (s)=\int_{0}^{+\infty }e^{-x}x^{s-1}dx(s>0) Γ(s)=0+exxs1dx(s>0)

性质

  1. s>0时,此反常积分收敛
  2. Γ ( s + 1 ) = s Γ ( s ) ( s > 0 ) \Gamma(s+1)=s\Gamma(s) (s>0) Γ(s+1)=sΓ(s)(s>0),特别 Γ ( n + 1 ) = n ! \Gamma(n+1)=n! Γ(n+1)=n!
    3)当 s → 0 + s\to0+ s0+时, Γ ( s ) → + ∞ \Gamma(s) \to +\infty Γ(s)+
  3. Γ ( s ) Γ ( 1 − s ) \Gamma(s)\Gamma(1-s) Γ(s)Γ(1s)= π s i n π s ( 0 &lt; s &lt; 1 ) , 则 Γ ( 1 2 ) = π \frac{\pi }{sin\pi s} (0&lt;s&lt;1), 则\Gamma (\frac{1}{2})=\sqrt{\pi} sinπsπ(0<s<1),Γ(21)=π

$\Gamma(n) = (n-1)! $ , Gamma(5+1) = 5! =120
$\Gamma(s) = (s-1)! $ , 5Gamma(5) = 54! =120

三。 Γ \Gamma Γ函数应用
k ! = ∫ 0 ∞ x k e − x d x k!=\int_{0}^{\infty }x^ke^{-x}dx k!=0xkexdx

Γ ( s ) = ∫ 0 ∞ x s − 1 e − x d x \Gamma(s)=\int_{0}^{\infty }x^{s-1}e^{-x}dx Γ(s)=0xs1exdx 中,
作x=u^2的代换可得
Γ ( s ) = 2 ∫ 0 ∞ e − u 2 u 2 s − 1 d u \Gamma (s)=2\int_{0}^{\infty }e^{-u^2}u^{2s-1}du Γ(s)=20eu2u2s1du
再令 t=2s-1,即有
∫ 0 ∞ e − u 2 u t d u \int_{0}^{\infty }e^{-u^2}u^{t}du 0eu2utdu = 1 2 Γ ( 1 + t 2 ) \frac{1}{2}\Gamma(\frac{1+t}{2}) 21Γ(21+t), t>-1
特别,令 s = 1 2 s=\frac{1}{2} s=21, 可得概率论中常用积分

泊松积分
泊松积分: ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = π \int_{-\infty}^{\infty }e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi} ex2dx=π
是一个很重要的结论,在概率论中有重要应用。
∫ 0 ∞ e − x 2 d x = π 2 \int_{0}^{\infty }e^{-x^2}dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2} 0ex2dx=2π

∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = π \int_{-\infty}^{\infty }e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi} ex2dx=π

(可以用正态分布的公式证明,正态分布公式 Φ ( x ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ e − t 2 2 d t = 1 \Phi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{t^2}{2}}dt=1 Φ(x)=2π
1
e2t2dt=
1

参考链接:
Gamma分布Wiki百科
poisson-gamma-exponential 泊松-Gamma以及指数分布的关系
Gamma distribution in R语言
MATLAB Gamma
神奇的Gamma函数(scipy)

版权声明:本文内容由互联网用户自发贡献,该文观点仅代表作者本人。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如发现本站有涉嫌侵权/违法违规的内容, 请发送邮件至 举报,一经查实,本站将立刻删除。

发布者:全栈程序员-用户IM,转载请注明出处:https://javaforall.cn/200646.html原文链接:https://javaforall.cn

【正版授权,激活自己账号】: Jetbrains全家桶Ide使用,1年售后保障,每天仅需1毛

【官方授权 正版激活】: 官方授权 正版激活 支持Jetbrains家族下所有IDE 使用个人JB账号...

(0)
blank

相关推荐

发表回复

您的电子邮箱地址不会被公开。

关注全栈程序员社区公众号