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狄利克雷函数

19世纪的德国数学家狄利克雷提出一个函数：

这属于一个人造函数，而这个函数本身却给我们带来很多深刻的思考。

首先最好来感受一下这个函数。当x取有理数的时候，函数值为1；当x取无理数的时候，函数值为0。这里纠结的地方在哪里呢？无理数和有理数密密麻麻地掺杂在一起，任意两个无理数之间有无穷多个有理数，任意两个有理数之间有无穷多个无理数。也就是不管x的区间取得多么小，函数值会急剧地在0与1之间反复跳动。

这种跳动不是一般的函数波动，而是捉摸不到的、极其迅速的跳变。因此狄利克雷函数是极度不连续的。

所以，狄利克雷函数的一个重要特点就是：无法作图。你可以试着把x轴上的有理数和无理数进行分离，属于有理数的点上升一个单位，属于无理数的点停留在原处。当然，这只能存在于想象中，图形无法表示。

这就使得函数的概念扩大了。函数不一定需要表达式，甚至不需要图像，它成为了一个抽象的概念。只要存在某种对应关系，我们就可以称之为函数。

狄利克雷函数的奇偶性和周期性

假设 $x$ 是在正半轴上的，如果它是有理数，$-x$ 也为有理数；如果它是无理数，$-x$ 也为无理数。例如 $x=\pi$，那么 $f(\pi )=0,f(-\pi )=0$。所以对于一切 $x$，$f(x)=f(-x)$ 。于是狄利克雷函数是偶函数，也就是它的图像是轴对称的，是可以关于 $y$ 轴折起来的（实数的对称性）。

再说周期性。任何有理数都可以作为狄利克雷函数的周期。即 $f(x+有理数)=f(x)$ 。如果 $x$ 为有理数，则有 $1=1$；如果 $x$ 为无理数，则有 $0=0$。

无理数可不可以作为函数的周期呢？答案是否定的。假设无理数可以作为周期，肯定有 $f(x+\pi )=f(x)$。如果我取 $x=-\pi$，则得到 $1=0$。然而这是不成立的，说明假设是错误的。

最后，我们回到函数的“极度”不连续上。“极度”的意思就是函数“图像”下面没有面积，也就是它和x轴围不出面积。那么我们就要去问：函数不连续到什么程度它下面才会没有面积？

From: 狄利克雷函数

作用

• 定义在整个数轴上。
• 无法画出图像。
• 以任何正有理数为其周期（从而无最小正周期）。
• 处处无极限、不连续、不可导。
• 在任何有界区间上黎曼不可积。另一方面也作为反例说明了对于黎曼积分，单调收敛定理不成立。
• 是偶函数。
• 它在 $[0,1]$ 上勒贝格可积。

它就是一朵奇葩，打破你对函数基本性质的一切美好想象。它是一柄照妖镜，在你猜测一个关于函数的命题前，可以先用它照一下。

From: 狄利克雷函数（Dirichlet Function）有什么用处？

dirac 在 Matlab 中使用

Syntax
d = dirac(x)
d = dirac(n,x)

d = dirac(x) represents the Dirac delta function of x.
d = dirac(n,x) represents the nth derivative of the Dirac delta function at x.

dirac(t)
这表示关于 $t$ 的狄利克雷函数

dirac(1,t)
dirac(2,t)
因此，这两个分别表示关于 $t$ 的狄利克雷函数的 1 阶 2 阶导数。

dirac(t,1)
ans = 0

dirac(t,2)
ans = 0

dirac(t,0)
ans = (-1)^t*Inf

From: https://ww2.mathworks.cn/help/symbolic/sym.dirac.html