01字典树 详解「建议收藏」

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以前只知道字典树可以降低空间复杂度，今天无意中接触了 01字典树，原来可以用它来降低时间复杂度，下面我就来给大家介绍一下 01字典树的原理和应用。

01字典树主要用于解决求异或最值的问题。我先放上简单的模板，然后再讲解它的原理。

int tol; //节点个数 
LL val[32*MAXN]; //点的值 
int ch[32*MAXN][2]; //边的值 

void init()
{ //初始化 
    tol=1;
    ch[0][0]=ch[0][1]=0;
}

void insert(LL x)
{ //往 01字典树中插入 x 
    int u=0;
    for(int i=32;i>=0;i--)
    {
        int v=(x>>i)&1;
        if(!ch[u][v])
        { //如果节点未被访问过 
            ch[tol][0]=ch[tol][1]=0; //将当前节点的边值初始化 
            val[tol]=0; //节点值为0，表示到此不是一个数 
            ch[u][v]=tol++; //边指向的节点编号 
        }
        u=ch[u][v]; //下一节点 
    }
    val[u]=x; //节点值为 x，即到此是一个数 
}

LL query(LL x)
{ //查询所有数中和 x异或结果最大的数 
    int u=0;
    for(int i=32;i>=0;i--)
    {
        int v=(x>>i)&1;
        //利用贪心策略，优先寻找和当前位不同的数 
        if(ch[u][v^1]) u=ch[u][v^1];
        else u=ch[u][v];
    }
    return val[u]; //返回结果 
}

01字典树和普通的字典树原理类似，只不过把插入字符改成了插入二进制串的每一位（0或1）。

通过上面的代码，我们可以发现有下面几个事实：

1. 01字典树是一棵最多 32层的二叉树，其每个节点的两条边分别表示二进制的某一位的值为 0 还是为 1. 将某个路径上边的值连起来就得到一个二进制串。

2.节点个数为 1 的层（最高层）节点的边对应着二进制串的最高位。

3.以上代码中，ch[i] 表示一个节点，ch[i][0] 和 ch[i][1] 表示节点的两条边指向的节点，val[i] 表示节点的值。

4.每个节点主要有 4个属性：节点值、节点编号、两条边指向的下一节点的编号。

5.节点值 val为 0时表示到当前节点为止不能形成一个数，否则 val[i]=数值。

6.可通过贪心的策略来寻找与 x异或结果最大的数，即优先找和 x二进制的未处理的最高位值不同的边对应的点，这样保证结果最大。

例题：

一、HDU 4825

传送门：HDU 4825

题目大意：在一组数中找跟某个数异或结果最大的数。

题解：直接套用模板，将数组中的数插入到 01字典树，对每一个数查询即可。

二、HDU 5536

传送门：HDU 5536

题目大意：在一个数组中找出 (s[i]+s[j])^s[k] 最大的值，其中 i、j、k 各不相同。

题解：HDU 5536 题解

三、BZOJ 4260

传送门：BZOJ 4260

题目大意：给你 n 个数，让你求两个不相交的区间元素异或后的和的最大值。

题解：BZOJ 4260 题解

四、POJ 3764

传送门：POJ 3764

题目大意：在树上找一段路径（连续）使得边权相异或的结果最大。

题解：POJ 3764 题解