ODT珂朵莉树「建议收藏」

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珂朵莉树の由来

珂朵莉树(或称ODT(Old Driver Tree老司机树))
这个毒瘤算法由CodeForces – 896C Willem, Chtholly and Seniorious 的正解衍化而来

虽然很多时候在随机数据下跑时不错
由于其骗分暴力的非正统算法思想
一定要切记这只是骗分暴力，时间复杂度上并不正确

什么时候用珂朵莉树

珂朵莉树一般用来解决本来应当由线段树解决的区间类问题

而使得珂朵莉树暴力艹标程的关键是assign区间推平操作
也就是题目中必须有区间赋值操作，而且数据纯随机的情况下才有复杂度保证

珂朵莉树–初始化

一般珂朵莉树选择使用 set 维护数列
set中每个结点维护三个值 $(l l, r r, v a l)$ ，意为 $[l l, r r]$ 内的值都为 $v a l$
也就是每个节点保存一段连续的值相同的区间
set中以每个区间左端点排序

struct node
{ 
   
    int ll,rr;
    mutable int val;
    node(int L,int R=-1,int V=0): ll(L), rr(R), val(V) { 
   }
    bool operator < (const node& tt)const { 
    return ll<tt.ll;}//以区间左端点排序
};
set<node> st;

需要注意的是 $m u t a b l e$
没有它对 $v a l$ 的修饰，在接下来add函数里导致CE。

接下来为方便有关迭代器的操作，我们做一个宏定义

#define IT set<node>::iterator

珂朵莉树–分裂Split

$s p l i t (p o s)$ 操作是指将原来含有pos位置的节点分成两部分 $[l, p o s - 1]$ 和 $[p o s, r]$
并返回分裂后以 $p o s$ 为左端点的结点的迭代器

IT split(int pos)
{ 
   
    IT it=st.lower_bound(node(pos));//二分找到第一个左端点不小于pos的区间
    if(it!=st.end()&&it->ll==pos) return it;//pos本身就是某个区间的左端点，不用分裂
    --it;//否则上一个区间才是包含pos的区间
    int ll=it->ll,rr=it->rr,val=it->val;
    st.erase(it);//删除原结点
    st.insert(node(ll,pos-1,val));
    return st.insert(node(pos,rr,val)).first;//这里.first返回的是迭代器
}

珂朵莉树–区间赋值Assign

珂朵莉树就是靠这个东西维持其不正确的复杂度的

void assign(int ll,int rr,int val)
{ 
   
    IT itr=split(rr+1),itl=split(ll);
    st.erase(itl,itr);
    st.insert(node(ll,rr,val));
}

分裂出需要的区间，删除后重新插入一个新的
注意分裂出 $[l l, r r]$ 区间时要先分裂右端点，在分裂左端点

$e r a s e$ 方法可以删除迭代器描述的区间 $[f i r s t, l a s t)$ ，注意左闭右开

void erase (iterator first, iterator last)

在数据纯随机的情况下，可以证明每次 $a s s i g n$ 的区间长度期望为 $N / 3$
于是 $s e t$ 规模迅速下降，随后达到接近 $O (m l o g n)$ 的~~玄学非正确~~复杂度

珂朵莉树–其他暴力操作

其他操作真的就是规规矩矩的纯暴力
直接取出对应区间，暴力对每一个进行操作

一般就是长这样

void fun(int ll,int rr)
{ 
   
    IT itr=split(rr+1),itl=split(ll);
    for(;itl!=itr;++itl) 
    { 
   
    	//...
    }
}

煮个栗子–区间求和

int qsum(int ll,int rr)
{ 
   
    int res=0;
    IT itr=split(rr+1),itl=split(ll);
    for(;itl!=itr;++itl) res+=(itl->rr-itl->ll+1)*itl->val;//注意乘(itl->rr-itl->ll+1)
    return res;
}

再煮个复杂点的栗子–区间Kth

也是一样的暴力

#define pir pair<int,int>//前一个记录值，后一个记录出现次数
int kth(int ll,int rr,int k)
{ 
   
    vector<pir> vec;
    IT itr=split(rr+1),itl=split(ll);
    
    for(;itl!=itr;++itl)
    vec.push_back( pir(itl->val,itl->rr-itl->ll+1) );
    sort(vec.begin(),vec.end());//全部存下来排序就好
    
    for(vector<pir>::iterator it=vec.begin();it!=vec.end();++it)
    { 
   
        k-=it->second;
        if(k<=0) return it->first;
    }
    return -1;
}

珂朵莉树–暴力AC应用

CodeForces – 896C Willem, Chtholly and Seniorious

毒瘤ODT的源头

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<set>
using namespace std;
typedef long long lt;
#define IT set<node>::iterator
#define pir pair<lt,int>
#define mkp(x,y) make_pair(x,y)

lt read()
{ 
   
    lt f=1,x=0;
    char ss=getchar();
    while(ss<'0'||ss>'9'){ 
   if(ss=='-')f=-1;ss=getchar();}
    while(ss>='0'&&ss<='9'){ 
   x=x*10+ss-'0';ss=getchar();}
    return f*x;
}

lt seed,vmax;
lt rnd()
{ 
   
    lt res=seed;
    seed=(seed*7+13)%1000000007;
    return res;
}

const int maxn=100010;
int n,m;
lt a[maxn];
struct node
{ 
   
    int ll,rr;
    mutable lt val;
    node(int L,int R=-1,lt V=0): ll(L), rr(R), val(V) { 
   }
    bool operator < (const node& tt)const { 
    return ll<tt.ll;}
};
set<node> st;

lt qpow(lt a,lt k,lt p)
{ 
   
    lt res=1; a%=p;
    while(k>0){ 
   
        if(k&1) res=(res*a)%p;
        a=(a*a)%p; k>>=1;
    }
    return res;
}

IT split(int pos)
{ 
   
    IT it=st.lower_bound(node(pos));
    if(it!=st.end()&&it->ll==pos) return it;
    --it;
    int ll=it->ll,rr=it->rr;
    lt val=it->val;
    st.erase(it);
    st.insert(node(ll,pos-1,val));
    return st.insert(node(pos,rr,val)).first;
}

void assign(int ll,int rr,lt val)
{ 
   
    IT itr=split(rr+1),itl=split(ll);
    st.erase(itl,itr);
    st.insert(node(ll,rr,val));
}

void add(int ll,int rr,lt val)
{ 
   
    IT itr=split(rr+1),itl=split(ll);
    for(;itl!=itr;++itl) itl->val+=val;
}

lt kth(int ll,int rr,int k)
{ 
   
    vector<pir> vec;
    IT itr=split(rr+1),itl=split(ll);
    for(;itl!=itr;++itl)
    vec.push_back(pir(itl->val,itl->rr-itl->ll+1));
    sort(vec.begin(),vec.end());
    for(vector<pir>::iterator it=vec.begin();it!=vec.end();++it)
    { 
   
        k-=it->second;
        if(k<=0) return it->first;
    }
    return -1;
}

lt qsum(int ll,int rr,lt x,lt y)
{ 
   
    lt res=0;
    IT itr=split(rr+1),itl=split(ll);
    for(;itl!=itr;++itl)
    res+=(qpow(itl->val,x,y)*((itl->rr-itl->ll+1)%y))%y,res%=y;
    return res;
}

int main()
{ 
   
    n=read();m=read();
    seed=read();vmax=read();
    
    for(int i=1;i<=n;++i)
    { 
   
        a[i]=(rnd()%vmax)+1;
        st.insert(node(i,i,a[i]));
    }
    
    for(int i=1;i<=m;++i)
    { 
   
        int op=(rnd()%4)+1;
        int ll=(rnd()%n)+1,rr=(rnd()%n)+1;
        lt x,y;

    	if(ll>rr) swap(ll,rr);
    	if(op==3) x=(rnd()%(rr-ll+1))+1;
    	else x=(rnd()%vmax)+1;
    	if(op==4) y=(rnd()%vmax)+1;
    	
    	if(op==1) add(ll,rr,x);
    	else if(op==2) assign(ll,rr,x);
    	else if(op==3) printf("%lld\n",kth(ll,rr,x));
    	else if(op==4) printf("%lld\n",qsum(ll,rr,x,y));
    }
    return 0;
}

洛谷P2572 [SCOI2010]序列操作

没什么好解释的。。毕竟就是暴力

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<set>
using namespace std;
#define IT set<node>::iterator

int read()
{ 
   
    int f=1,x=0;
    char ss=getchar();
    while(ss<'0'||ss>'9'){ 
   if(ss=='-')f=-1;ss=getchar();}
    while(ss>='0'&&ss<='9'){ 
   x=x*10+ss-'0';ss=getchar();}
    return f*x;
}

const int maxn=100010;
int n,m;
int a[maxn];
struct node
{ 
   
    int ll,rr;
    mutable int val;
    node(int L,int R=-1,int V=0): ll(L), rr(R), val(V) { 
   }
    bool operator < (const node& tt)const { 
    return ll<tt.ll;}
};
set<node> st;

IT split(int pos)
{ 
   
    IT it=st.lower_bound(node(pos));
    if(it!=st.end()&&it->ll==pos) return it;
    --it;
    int ll=it->ll,rr=it->rr,val=it->val;
    st.erase(it);
    st.insert(node(ll,pos-1,val));
    return st.insert(node(pos,rr,val)).first;
}

void assign(int ll,int rr,int val)
{ 
   
    IT itr=split(rr+1),itl=split(ll);
    st.erase(itl,itr);
    st.insert(node(ll,rr,val));
}

void rev(int ll,int rr)
{ 
   
    IT itr=split(rr+1),itl=split(ll);
    for(;itl!=itr;++itl) itl->val^=1;
}

int qsum(int ll,int rr)
{ 
   
    int res=0;
    IT itr=split(rr+1),itl=split(ll);
    for(;itl!=itr;++itl) res+=(itl->rr-itl->ll+1)*itl->val;
    return res;
}

int qmax(int ll,int rr)
{ 
   
    int res=0,tt=0;
    IT itr=split(rr+1),itl=split(ll);
    for(;itl!=itr;++itl) 
    { 
   
        if(itl->val==0) res=max(res,tt),tt=0;
        else tt+=itl->rr-itl->ll+1;
    }
    return max(res,tt);
}

int main()
{ 
   
    n=read();m=read();
    for(int i=1;i<=n;++i)
    { 
   
        a[i]=read();
        st.insert(node(i,i,a[i]));
    }
    
    for(int i=1;i<=m;++i)
    { 
   
        int k=read(),ll=read()+1,rr=read()+1;
    	if(k==0) assign(ll,rr,0);
    	else if(k==1) assign(ll,rr,1);
    	else if(k==2) rev(ll,rr);
    	else if(k==3) printf("%lld\n",qsum(ll,rr));
    	else if(k==4) printf("%lld\n",qmax(ll,rr));
    }
    return 0;
}