克莱姆法则应用_克莱姆和克拉默法则

克莱姆法则应用_克莱姆和克拉默法则克莱姆法则(由线性方程组的系数确定方程组解的表达式)是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理,它适用于变量和方程数目相等的线性方程组。概念含有n个未知数的线性方程组称为n元线性方程组。1)当其右端的常数项b1,b2,…,bn不全为零时,称为非齐次线性方程组:其中,A是线性方程组的系数矩阵,X是由未知数组成的列向量,β是由常数项组成的列向量。非齐次线性方程组的矩阵形式:2)当常数项全为零…

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克莱姆法则(由线性方程组的系数确定方程组的表达式)是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理,它适用于变量和方程数目相等的线性方程组。

概念

含有n个未知数的线性方程组称为n元线性方程组。
1)当其右端的常数项b1,b2,…,bn不全为零时,称为非齐次线性方程组:
在这里插入图片描述
其中,A是线性方程组的系数矩阵,X是由未知数组成的列向量,β是由常数项组成的列向量。
非齐次线性方程组的矩阵形式:
在这里插入图片描述
2)当常数项全为零时,称为齐次线性方程组,即:
在这里插入图片描述
其矩阵形式:
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3)系数构成的行列式称为该方程组的系数行列式D,即
在这里插入图片描述

定理

记法1:若线性方程组的系数矩阵A可逆(非奇异),即系数行列式 D≠0。有唯一解,其解为
在这里插入图片描述
记法2:若线性方程组的系数矩阵A可逆(非奇异),即系数行列式 D≠0,则线性方程组有唯一解,其解为
在这里插入图片描述
其中Dj是把D中第j列元素对应地换成常数项而其余各列保持不变所得到的行列式,即
在这里插入图片描述
记法1是将解写成矩阵(列向量)形式,而记法2是将解分别写成数字,本质相同。

推论

1)n元齐次线性方程组有唯一零解的充要条件是系数行列式不等于零系数矩阵可逆(矩阵可逆=矩阵非奇异=矩阵对应的行列式不为0=满秩=行列向量线性无关);
2)n元齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数行列式等于零

法则总结

1.克莱姆法则的重要理论价值:
1)研究了方程组的系数与方程组解的存在性与唯一性关系;
2)与其在计算方面的作用相比,克莱姆法则更具有重大的理论价值。(一般没有计算价值,计算量较大,复杂度太高)
2.应用克莱姆法则判断具有N个方程、N个未知数的线性方程组的解:
1)当方程组的系数行列式不等于零时,则方程组有解,且具有唯一的解;
2)如果方程组无解或者有两个不同的解,那么方程组的系数行列式必定等于零;
3)克莱姆法则不仅仅适用于实数域,它在任何域上面都可以成立。
3.克莱姆法则的局限性:
1)当方程组的方程个数与未知数的个数不一致时,或者当方程组系数的行列式等于零时,克莱姆法则失效;
2)运算量较大,求解一个N阶线性方程组要计算N+1个N阶行列式。

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