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矩阵范数的等价
设 F=R F = R 或 C, C , 对于任意两个 Fn×n F n × n 上的范数 ∥⋅∥α ‖ ⋅ ‖ α 与 ∥⋅∥β, ‖ ⋅ ‖ β , 若存在常数 C1>0,C2>0, C 1 > 0 , C 2 > 0 , 使得 ∀X∈Fn×n, ∀ X ∈ F n × n ,
则称
∥⋅∥α ‖ ⋅ ‖ α
与
∥⋅∥β ‖ ⋅ ‖ β
是等价的。
性质
Fn×n F n × n 上的任意两种矩阵范数都是等价的。
证明
令 Eij∈Fn×n E i j ∈ F n × n 表示只有在第 i i 行第
j
列的元素为 1, 1 , 其他元素都为 0 0 的矩阵。
则
∀X∈Fn×n,X=(xij)n×n=∑i=1n∑j=1nxijEij
1. 首先证明对于任意一个 Fn×n F n × n 上的范数 ∥⋅∥, ‖ ⋅ ‖ ,
函数 φ:Fn×n↦R,φ(X)=∥X∥ φ : F n × n ↦ R , φ ( X ) = ‖ X ‖ 在 L2 L 2 范数下是连续的。
对于任意一个 Fn×n F n × n 上的范数 ∥⋅∥,∀X,Y∈Fn×n, ‖ ⋅ ‖ , ∀ X , Y ∈ F n × n ,
|φ(X)−φ(Y)|=|∥X∥−∥Y∥|≤∥X−Y∥ | φ ( X ) − φ ( Y ) | = | ‖ X ‖ − ‖ Y ‖ | ≤ ‖ X − Y ‖
=∥∑i=1n∑j=1nxijEij−∑i=1n∑j=1nyijEij∥ = ‖ ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n x i j E i j − ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n y i j E i j ‖
=∥∑i=1n∑j=1n(xij−yij)Eij∥ = ‖ ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n ( x i j − y i j ) E i j ‖
≤∑i=1n∑j=1n∥(xij−yij)Eij∥ ≤ ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n ‖ ( x i j − y i j ) E i j ‖
=∑i=1n∑j=1n|xij−yij|∥Eij∥ = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n | x i j − y i j | ‖ E i j ‖
→0,X→Y → 0 , X → Y
因此 φ(X) φ ( X ) 是连续函数。
2. 于是 φ(Y;α)=∥Y∥α φ ( Y ; α ) = ‖ Y ‖ α 在有界闭集 S={
Y∈Fn×n:∥Y∥2=1} S = { Y ∈ F n × n : ‖ Y ‖ 2 = 1 } 上连续，又 φ(Y;α) φ ( Y ; α ) 在 S S 恒大于零，因此在
S
内必有最大值 Cmax>0, C max > 0 , 最小值 Cmin>0, C min > 0 ,
同理可得 φ(Y;β)=∥Y∥β φ ( Y ; β ) = ‖ Y ‖ β 在 S S 内必有最大值
Dmax>0,
最小值 Dmin>0, D min > 0 ,
3. ∀X∈Fn×n, ∀ X ∈ F n × n , 若 X=0, X = 0 , 则命题显然成立。
否则 X≠0, X ≠ 0 , 令 Y=1∥X∥2X, Y = 1 ‖ X ‖ 2 X ,
则 ∥Y∥2=1, ‖ Y ‖ 2 = 1 , 因此 Y∈S, Y ∈ S ,
于是 ∥X∥β∥X∥α=∥Y∥β∥Y∥α∥X∥2∥X∥2 ‖ X ‖ β ‖ X ‖ α = ‖ Y ‖ β ‖ Y ‖ α ‖ X ‖ 2 ‖ X ‖ 2
=φ(Y;α)φ(Y;β)∈[DminCmax,DmaxCmin] = φ ( Y ; α ) φ ( Y ; β ) ∈ [ D min C max , D max C min ] 。
令 C1=DminCmax,C2=DmaxCmin, C 1 = D min C max , C 2 = D max C min , 则：
0<C1≤∥X∥β∥X∥α≤C2 0 < C 1 ≤ ‖ X ‖ β ‖ X ‖ α ≤ C 2
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