矩阵范数的等价性(原创)[通俗易懂]

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矩阵范数的等价

F=R F = R C, C , 对于任意两个 Fn×n F n × n 上的范数 α ‖ ⋅ ‖ α β, ‖ ⋅ ‖ β , 若存在常数 C1>0,C2>0, C 1 > 0 , C 2 > 0 , 使得 XFn×n, ∀ X ∈ F n × n ,

XαC1Xβ,XβC2Xα ‖ X ‖ α ≤ C 1 ‖ X ‖ β , ‖ X ‖ β ≤ C 2 ‖ X ‖ α



则称

α ‖ ⋅ ‖ α


β ‖ ⋅ ‖ β
是等价的。

性质

Fn×n F n × n 上的任意两种矩阵范数都是等价的。

证明

EijFn×n E i j ∈ F n × n 表示只有在第 i i 行第
j


j

列的元素为 1, 1 , 其他元素都为 0 0 的矩阵。

XFn×n,X=(xij)n×n=i=1nj=1nxijEij






X








F




n


×


n




,



X



=




(






x



i


j







)




n


×


n




=







i


=


1




n









j


=


1




n





x



i


j





E



i


j




1. 首先证明对于任意一个 Fn×n F n × n 上的范数 , ‖ ⋅ ‖ ,
函数 φ:Fn×nR,φ(X)=X φ : F n × n ↦ R , φ ( X ) = ‖ X ‖ L2 L 2 范数下是连续的。
对于任意一个 Fn×n F n × n 上的范数 ,X,YFn×n, ‖ ⋅ ‖ , ∀ X , Y ∈ F n × n ,
|φ(X)φ(Y)|=|XY|XY | φ ( X ) − φ ( Y ) | = | ‖ X ‖ − ‖ Y ‖ | ≤ ‖ X − Y ‖
=i=1nj=1nxijEiji=1nj=1nyijEij = ‖ ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n x i j E i j − ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n y i j E i j ‖
=i=1nj=1n(xijyij)Eij = ‖ ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n ( x i j − y i j ) E i j ‖
i=1nj=1n(xijyij)Eij ≤ ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n ‖ ( x i j − y i j ) E i j ‖
=i=1nj=1n|xijyij|Eij = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n | x i j − y i j | ‖ E i j ‖
0,XY → 0 , X → Y
因此 φ(X) φ ( X ) 是连续函数。
2. 于是 φ(Y;α)=Yα φ ( Y ; α ) = ‖ Y ‖ α 在有界闭集 S={
YFn×n:Y2=1}
S = { Y ∈ F n × n : ‖ Y ‖ 2 = 1 }
上连续,又 φ(Y;α) φ ( Y ; α ) S S 恒大于零,因此在
S


S

内必有最大值 Cmax>0, C max > 0 , 最小值 Cmin>0, C min > 0 ,
同理可得 φ(Y;β)=Yβ φ ( Y ; β ) = ‖ Y ‖ β S S 内必有最大值
Dmax>0,



D



max




>


0


,

最小值 Dmin>0, D min > 0 ,
3. XFn×n, ∀ X ∈ F n × n , X=0, X = 0 , 则命题显然成立。
否则 X0, X ≠ 0 , Y=1X2X, Y = 1 ‖ X ‖ 2 X ,
Y2=1, ‖ Y ‖ 2 = 1 , 因此 YS, Y ∈ S ,
于是 XβXα=YβYαX2X2 ‖ X ‖ β ‖ X ‖ α = ‖ Y ‖ β ‖ Y ‖ α ‖ X ‖ 2 ‖ X ‖ 2
=φ(Y;α)φ(Y;β)[DminCmax,DmaxCmin] = φ ( Y ; α ) φ ( Y ; β ) ∈ [ D min C max , D max C min ]
C1=DminCmax,C2=DmaxCmin, C 1 = D min C max , C 2 = D max C min , 则:
0<C1XβXαC2 0 < C 1 ≤ ‖ X ‖ β ‖ X ‖ α ≤ C 2

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