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在写论文做数据测试时有用到一个nmi(normalized mutual information)评价聚类的一种方法，不是很清楚，然后上网找了一下资料。
首先在理解nmi前，先说说mutual information这个东西。
我们先举个例子：
比如说，标准结果是大圆里面的叉叉圈圈点点，上图呢是我们算法聚类出来的结果，那么如何来看我们算法的聚类效果呢，如何计算呢？
我们把上图中的图形用字母来表示出来，集合A是标准的聚类结果，集合B是我们算法的聚类结果，如下：
A:{(aaaaaa),(bbbbbb),(ccccc)}
B:{(aaaaab),(abbbbc),(accca)}
可以按照下列公式来计算：
I ( X , Y ) = ∑ y ∈ Y ∑ x ∈ X p ( x , y ) l o g p ( x , y ) p ( x ) p ( y ) I(X,Y)=\sum_{y\in Y}\sum_{x\in X} p(x,y)log\frac{p(x,y)}{p(x)p(y)} I(X,Y)=∑y∈Y∑x∈Xp(x,y)logp(x)p(y)p(x,y)
分子 p ( x , y ) p(x,y) p(x,y)是 x x x, y y y的联合分布概率
p ( 1 , 1 ) = 5 17 p ( 1 , 2 ) = 1 17 p ( 1 , 3 ) = 0 p(1,1)=\frac{5}{17}\quad p(1,2)=\frac{1}{17}\quad p(1,3)=0 p(1,1)=175p(1,2)=171p(1,3)=0
p ( 2 , 1 ) = 1 17 p ( 2 , 2 ) = 4 17 p ( 2 , 3 ) = 1 17 p(2,1)=\frac{1}{17}\quad p(2,2)=\frac{4}{17}\quad p(2,3)=\frac{1}{17} p(2,1)=171p(2,2)=174p(2,3)=171
p ( 3 , 1 ) = 2 17 p ( 3 , 2 ) = 0 p ( 3 , 3 , ) = 3 17 p(3,1)=\frac{2}{17}\quad p(3,2)=0\quad p(3,3,)=\frac{3}{17} p(3,1)=172p(3,2)=0p(3,3,)=173
p(x)是标准集合中字母占比 p(y)是我们算法所得聚类集合中字母的占比。p(x,y)中我们可以把x看作是聚类的序号，把y看作是聚类中叉叉点点圈圈的标记数。也就是对于p(x,y)我们还考虑了叉叉点点圈圈在某一个范围中（某个聚类）占了总数的比例，所以如果x=y，p(x)也不一定等一p(y),因为x和y两个参数的属性是不一样的。
p ( x ) : p(x): p(x): p ( 1 ) = 6 17 p ( 2 ) = 6 17 p ( 3 ) = 5 17 p(1)=\frac{6}{17}\quad p(2)=\frac{6}{17}\quad p(3)=\frac{5}{17} p(1)=176p(2)=176p(3)=175
p ( y ) : p(y): p(y): p ( 1 ) = 8 17 p ( 2 ) = 5 17 p ( 3 ) = 4 17 p(1)=\frac{8}{17}\quad p(2)=\frac{5}{17}\quad p(3)=\frac{4}{17} p(1)=178p(2)=175p(3)=174
这样就可算出MI（mutual information）的值了
nmi(normalized mutual information)公式如下：
∗ ∗ U ( X , Y ) = 2 I ( X , Y ) H ( X ) + H ( Y ) ∗ ∗ **U(X,Y)=2\frac{I(X,Y)}{H(X)+H(Y)}** ∗∗U(X,Y)=2H(X)+H(Y)I(X,Y)∗∗
其目的是为了让MI的值调整到0到1之间， H ( X ) , H ( Y ) H(X),H(Y) H(X),H(Y)分别为 X , Y X,Y X,Y的熵：
H ( X ) = ∑ i i = n p ( x i ) I ( x i ) = ∑ i i = n l o g b 1 p ( x i ) = − ∑ i i = n p ( x i ) l o g b p ( x i ) H(X)=\sum_i^{i=n} p(x_i)I(x_i)=\sum_i^{i=n}log_b\frac{1}{p(x_i)}=-\sum_i^{i=n}p(x_i)log_bp(x_i) H(X)=∑ii=np(xi)I(xi)=∑ii=nlogbp(xi)1=−∑ii=np(xi)logbp(xi)（ b = 2 b=2 b=2）
还有一种理解方法，
NMI(A,B)= 2 I ( A , B ) H ( A ) + H ( B ) 2\frac{I(A,B)}{H(A)+H(B)} 2H(A)+H(B)I(A,B)，而 I ( A , B ) I(A,B) I(A,B)是A，B两向量的MI，H(A)是A的信息熵。
I ( A , B ) = H ( A ) − H ( A ∣ B ) = H ( B ) − H ( B ∣ A ) I(A,B)=H(A)-H(A|B)=H(B)-H(B|A) I(A,B)=H(A)−H(A∣B)=H(B)−H(B∣A);直觉上，如果已知了B的情况，A的信息熵相对于H(A|B)相对于H(A)就要小一点，因为不确定因素变小了嘛。即B能提供给A有用的信息，越有用越相近。
I ( A , B ) = H ( A ) + H ( B ) − H ( A , B ) ⩾ 0 I(A,B)=H(A)+H(B)-H(A,B)\geqslant 0 I(A,B)=H(A)+H(B)−H(A,B)⩾0,而且当A=B时，H(A,B)=0,I(A,B)最大。此时
N M I A , B ) = 2 I ( A , B ) H ( A ) + H ( B ) = 2 H ( A ) 2 H ( A ) = 1 NMIA,B)=2\frac{I(A,B)}{H(A)+H(B)}=2\frac{H(A)}{2H(A)}=1 NMIA,B)=2H(A)+H(B)I(A,B)=22H(A)H(A)=1,故 N M I ∈ [ 0 , 1 ] NMI\in[0,1] NMI∈[0,1]
参考：https://nlp.stanford.edu/IR-book/html/htmledition/evaluation-of-clustering-1.html
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