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矩阵是什么？
我们都知道映射指的是一个空间 R m \mathbb{R}^m Rm到另一个空间 R n \mathbb{R}^n Rn的变换关系，狭义的函数其实是映射的一种特例，特指实数集间 R 1 \mathbb{R}^1 R1的映射关系。
在所有映射中，我们最常见的是线性映射，对这种线性映射关系，我们是用矩阵来刻画，比如我们要将一个向量 x ∈ R m x \in \mathbb{R}^m x∈Rm映射到另外一个空间 R n \mathbb{R}^n Rn中，那么我们就对其左乘一个矩阵 A A A，于是 y n × 1 = A n × m x m × 1 y_{n \times 1}=A_{n \times m} x_{m \times 1} yn×1=An×mxm×1，这里矩阵的角色就好比函数中的函数体 f ( x ) f(x) f(x)
研究矩阵的性质有助于我们理解这个矩阵是如何作用于输入的，从而揭露了从输入到输出之间的规律。比如：
矩阵的秩反映了映射目标向量空间的维数，比如对于变换 y = A x y=Ax y=Ax，如果 A A A的秩分别1，2，3，那么表示新的向量 y y y的维数分别是1,2，3，所以秩其实就是描述了这个变换矩阵会不会将输入的向量空间降维，如果 y y y没有降维（与 x x x维数一样），则 A A A为满秩。
可逆矩阵反映了线性映射的可逆性，假如 A A A是可逆的，那么对于变换 y = A x y=Ax y=Ax，就有 x = A − 1 y x=A^{-1}y x=A−1y
矩阵范数则反映了线性映射把一个向量映射为另一个向量，向量的“长度”缩放的比例，或者可以理解为矩阵的范数就是一种用来刻画变换强度大小的度量。另外，各种范数之间是等价的，这些主要介绍他们的数学定义。
矩阵范数
常用的矩阵范数：
F-范数：Frobenius范数，即矩阵元素绝对值的平方和再开方，对应向量的2范数， ∥ A ∥ F = ( ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n ∣ a i j ∣ 2 ) 1 2 \|A\|_{F}=\left(\sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n}\left|a_{i j}\right|^{2}\right)^{\frac{1}{2}} ∥A∥F=(∑i=1m∑j=1n∣aij∣2)21
F范数经常用来衡量两个矩阵是否相似，比如要使矩阵 B B B 与矩阵 A A A相似，那么就可以优化它们的误差矩阵 B − A B-A B−A 的F范式。
1-范数：列和范数，即矩阵每列向量元素绝对值之和中取最大值， ∥ A ∥ 1 = max j ∑ i = 1 m ∣ a i , j ∣ \|A\|_{1}=\max _{j} \sum_{i=1}^{m}\left|a_{i, j}\right| ∥A∥1=maxj∑i=1m∣ai,j∣
2-范数：谱范数，即 A T A A^{T} A ATA矩阵的最大特征值的开平方， ∥ A ∥ 2 = λ 1 , λ 1 \|A\|_{2}=\sqrt{\lambda_{1}}, \lambda_{1} ∥A∥2=λ1,λ1 为 A T A A^{T} A ATA的最大特征值
∞ \infty ∞-范数：行和范数，即矩阵每行向量元素绝对值之和中取最大值， ∥ A ∥ ∞ = max i ∑ j = 1 n ∣ a i , j ∣ \|A\|_{\infty}=\max _{i} \sum_{j=1}^{n}\left|a_{i, j}\right| ∥A∥∞=maxi∑j=1n∣ai,j∣
向量范数
常用的向量范数：
2-范数：Euclid范数（欧几里得范数），也就是向量长度，向量元素绝对值的平方和再开方， ∥ x ∥ 2 = ( ∑ i = 1 N ∣ x i ∣ 2 ) 1 2 \|x\|_{2}=\left(\sum_{i=1}^{N}\left|x_{i}\right|^{2}\right)^{\frac{1}{2}} ∥x∥2=(∑i=1N∣xi∣2)21
1-范数：即向量元素绝对值之和， ∥ x ∥ 1 = ∑ i = 1 N ∣ x i ∣ \|x\|_{1}=\sum_{i=1}^{N}\left|x_{i}\right| ∥x∥1=∑i=1N∣xi∣
∞ \infty ∞-范数：即所有向量元素绝对值中的最大值， ∥ x ∥ ∞ = max ∣ x i ∣ \|x\|_{\infty}=\max \left|x_{i}\right| ∥x∥∞=max∣xi∣
− ∞ -\infty −∞范数：即所有向量元素绝对值中的最小值， ∥ x ∥ − ∞ = min i ∣ x i ∣ \|x\|_{-\infty}=\min _{i}\left|x_{i}\right| ∥x∥−∞=mini∣xi∣
p-范数：即向量元素绝对值的p次方和的1/p次幂，2范数就是p范数的特例， ∥ x ∥ p = ( ∑ i = 1 N ∣ x i ∣ p ) 1 p \|x\|_{p}=\left(\sum_{i=1}^{N}\left|x_{i}\right|^{p}\right)^{\frac{1}{p}} ∥x∥p=(∑i=1N∣xi∣p)p1
0-范数，向量中非零元素的个数。
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