向量内积的推导_向量数量积的坐标公式推导

全栈程序员-用户IM • 2022年9月16日上午10:00 • 未分类

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基本式

$\mathbf{x}\cdot\mathbf{y}=x_1y_1+\cdots+x_ny_n=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_iy_i$

$\mathbf{x}^T\mathbf{y}=\begin{bmatrix} x_1&\cdots&x_n \end{bmatrix}\begin{bmatrix} y_1\\ \vdots\\ y_n \end{bmatrix}=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_iy_i$

几何

$\left\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\right\rangle=\Vert\mathbf{x}\Vert\,\Vert\mathbf{y}\Vert\,\cos\theta$

向量内积的推导_向量数量积的坐标公式推导

$\begin{aligned} \cos(\alpha-\beta)&=\cos\alpha\,\cos\beta+\sin\alpha\,\sin\beta\\ &=\displaystyle\frac{x_1}{\Vert\mathbf{x}\Vert}\frac{y_1}{\Vert\mathbf{y}\Vert}+\frac{x_2}{\Vert\mathbf{x}\Vert}\frac{y_2}{\Vert\mathbf{y}\Vert}\\ &=\frac{x_1y_1+x_2y_2}{\Vert\mathbf{x}\Vert~\Vert\mathbf{y}\Vert}.\end{aligned}$

$\left\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\right\rangle=x_1y_1+x_2y_2$

對稱性：
$\begin{aligned} \left\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\right\rangle&=x_1y_1+x_2y_2=y_1x_1+y_2x_2=\left\langle\mathbf{y},\mathbf{x}\right\rangle\end{aligned}$ 。
線性函數：設 $\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z}\in\mathbb{R}^2$ 。固定 $\mathbf{x}$ 時，

$\begin{aligned} \left\langle\mathbf{x},\mathbf{y}+\mathbf{z}\right\rangle&=x_1(y_1+z_1)+x_2(y_2+z_2)\\ &=(x_1y_1+x_2y_2)+(x_1z_1+x_2z_2)\\ &=\left\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\right\rangle+\left\langle\mathbf{x},\mathbf{z}\right\rangle,\end{aligned}$

而且

$\begin{aligned} \left\langle\mathbf{x},c\mathbf{y}\right\rangle&=x_1(cy_1)+x_2(cy_2)\\ &=c(x_1y_1+x_2y_2)\\ &=c\left\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\right\rangle.\end{aligned}$

同樣道理，固定 $\mathbf{y}$ 時，

$\begin{aligned} \left\langle\mathbf{x}+\mathbf{z},\mathbf{y}\right\rangle&=\left\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\right\rangle+\left\langle\mathbf{z},\mathbf{y}\right\rangle\\ \left\langle c\mathbf{x},\mathbf{y}\right\rangle&=c\left\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\right\rangle.\end{aligned}$