Fisher Information学习笔记

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Fisher Infomation的意义

Fisher Information 顾名思义，就是用来衡量样本数据的信息量的，通常我们有一组样本，我们在机器学习中需要估计出样本的分布，我们是利用样本所具有的信息量来估计参数的，样本中具有的信息量越多，估计的参数越准，样本的分布估计的就越接近真实分布，这里的信息量就是用Fisher Information来表示的。

什么样本信息量比较大？

我们用样本发生的概率来衡量样本本身所携带的信息量，如果样本发生的概率比较大，那么说明我们在这个样本上可以学习到的东西不多，例如机器学习中，样本一上来概率就都是1，那么参数w就基本学习不出了，相反，如果样本发生的概率比较小，就可以认为该样本携带的信息很多。

Fisher Information目标

对于最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation）的基本思想。对于随机变量X～f(x|w)，直觉上，当参数w取到的值接近准确值时，似然函数的值应该很大，所以当参数w取到准确值时，似然函数的值应该取到最大值，或者（对数）似然函数的一阶导数为0。
我们定义对数似然函数log(x|w) = log(f(x|w))，令它的导数为0，这有公式$log^{'}(x|w)=\frac{{\partial{logf(x|w)}}}{\partial{w}}=\frac{{f(x|w)^{'}}}{f(x|w)}$
根据上文，如果$log^{'}(x|w)$非常接近于0，那么我们基本学习不到太多跟参数w有关的知识，换句话说模型基本不会更新了；相反，如果$|log^{'}(x|w) |$很大，或者说$|log^{'}(x|w)^{2} |$很大，那么样本就提供了比较多的关于参数w的信息。因此，我们可以用$|log^{'}(x|w)^{2} |$来衡量提供的信息（information）。但是X是随机变量，所以我们就考虑$|log^{'}(x|w)^{2} |$的期望值$E(log^{'}(x|w)^{2})$。 我们使用Info(w)表示Fisher Information。

Fisher Information三大定义

定义1：

综上所述，Fisher Information可以直接定义：
$Info(w)=E(log^{'}(x|w)^{2})=\int{log^{'}(x|w)^{2} f(x|w)dx}$

定义2：

由于$\int{f^{'}(x|w)dx}=\partial{\int{f(x|w)dx}} / \partial{w}=0$ 以及$\int{f^{''}(x|w)dx}=\partial^{2}{\int{f(x|w)dx}} / \partial{w^{2}}=0$ ，我们可以计算得到：
$E(log^{'}(x|w))=\int{log^{'}(x|w) f(x|w)dx}=\int{\frac{f^{'}(x|w)}{f(x|w)} f(x|w)dx}=\int{f^{'}(x|w)dx}=0$
所以我们进一步可以得到定义2：
$Info(w)=Var(log^{'}(x|w))$
And $Var(log^{'}(x|w))=E(log^{'}(x|w)^{2}) - E^{2}(log^{'}(x|w))=E(log^{'}(x|w)^{2})$;

定义3：

$log^{''}(x|w)=\frac{\partial}{\partial{w}}[\frac{f^{'}(x|w)}{f(x|w)}]=\frac{f^{''}(x|w)f(x|w) - [f^{'}(x|w)]^{2}}{f^{2}(x|w)}=\frac{f^{''}(x|w)}{f(x|w)} - [log^{'}(x|w)]^{2}$
然后我们求二次导数的期望：
$E(log^{''}(x|w))=\int{[\frac{f^{''}(x|w)}{f(x|w)} - [log^{'}(x|w)]^{2}] f(x|w)dx}=\int{f^{''}(x|w)dx} - E(log^{'}(x|w)]^{2})=-Info(w)$;
所以我们可以得到定义3：
$Info(w)=-E(log^{'}(x|w)]^{2})=- \int{\frac{\partial^{2}{log(f(x|w))}}{\partial^{2}{w}} f(x|w)dx}$
在大多数的问题中，定义3最为常用，我们直接求log似然的二次导数来计算Fisher Information。