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向量范数

今天来聊一聊机器学习矩阵论的相关知识——范数（Norm）。

在学习机器学习基础算法的推导过程中，可以看到很多地方都应用到了这个范数。范数属于矩阵论的知识范围，可见数学基础的重要性。

机器学习的数学基础重点推荐——MIT的机器学习数学基础课

如果只需要快速了解，请参考——矩阵范数计算

完整的MIT数学基础课程笔记可以参考：MIT 18.06 线性代数笔记

这是个非常棒的手动演算流程，本文也将编码进行验算。

向量范数

定义:一个向量空间V到实数空间的映射，不仅如此，还要满足喜爱额条件：

• $||x||⩾0$，并且$||x||=0\to x=0$
• 对于任意实数$\gamma $，有$||\gamma x|| = \gamma ||x||$
• 满足三角不等式，$||x||+||y||⩾||x+y||$

1-norms

对于向量$V=[v_1,v_2,v_3,\dots ,v_n]$，他的范数是$||v||=|v_1|+|v_2|+|v_3|+\cdots +|v_n|={\sum }_{i=1}^n|v_i|$

2-norms（欧几里得范数）

$$||x|{|}_2=\sqrt{v_1^2+v_2^2+\cdots +v_n^2}=\sqrt{\sum _{i=1}^n{v}_i^2}$$

p-norms（特别的$\infty$-范数）

$$||x|{|}_p=(\sum _{i=1}^n|v_i{|}^p{)}^{\frac{1}{p}}，andp⩾1$$

$\infty$-norms

$$||x|{|}_{\infty }=ma{x}_{1⩽j⩽n}|x_j|$$

可视化

还有来自于知乎的数值计算的图：

n=2时，令 $||x{|}_p=1$，画出轮廓。p=1时候是菱形，p=2是圆形，p=6是圆角矩形，p=∞是方形。

对于渲染voronoi图或者机器学习的时候，使用不同范数将获得不同的边界。下图展示了离两个固定点距离相同的点组成的边界，范数定义不同，边界也不同。2-范数最简单，一直是垂直平分线，1-范数和∞-范数都存在折线，而且随着两固定点连线和x轴夹角的变化，会出现边界突变的情况。另外，这三个范数绘制的边界都经过2-范数定义的中点。有兴趣可以试下p>2时候的情况。——数值计算：向量和矩阵范数

在我们的机器学习和神经网络最优化问题就经常会使用范数，MIT的老师就给我们举了一个例子：

假设我们要求$c_1{x}_1+c_2{x}_2=0$，限制条件下$x$的最小范数：

其中的思想可以理解成，你以任何一种范数对应的图形，从原点开始blow up（增大），直到和限制条件出现交点（hit first），那么久最小的blow up，也就是上式所求最小化问题的答案。

矩阵范数

我觉得理解一样事物应该从感性的角度出发，推荐一个博文——范数的物理意义

其中精髓如下：

1. 函数图象联系了函数和几何，表达两个数之间的变化关系，映射推广了函数的概念
2. 为了便于研究映射的性质以及数学表达，我们首先需要对映射的对象进行“量化”，取定一组“基”；确定事物在这组基下的坐标，事物同构于我们所熟悉的抽象几何空间中的点，事物的映射可以理解为从一个空间中的点到另一个空间的点的映射，而映射本身也是事物；
3. 从一个线性空间到另一个线性空间的线性映射，可以用一个矩阵来表达，矩阵被看线性作映射；
4. 矩阵范数反映了线性映射把一个向量映射为另一个向量，向量的“长度”缩放的比例；
5. 由矩阵算子范数的定义形式（下面小节的定义公式）可知，矩阵$A$把向量$x$映射成向量$Ax$，取其在向量$x$范数为1所构成的闭集下的向量$Ax$范数最大值作为矩阵A的范数，即矩阵对向量缩放的比例的上界，矩阵的算子范数是相容的。
6. 由几何意义可知，矩阵的算子范数必然大于等于矩阵谱半径（最大特征值的绝对值），矩阵算子范数对应一个取到向量$Ax$范数最大时的向量$x$方向，谱半径对应最大特征值下的特征向量的方向。
7. 矩阵的奇异值分解SVD，分解成左右各一个酉阵，和拟对角矩阵，可以理解为对向量先作旋转、再缩放、最后再旋转，奇异值，就是缩放的比例，最大奇异值就是谱半径的推广，所以，矩阵算子范数大于等于矩阵的最大奇异值，酉阵在此算子范数的意义下，范数大于等于1。此外，不同的矩阵范数是等价的。

通过向量定义的矩阵范数

$$||A|{|}_p=ma{x}_{x\ne 0}\frac{||Ax|{|}_p}{||x|{|}_p}=ma{x}_{||x|{|}_p=1}||Ax|{|}_p={\sigma }_1$$

这个${\sigma }_1$是最大的奇异值，那么哪个是x？

如果x是个特征函数，那么他们的比例其实就是特征值$\lambda$，所以他不是特征向量，而是奇异值向量$v_1$。

矩阵 2-范数

矩阵2-范数： $||A|{|}_2=\sqrt{{\lambda }_{m}ax(A^{2}A)}$ ，为$A^{T}A$的最大特征值，取其对应的特征向量 $x$ ，有 $A^{T}Ax={\lambda }_{max}(A^{T}A)x=||A|{|}_2^{2}x$ 。

所以，$A^{T}Ax=||A|{|}_2^{2}x$

对$||A|{|}_2^{2}x$取1-范数：
$$||(||A|{|}_2^{2}x)|{|}_1=||A^{T}Ax|{|}_1⩽||A^T|{|}_1||A|{|}_1||x|{|}_1=||A|{|}_{\infty }||A|{|}_1||x|{|}_1$$

$$||(||A|{|}_2^{2}x)|{|}_1=||A|{|}_2^2||x|{|}_1⩽||A|{|}_{\infty }||A|{|}_1||x|{|}_1$$

$$||A|{|}_2^2⩽||A|{|}_{\infty }||A|{|}_1$$

Frobenius范数

$$||A|{|}_F=(\sum _i\sum _j|a_{ij}{|}^2{)}^{\frac{1}{2}}$$

其中对$A$进行SVD，得到$A=U\Sigma V^T$，可以看出$A$的Forbenius范数，其实就是进行SVD的$\Sigma$的范数。然后就产生了一个新的范数$||A|{|}_N$:

$$||A|{|}_N=\sqrt{{\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2+\cdots +{\sigma }_n^2}$$

Practise：实践是检验真理的为唯一标准！

对于开头提到的博客，其中进行手算的矩阵norms，本文使用python的numpy进行计算，方便对于每一个计算中间过程进行检查和查看：

print("验证博客手算结果：https://blog.csdn.net/codinghappiness/article/details/90896632")
print("待求矩阵A为：")
A = np.matrix('-1,,5,-2;-2,1,0;3,-8,2')
print(A)

print("矩阵A的1范数：")
print (np.linalg.norm(A,ord=1))

print("矩阵A的2范数：")
print (np.linalg.norm(A,ord=2))

print("以下是分步的计算过程进行验证：")
#print(A.T)
print("A转置A的结果是B：")
B = A.T.dot(A)
print(B)
print("求得特征值：")
e, v = np.linalg.eig(B)
print(e)
print("其中最大得为：")
print(e[0])
print("开平方：")
print(math.sqrt(e[0]))