矩阵范数与向量范数关系_矩阵范数的定义

矩阵范数与向量范数关系_矩阵范数的定义范数是距离在向量和矩阵上的推广,在研究收敛性、判断矩阵非奇异等方面有广泛应用。本节包括以下内容:(1)向量范数;(2)矩阵范数;(3)从属范数;(4)谱半径;(5)矩阵的非奇异条件。1向量范数从向量到实数的映射/函数。定义(1)条件:非负性、齐次性、三角不等式(∥x+y∥≤∥x∥+∥y∥\|x+y\|\leq\|x\|+\|y\|)。

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范数是距离在向量和矩阵上的推广,在研究收敛性、判断矩阵非奇异等方面有广泛应用。

本节包括以下内容:

(1)向量范数;
(2)矩阵范数;
(3)从属范数;
(4)谱半径;
(5)矩阵的非奇异条件。

1 向量范数

从向量到实数的映射/函数。

定义

(1)条件:非负性、齐次性、三角不等式( x+yx+y );
(2)敛散:向量序列 {
x(k)}
收敛,即每个分量在 k 时都有极限 ξi ,否则发散。

性质

(1)连续型:可证 xyxy ,继而可证向量范数是其分量的连续函数;
(2)等价性:任意范数,存在 c1,c2 使 c1xbxac2xb 成立。有限维线性空间上的不同范数是等价的;
(3)等价性的意义:向量范数大小可能不同,但在考虑向量序列收敛问题时,却表现出明显的一致性(向量序列 {
x(k)}
收敛到 x 的充要条件是,对任意一种范数 序列

{x(k)x}
收敛于零)。

常用范数

(1)p-范数(1-范数、2-范数等):

xp=(i=1n|ξi|p)1/p

,也称为

lp
范数,注意元素的绝对值(或模);

(2)无穷范数:

x=limpxp=maxi|ξi|



(3)加权范数(椭圆范数):

xA=(xTAx)1/2
,其中

A
是任意一个
对称正定矩阵。注意



PTAP=IA=(PT)1P1=BTBxA=B2

2 矩阵范数

从(复)矩阵到实数的映射/函数。

定义

(1)广义矩阵范数:非负性、齐次性、三角不等式 A+BA+B
(2)矩阵范数:除以上三条件外,满足相容性 ABAB (因此 AkAk )。

性质

(1)判断收敛: A(k)A 的充要条件是 A(k)A0
(2)连续型:可证 ABAB ,继而可证连续性,即 A(k)A 可推出 A(k)A (因此,当 A0 时, AO );
(3)等价性:满足定义四条件的矩阵范数都是等价的;
(4) F 范数的性质: PAF=A_F=AQF ,其中 P,Q 为酉矩阵。

常用范数

(1) m1 :所有元素绝对值(模)之和 i,jaij
(2) m2 :所有元素平方和开根号 (ijaij2)1/2)=(tr(AHA))1/2 ,等同于 F
(3) m :所有元素绝对值(模)最大值乘以 n

nmaxi,jaij

(4) 1 :各列元素绝对值(模)之和最大者 maxjmi=1aij .
(5) 2 :最大奇异值 λ1 ,其中 λ1 AHA 的最大特征值;
(6) :各行元素绝对值(模)之和最大者 maxinj=1aij. .
(7) F :同 m2 ,为 (ijaij2)1/2)=(tr(AHA))1/2 .

3 矩阵与向量范数的相容性

定义

(1)矩阵与向量范数的相容性:若 AxVAMxV (ACm×n, xCn) ,则称矩阵范数 M 与向量范数 V 是相容的;
(2)构造相容范数:从属范数(由向量范数导出的矩阵范数, A=maxx=1Ax ,也可以等价定义为 A=maxxAxx )。

定理

(1)F-范数:设 P, Q 为酉矩阵,则 PAF=AF=AQF
(2)F-范数:与 A 酉(正交)相似的矩阵的 F-范数是相同的;
(3)构造相容范数:

A=maxx=1Ax
是同类向量范数)是矩阵范数,且与已知的向量范数相容(即 A 的值域中向量范数最大者)。

常用范数

从属范数:

(1)列和范数:

A1=maxx1=1Ax1=maxjmi=1aij
(每列元素绝对值/模和最大者);
(2)谱范数: A1=maxx1=2Ax2=λ1 (其中 λ1 AHA 的最大特征值);
(3)行和范数: A=maxx=1Ax=maxinj=1aij (每行元素绝对值/模和最大者);
(4)Frobenius 范数(F-范数): AF=(ijaij2)1/2=(tr(AHA))1/2 (所有元素平方和开根号)。

4 谱半径

定义

(1)谱半径: ρ(A)=maxiλi (注意绝对值/模);

定理

(1)对任意矩阵范数,有 ρ(A)A (证:用 λxV=AxMAx );
(2) ρ(Ak)=[ρ(A)]k (证:用 P1AP=J );
(3)谱范数: A2=ρ1/2(AHA)=ρ1/2(AAH) 。当 A 是 Hermite 矩阵时,

A2=ρ(A)
(证: ρ(AHA)=ρ(A2)=[ρ(A)]2 );
(4)对任意正数 ϵ ,一定存在某种矩阵范数使得 AMρ(A)+ϵ

5 矩阵的非奇异条件

(1) ACn×n ,若存在某种范数使 A<1 ,则矩阵 IA 非奇异,且 (IA)1I1A
(2) ACn×n ,若存在某种范数使 A<1 ,则 I(IA)1A1A A 很小,即 AO 时, IA I <script type="math/tex" id="MathJax-Element-243">I</script> 的逼近程度)。

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