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范数是距离在向量和矩阵上的推广,在研究收敛性、判断矩阵非奇异等方面有广泛应用。
本节包括以下内容:
(1)向量范数;
(2)矩阵范数;
(3)从属范数;
(4)谱半径;
(5)矩阵的非奇异条件。
1 向量范数
从向量到实数的映射/函数。
定义
(1)条件:非负性、齐次性、三角不等式( ∥x+y∥≤∥x∥+∥y∥ );
(2)敛散:向量序列 {
x(k)} 收敛,即每个分量在 k→∞ 时都有极限 ξi ,否则发散。
性质
(1)连续型:可证 ∥∥x∥−∥y∥∥≤∥x−y∥ ,继而可证向量范数是其分量的连续函数;
(2)等价性:任意范数,存在 c1,c2 使 c1∥x∥b≤∥x∥a≤c2∥x∥b 成立。有限维线性空间上的不同范数是等价的;
(3)等价性的意义:向量范数大小可能不同,但在考虑向量序列收敛问题时,却表现出明显的一致性(向量序列 {
x(k)} 收敛到 x 的充要条件是,对任意一种范数 序列
{∥x(k)−x∥}
常用范数
(1)p-范数(1-范数、2-范数等):
,也称为
lp
范数,注意元素的绝对值(或模);
(2)无穷范数:
;
(3)加权范数(椭圆范数):
∥x∥A=(xTAx)1/2
,其中
A
是任意一个
对称正定矩阵。注意
PTAP=I⇒A=(PT)−1P−1=BTB⇒∥x∥A=∥B∥2
。
2 矩阵范数
从(复)矩阵到实数的映射/函数。
定义
(1)广义矩阵范数:非负性、齐次性、三角不等式 ∥A+B∥≤∥A∥+∥B∥ ;
(2)矩阵范数:除以上三条件外,满足相容性 ∥AB∥≤∥A∥∥B∥ (因此 ∥Ak∥≤∥A∥k )。
性质
(1)判断收敛: A(k)→A 的充要条件是 ∥A(k)−A∥→0 ;
(2)连续型:可证 ∥∥A∥−∥B∥∥≤∥A−B∥ ,继而可证连续性,即 A(k)→A 可推出 ∥A(k)∥→∥A∥ (因此,当 ∥A∥→0 时, A→O );
(3)等价性:满足定义四条件的矩阵范数都是等价的;
(4) F− 范数的性质: ∥PA∥F=∥A_F=∥AQ∥F ,其中 P,Q 为酉矩阵。
常用范数
(1) ∥⋅∥m1 :所有元素绝对值(模)之和 ∑i,j∥aij∥ ;
(2) ∥⋅∥m2 :所有元素平方和开根号 (∑ij∥aij∥2)1/2)=(tr(AHA))1/2 ,等同于 ∥⋅∥F ;
(3) ∥⋅∥m∞ :所有元素绝对值(模)最大值乘以 n ,
n⋅maxi,j∥aij∥
(4) ∥⋅∥1 :各列元素绝对值(模)之和最大者 maxj∑mi=1∥aij∥ .
(5) ∥⋅∥2 :最大奇异值 λ1‾‾‾√ ,其中 λ1 为 AHA 的最大特征值;
(6) ∥⋅∥∞ :各行元素绝对值(模)之和最大者 maxi∑nj=1∥aij∥. .
(7) ∥⋅∥F :同 ∥⋅∥m2 ,为 (∑ij∥aij∥2)1/2)=(tr(AHA))1/2 .
3 矩阵与向量范数的相容性
定义
(1)矩阵与向量范数的相容性:若 ∥Ax∥V≤∥A∥M∥x∥V (∀A∈Cm×n, ∀x∈Cn) ,则称矩阵范数 ∥⋅∥M 与向量范数 ∥⋅∥V 是相容的;
(2)构造相容范数:从属范数(由向量范数导出的矩阵范数, ∥A∥=max∥x∥=1∥Ax∥ ,也可以等价定义为 ∥A∥=maxx∥Ax∥∥x∥ )。
定理
(1)F-范数:设 P, Q 为酉矩阵,则 ∥PA∥F=∥A∥F=∥AQ∥F ;
(2)F-范数:与 A 酉(正交)相似的矩阵的 F-范数是相同的;
(3)构造相容范数:
∥A∥=max∥x∥=1∥Ax∥
常用范数
从属范数:
(1)列和范数:
∥A∥1=max∥x∥1=1∥Ax∥1=maxj∑mi=1∥aij∥
(2)谱范数: ∥A∥1=max∥x∥1=2∥Ax∥2=λ1‾‾‾√ (其中 λ1 为 AHA 的最大特征值);
(3)行和范数: ∥A∥∞=max∥x∥∞=1∥Ax∥∞=maxi∑nj=1∥aij∥ (每行元素绝对值/模和最大者);
(4)Frobenius 范数(F-范数): ∥A∥F=(∑i∑j∥aij∥2)1/2=(tr(AHA))1/2 (所有元素平方和开根号)。
4 谱半径
定义
(1)谱半径: ρ(A)=maxi∥λi∥ (注意绝对值/模);
定理
(1)对任意矩阵范数,有 ρ(A)≤∥A∥ (证:用 ∥λx∥V=∥Ax∥M≤∥A∥∥x∥ );
(2) ρ(Ak)=[ρ(A)]k (证:用 P−1AP=J );
(3)谱范数: ∥A∥2=ρ1/2(AHA)=ρ1/2(AAH) 。当 A 是 Hermite 矩阵时,
∥A∥2=ρ(A)
(4)对任意正数 ϵ ,一定存在某种矩阵范数使得 ∥A∥M≤ρ(A)+ϵ 。
5 矩阵的非奇异条件
(1) A∈Cn×n ,若存在某种范数使 ∥A∥<1 ,则矩阵 I−A 非奇异,且 ∥(I−A)−1∥≤∥I∥1−∥A∥ ;
(2) A∈Cn×n ,若存在某种范数使 ∥A∥<1 ,则 ∥I−(I−A)−1∥≤∥A∥1−∥A∥ ( ∥A∥ 很小,即 A→O 时, I−A 与 I <script type="math/tex" id="MathJax-Element-243">I</script> 的逼近程度)。
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