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矩阵范数不等式

$||A|{|}_2\le ||A|{|}_1||A|{|}_{\infty }$

证明

引理1 严格对角占优的矩阵行列式为正

n维实矩阵A, 满足
$$a_{ii}>\sum _{1\le j\le n,j\ne i}|a_{ij}|$$
则称A为严格对角占优的矩阵，而
$$|A|>0$$

引理1的证明

对矩阵A的维数n使用数学归纳法证明

1° 当n=1时，显然成立

2° 假设当n=k时，显然成立

当n=k+1时,

$$A=\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& {\vec{b}}_1^T\\ {\vec{b}}_2& C\end{array}\right]$$
严格对角占优条件得到，$a_{11}>0$，所以通过行的初等变换，将$\vec{b}2$转换为$\vec{0}$，此时C变为 C ′ { c i j ′ } C’\{c’_{ij}\} C′{
cij′​}，取任一行i-1行
$$c_{i-1j-1}^{\prime }=\frac{1}{a_{11}}(a_{11}{a}_{ij}-a_{1j}{a}_{i1})$$
所以
$$\begin{array}{rl}\sum _{2\le j\le n,j\ne i}|c_{i-1j-1}^{\prime }|& =\sum _{2\le j\le n,j\ne i}\frac{1}{a_{11}}|a_{11}{a}_{ij}-a_{1j}{a}_{i1}|\\ & \le \sum _{2\le j\le n,j\ne i}|a_{ij}|+\frac{|a_{i1}|}{a_{11}}\sum _{2\le j\le n,j\ne i}|a_{1j}|\\ & <a_{ii}-|a_{i1}|+|a_{i1}|-\frac{|a_{i1}||a_{1i}|}{a_{11}}\\ & =a_{ii}-\frac{|a_{i1}||a_{1i}|}{a_{11}}\end{array}$$
而
$$c_{i-1i-1}^{\prime }=\frac{1}{a_{11}}(a_{11}{a}_{ii}-a_{1i}{a}_{i1})\ge a_{ii}-\frac{|a_{i1}||a_{1i}|}{a_{11}}$$
所以
$$c_{i-1i-1}^{\prime }>\sum _{2\le j\le n,j\ne i}|c_{i-1j-1}^{\prime }|$$
所以C’是严格对角占优矩阵， C’的维数是k，所以|C’|>0, 而 $|A|=a_{11}|C^{\prime }|$ 所以|A|>0成立。

综合1° 2°， $|A|>0$

原命题证明

令 C { c i j } = A T A C\{c_{ij}\} = A^TA C{
cij​}=ATA,则$A^{T}A$的特征多项式f(λ)
$$f(\lambda )=|\lambda E-C|$$
任取 ${\lambda }^{\prime }>||A|{|}_1||A|{|}_{\infty }$, 令 D { d i j } = λ ′ E − C A D\{d_{ij}\} = λ’E – CA D{
dij​}=λ′E−CA
$$d_{ii}={\lambda }^{\prime }-c_{ii}$$
$$d_{ij}=c_{ij},j\ne i$$
$$d_{ii}-\sum _{1\le j\le n,j\ne i}|d_{ij}|\le {\lambda }^{\prime }-\sum _{j=1}^n|c_{ij}|$$
而
$$|c_{ij}|=|\sum _{k=1}^n{a}_{ki}ajk|\le \sum _{k=1}^n|a_{ki}||a_{jk}|$$
所以
$$\begin{array}{rl}\sum _{j=1}^n|c_{ij}|& \le \sum _{j=1}^n\sum _{k=1}^n|a_{ki}||a_{jk}|\\ & =\sum _{k=1}^n(|a_{ki}|\sum _{j=1}^n|a_{jk}|)\\ & \le \sum _{k=1}^n(|a_{ki}|||A|{|}_{\infty })\\ & =||A|{|}_{\infty }\sum _{k=1}^n|a_{ki}|\\ & \le ||A|{|}_{\infty }||A|{|}_1\end{array}$$
所以
$$d_{ii}-\sum _{1\le j\le n,j\ne i}|d_{ij}|\ge {\lambda }^{\prime }-||A|{|}_{\infty }||A|{|}_1>0$$
所以D是严格对角占优矩阵，根据引理1，得到|D|>0,最后得到f(λ’)>0.

记$A^{T}A$的最大特征值为${\lambda }_{max}$,而f(λ_max) = 0，所以${\lambda }_{max}\le ||A|{|}_1||A|{|}_{\infty }$
所以
$$||A|{|}_2={\lambda }_{max}\le ||A|{|}_1||A|{|}_{\infty }$$

1-范数相容性

A是mxn矩阵，B是nxs矩阵,则
$$||AB|{|}_1\le ||A|{|}_1||B|{|}_1$$

证明

令 C { c i j } = A B C\{c_{ij}\} = AB C{
cij​}=AB,则
$$c_{ij}=\sum _{k=1}^n{a}_{in}bnj$$
所以
$$\begin{array}{rl}\sum _{i=0}^m|c_{ij}|& =|\sum _{i=0}\sum _{k=1}^n{a}_{in}bnj|\\ & \le \sum _{k=1}^n(|b_{nj}|\sum _{i=0}^m|a_{in}|)\\ & \le \sum _{k=1}^n(|b_{nj}|||A|{|}_1)\\ & =||A|{|}_1\sum _{k=1}^n|b_{nj}\\ & \le ||A|{|}_1||B|{|}_1\end{array}$$
所以
$$||AB|{|}_1\le ||A|{|}_1||B|{|}_1$$

2-范数相容性

A是mxn矩阵，B是nxs矩阵,则
$$||AB|{|}_2\le ||A|{|}_2||B|{|}_2$$

证明

任取一个s维向量$\vec{x}$ 满足 $||\vec{x}|{|}_2=1$,则
$$||B\vec{x}|{|}_2\le ||B|{|}_2$$
令
$$\vec{y}=\frac{B\vec{x}}{||B\vec{x}|{|}_2}$$
则
$$||A\vec{y}|{|}_2\le ||A|{|}_2$$
所以
$$||AB\vec{x}|{|}_2=||B\vec{x}|{|}_2||A\vec{y}|{|}_2\le ||B|{|}_2||A|{|}_2$$
所以
$$||AB|{|}_2\le ||A|{|}_2||B|{|}_2$$