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1.普通正态分布转换标准正态分布公式
我们知道正态分布是由两个参数 μ \mu μ与 σ \sigma σ确定的。对于任意一个服从 N ( μ , σ 2 ) N(\mu, \sigma^2) N(μ,σ2)分布的随机变量 X X X，经过下面的变换以后都可以转化为 μ = 0 , σ = 1 \mu=0, \sigma=1 μ=0,σ=1的标准正态分布(standard normal distribution)。转换公式为:
z = X − μ σ z = \frac{X-\mu}{\sigma} z=σX−μ
2.证明
概率统计的教科书上一般直接给出这个结论，并没有给出相应的证明。下面我们来看看这个结论的推理过程。由于犯懒懒得编辑公式，直接贴截图，证明过程来自参考文献1。
3.几个应用的例子
3.1 假设公共汽车门的高度按成年男性碰头机会小于1%来设计。又假设成年男性的身高服从正态分布 X ∼ N ( 170 , 6 2 ) X \sim N(170, 6^2) X∼N(170,62)，求问车门的高度 h h h为多少?
假设身高这一随机变量为 X X X，那么要求的问题为:
P ( x > h ) = 0.01 P(x > h) = 0.01 P(x>h)=0.01
即
1 − P ( x ≤ h ) = 0.01 1 – P(x \le h) = 0.01 1−P(x≤h)=0.01
P ( x ≤ h ) = 0.99 P(x \le h) = 0.99 P(x≤h)=0.99
因为 X ∼ N ( 170 , 6 2 ) X \sim N(170, 6^2) X∼N(170,62), 所以 h − 170 6 ∼ N ( 0 , 1 ) \frac{h – 170}{6} \sim N(0, 1) 6h−170∼N(0,1)。
通过查标准正态分布表可知, P ( z ≤ 2.33 ) = 0.99 P(z \le 2.33) = 0.99 P(z≤2.33)=0.99
因此h = 170 + 6 * 2.33 = 183.98cm
3.2 现在有一个 μ = 10 \mu = 10 μ=10和 σ = 2 \sigma = 2 σ=2的正态随机变量，求x在10与14之间的概率是多少？
当x=10时，z = 0。当x=14时，z = (14-10)/2 = 2。于是，x在10与14之间的概率等价于标准正态分布中0与2之间的概率。
P ( 0 ≤ z ≤ 2 ) = P ( z ≤ 2 ) − P ( z ≤ 0 ) = 0.4772 P(0 \le z \le 2) = P(z \le 2) – P(z \le 0) = 0.4772 P(0≤z≤2)=P(z≤2)−P(z≤0)=0.4772
参考文献：
1.https://www.zhihu.com/question/30121927
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