向量内积_向量的内积和外积公式

向量内积_向量的内积和外积公式向量内积一般指点积;在数学中,数量积(dotproduct;scalarproduct,也称为点积)是接受在实数R上的两个向量并返回一个实数值标量的二元运算。它是欧几里得空间的标准内积。[1] 两个向量a=[a1,a2,…,an]和b=[b1,b2,…,bn]的点积定义为:a·b=a1b1+a2b2+……+anbn。使用矩阵乘法并把(纵列)

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向量内积
一般指点积;

在数学中,数量积(dot product; scalar product,也称为点积)是接受在实数R上的两个
向量并返回一个实数值
标量
二元运算。它是
欧几里得空间的标准
内积
[1]
 
两个向量a = [a1, a2,…, an]和b = [b1, b2,…, bn]的点积定义为:
a·b=a1b1+a2b2+……+anbn。
使用
矩阵乘法并把(纵列)向量当作n×1 
矩阵,点积还可以写为:
a·b=a^T*b,这里的a^T指示
矩阵a的
转置

点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角,以及在b向量在a向量方向上的投影,有公式:


向量内积_向量的内积和外积公式


推导过程如下,首先看一下向量组成:


向量内积_向量的内积和外积公式



定义向量:


向量内积_向量的内积和外积公式


根据三角形余弦定理有:


向量内积_向量的内积和外积公式


根据关系c=a-b(a、b、c均为向量)有:


向量内积_向量的内积和外积公式


即:

向量内积_向量的内积和外积公式


向量a,b的长度都是可以计算的已知量,从而有a和b间的夹角θ:


向量内积_向量的内积和外积公式


根据这个公式就可以计算向量a和向量b之间的夹角。从而就可以进一步判断这两个向量是否是同一方向,是否正交(也就是垂直)等方向关系,具体对应关系为:


     a·b>0    方向基本相同,夹角在0°到90°之间

     a·b=0    正交,相互垂直  

     a·b<0    方向基本相反,夹角在90°到180°之间 


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