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@TOC一种突发事件的时滞动力学模型
2019-nCoV与参数辨识

摘要
在本文中，我们提出了一个具有时滞的动态系统来描述2019-nCoV在中国的爆发。这种传染病的一个典型特征是它可以在潜伏期传播，因此可以用微分方程中的时滞过程来描述。分类群体的累计数量作为变量，与官方数据一致，便于参数辨识。为2019-nCoV疫情的预测和参数识别提供了数值方法，数值结果表明，该动态系统能够较好地预测疫情的发展趋势。在数值模拟的基础上，提出了利用政府进行高隔离率的个体传播控制的建议。

关键词:动态系统，时滞过程，参数辨识，疫情预测，隔离。
1介绍
冠状病毒是一种包膜型单链阳性RNA病毒，属于冠状病毒科和Nidovirales亚目

∗电子邮件:yuchen@sufe.edu.cn
†通讯作者:jcheng@fudan.edu.cn Email: jiang.yu@mail.shufe.edu.cn§Email: liu.keji@sufe.edu.cnkjliu.ip@gmail.com
1
在1965年被发现，广泛分布于哺乳动物和鸟类中。在人类中，大多数冠状病毒引起轻微的呼吸道感染，但更罕见的形式，如中国的“严重急性呼吸道综合征”(SARS)和沙特阿拉伯和韩国的“中东呼吸综合征”(MERS)，在过去20年累计病例超过10000例。虽然许多冠状病毒已经被识别和鉴定，但它们可能只是冰山一角，许多潜在的严重的和新的人畜共患病冠状病毒需要被揭示。
2019年12月，湖北省省会、中国中部最大城市之一的武汉出现了一系列不明原因的肺炎病例。武汉市卫生委员会于2019年12月12日报告了27例病毒性肺炎，其中包括7例重症病例，肺炎的爆发开始在世界范围内引起相当大的关注。中国当局确认的病原体被世界卫生组织(WHO)于2020年1月10日指定为2019年新型冠状病毒(2019- ncov)。
2020年1月20日，中国政府修订了《传染病防疫法》，新增小说2019-nCoV为A类病原。并采取了一系列非药物干预措施，即隔离有症状的人，严格禁止在湖北省内出行，部分城市公共交通停运等。然而，这些干预措施在早期阶段的有效性和效率是值得怀疑的。截至目前，武汉确诊病例3000多例，中国确诊病例11000多例，出口日本、韩国、新加坡、美国、加拿大、德国、法国、英国、西班牙等国家确诊数例。
由于2019-nCoV趋势预测在目前具有重要意义，我们在新动态模型中提出以下三个显著特征:

1.这种流行病的一个显著特征是它可以在潜伏期传播，这与2003年的SARS不同。因此，SIR[1,2,4]、SEIR4、SEIJR3等许多经典模型都不适用于描述2019-nCoV在中国的爆发。由于平均潜伏期和平均处理时间的可靠数据，我们可以将时滞过程应用到我们的新动态系统中来适当地描述典型特征。

2.中国国家卫生健康委员会只报告确诊病例、治愈病例和死亡病例的累计数字。此外，累积数在数值模拟中比瞬时增量数据更稳定。因此，在我们的小说中，我们使用时间上的累积数字作为变量

动态模型。
2
3.中国政府对疑似病例和接触的个人实施了严格的隔离规定。因此，在我们的新模型中引入了隔离过程来测量这一现象。

本文其余部分组织如下。在第二节中，我们提出了2019-nCoV在中国爆发的新型动态模型。第3节提供了用该模型估计未来确诊人数的新方法。根据官方数据，在第3节中展示了几个数值实验来验证我们估计方案的有效性和准确性。最后，我们在第五部分提出了一些结语。

本节将详细介绍一个描述2019-nCoV爆发的新型时滞动态系统。我们首先通过以下数据描述、外延和假设来陈述我们的动态模型。

数据描述:
我们的模型使用的数据来源于中国国家卫生健康委员会和中国各省市卫生健康委员会。另外，数据来源于Jan。2020年2月23日。包括累计确诊人数、累计治愈人数和累计死亡人数。

外延:
•I(t): t时刻累计感染人数;
•J(t): t时刻累计确诊人数;
G(t):目前处于隔离状态，但在t时仍处于潜伏期;
•R(t): t时刻累计治愈人数。
假设:
1.我们假设受感染的人可以向他人传播冠状病毒在传播率β,这是定义的平均数量的人在单位时间感染了这个人。

2.的潜伏期感染者一般经验τdays之前有明显的症状。1 假定在出现症状后，感染者会寻求治疗，从而成为被诊断的人。

3.受感染的人会暴露在潜伏期τuntil诊断。1 这些人的平均暴露时间τ−τdays,这意味着他们将在未来τdays诊断。1 10 10 根据对确诊病例的调查，部分感染者在潜伏期被隔离。
4.积累的诊断J (t)的人,不管他们是孤立的诊断之前,是由人口的感染在时间t−τ(平均)。1

5.我们假设一个人一旦被隔离或接受治疗，他就不会再把冠状病毒传染给其他人。因此，t时刻的暴露人群为I(t)−G(t)−J(t)。
6.τdays在诊断人民成为治愈平均κ或死率1−κ。2

基于上述表示法和假设，描述2019-nCoV爆发的新型时滞动态系统如图1所示。

图1:新型动态系统的演示。
无外源封闭系统动态模型:
假设这些种群的动态被以下ODE系统描述，

4
其中Y = [I, J, G, R]是变量向量，右边项F = [I, J, G, R]的向量表示每个变量的瞬时变化量。1111F的每一项的详细解释如下。
在t时刻，可能传染给他人的暴露人群为I(t)−G(t)−J(t)。根据传播率β的定义(见假设1),感染者在时间t的即时增量

传播率β是一个固定的常数。在一般情况下,β可能取决于时间t病毒以来活动和环境可能会发生变化。
无论是否被隔离，累计确诊的J(t)均来自于既往感染人群。因此，I(t)在t(t< t)时刻的增量，即0 0 ， I(t)对J(t)有贡献，这意味着J(t)取决于I(t)的历史。10111如果感染之间的平均延迟时间和诊断时间τ,Jcan被表示为的具体形式11

其中γ是发病率和h (tˆt) (tˆ= t−τ)是一个分布应该规范化101

我们能够观察到h (tˆt)可以被视为t0感染时间的概率分布,我们通常把正态分布h (tˆt0) = ce−c2 (tˆ−t)与萤石cbe常数。1110 21 2 在最简单的情况下,hcan也是δ-function h (tˆt) =δ(tˆ−t),这意味着每一个受感染的个人经历相同的潜伏期和治疗时间。1 100
G(t)的瞬时变化定义如下

”在哪里的隔离对于当前接触的人来说,和h(ˆt, t0) = ce−c4 (tˆ−t)与萤石cbe常数。230 2 3 4 这意味着一些暴露的感染者是新近分离的，而一些已经存在的孤立的感染者被诊断并送往医院治疗。时间延迟项仅仅(t−τ0,t0) G (t0) dt0代表新诊断的人在G (t)根据G (t)的历史。0 21
如前所述,使用积累的治愈时间t的人来自受感染的t−τ−τ(平均)。1 2 我们应用时间延迟项

5
描述R, h(ˆt, t0) = ce−c6 (tˆ−t)与萤石cbe常数。1350 25 6
将i代入(1)(3)中的时延项，我们得到以下新的无外源动态闭系统1

我们可以观察到I(t)、J(t)和G(t)的演化方程在系统(4)中是耦合的。虽然R(t)没有包含在I(t)、J(t)和G(t)的方程中，但R(t)的演化采用I(t)、J(t)和G(t)作为输入。换句话说，R(t)对正问题中的其他变量没有影响，对R(t)的观察可以帮助推断反问题中的参数和初始条件。从官方数据中可以看出，累计确诊人数J(t)和累计治愈人数R(t)是可以得到的，而I(t)和G(t)通常是无法得到的，因为它们很难测量。在实际应用中，我们将累积诊断患者J(t)和累积治愈患者R(t)应用于参数辨识。

3重建预测方案
在本节中，我们将介绍用于重建参数和预测2019-nCoV暴发趋势的方法。假设我们知道正确的参数{β,γ,κ,τ,τ,τ}和初始条件{我(t), G (t), J (t), R (t)}这部小说的动态系统(4),累计诊断人J (t)和累积治愈R (t)在任何给定的时间t小说很容易获得通过求解动态系统数值。110 20000此外，我们还建议使用Matlabr内嵌程序dde23来解决这个新的动态系统。
在实践中，对初始条件有以下假设是合理的

的参数:
1.初始条件:I(t) = 5, G(t) = J(t) = R(t) = 0。0000在第一天，我们假设有5人从未知来源感染了2019-nCoV。0此外，确诊、隔离和康复的人数在第一天为0。的数值

6
通过仿真，我们进一步假设在T = T + 15之前不存在隔离措施。0
2.参数:根据目前的数据,发病率相对较高,γ= 0.99。平均潜伏期τand治疗期τare也被视为根据官方数据。1 2 之间的平均周期越来越孤立,诊断τsatisfies 0 <τ<τ。10 10 1已知的参数集如表1所示。

γ τ1 τ10 τ2
0.99 7 4 12

表1:已知参数的值。
因此,参数的设置需要重建降低θ:=[β”)和κ,
我们的参数辨识问题有两个优化问题，

和

κ
以下是中国国家卫生健康委员会每日发布的数据。Obs. Obs. 现在，我们准备将我们的重建和预测方案表述如下

重建预测方案:
步骤1。根据官方数据J,我们解决优化问题(5)收购重建参数θ。Obs.∗
步骤2。根据官方数据兰德恢复θ,(6)是解决优化问题获得κ估计参数。Obs. ∗∗
步骤3。重构(θ,κ),一个人可以达到的预测{J (t), R (t)},{我(t), G (t)}通过求解系统(4)∗∗T 数值。
值得一提的是，无论是Levenberg-Marquad (L-M)方法还是Markov chain Monte Carlo (MCMC)方法，都可以很好地解决优化问题(5)和(6)。由于Matlabr非常熟悉这些算法，并且易于实现，所以我们省略了可以在[5]中找到的细节

和[6]。
7

在本节中，通过数值实验验证了该动态系统的有效性和准确性。

(一)隔离

没有隔离(b)
图2:模型模拟
基本模拟给定β= 0。t= 0，表1中的参数，图2为不同隔离率下的仿真结果。0 隔离的情况(’ = 0.6)如图2(a)所示。可以观察到，在这种情况下，感染人群在t = 20天后开始急剧增加，然后逐渐减少。在t = 40天后，累计感染人数最终趋于14000人左右。累计确诊和累计治愈患者的演变趋势相似，但存在相应的时间滞后。但是，在没有隔离的情况下，累计感染人数将趋于无穷大，见图2(b)。

在本例中，我们提供了一些带有估计参数的数值结果和本次事件的官方数据。我们使用10天的国家数据来推断表2中所列的那些参数。图3(a)展示了18天的情况，以检验预测的准确性。

在本例中，我们通过对几个地方省市的官方数据的观察，提供了重建参数下的一些数值结果。1市是此次事件的发生地，也是目前为止情况最严重的城市。2市是中国最发达的城市，而1省靠近2市。我们也使用数据

8
为期17天，以推断表2所示的参数。图3(b)-3(d)分别展示了18天的情况，以说明预测的准确性。

(一)中国大陆

2 ©的城市

1 (b)的城市

(d)省1
图3:重建和预测。罕见的资料，累积诊断和治愈的人进行重建。Obs. Obs. Jand Rare用于预测的评估。Obs.2 Obs.2 JReconstr。和RReconstr。对应于诊断的估计值

和治愈的病例。
查看图3和表中重构的参数。我们可以得出结论
如下
1.通过新提出的时滞动态系统，可以预测2019-nCoV的疫情发展趋势。数值结果表明，这种情况会越来越好。

2.估计的参数表明，事件的评价高度依赖于当地政府的人口、规模和公共政策。
9

地区 β ” κ
中国大陆 0.2274 0.3052 0.9692
城市1(武汉) 0.2079 0.4236 0.9697
都市2(上海) 0.2529 0.3042 0.9703
省1(江苏) 0.2527 0.3048 0.9701

表2:估计参数。

我们提出了一种新的具有时间延迟的动态系统来预测2019-nCoV的暴发趋势。在该模型中，累计确诊患者的瞬时增量依赖于累计感染者的病史，从而可以考虑潜伏期。通过数值仿真和参数辨识，验证了该动态系统的有效性和准确性。此外，该模型可以很好地逼近该事件的真实数据，从而可以进一步预测事件的发展趋势。
本研究结果也可为2019-nCoV的预防和控制提供一些建议。首先，隔离对控制2019-nCoV的传播至关重要。隔离率为0。2019-nCoV的爆发有可能在50天左右结束。其次，对医疗资源的需求将在疫情开始后约35天达到高峰。在传输处于潜伏期的情况下，时滞项是建模的有效方法。目前，该系统所涉及的参数是与时间无关的。在今后的工作中，可以假设隔离强度和扩散率的变化是随时间变化的，以提高实际数据与估计解之间的一致性。此外，在这个新的系统中，J(t)−R(t)是处理中的人数，这也是可以测量的，可以用于反问题。此外，可以在模型中加入一些外源项来反映过程的不确定性。

致谢
国家自然科学基金(国家自然科学基金:No。上海市科委关于“上海新星计划”的批复19 qa1403400。作者感谢与Dr。悦颜,博士。勃喜徐女士。罗欣悦女士。

10
上海财经大学的卞静芸。武汉振作起来!
参考文献
1E。伯莱塔和Y。刘建新，带时滞的SIR流行病模型的全局稳定性，J。数学。医学杂志。33:250 – 260,1995。
2B。章´,C。科尔和E。S’anchez，结构化SIR模型的参数估计，差分方程的进展，33,2017。
3C。刘,G。叮,J。锣,L。王,K。程和D。张，SARS疫情预测与预警数学模型研究，科学通报49(21):2245-2251,2004。
4E。妈,Y。周,W。小王和Z。金，传染病数学模型与动力学，第1版，中国科学出版社，北京，2004。

[5]B。Kaltenbacher,。纽鲍尔和O。6.非线性不适定问题的迭代正则化方法，计算与应用数学中的Radon级数。Walter de Gruyter GmbH & Co。公斤,柏林,2008年。
[6]J。Kaipio和E。陈国华，统计与计算反问题，北京:科学出版社，2005。

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