斜投影矩阵的性质_锥体体积怎么推导

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参考网址：
https://gameinstitute.qq.com/community/detail/106203 翻译
http://www.terathon.com/lengyel/Lengyel-Oblique.pdf 原文
http://www.lsngo.net/2018/01/07/graphics_mirrorcamera_2/
参考书籍：
Mathematics.for.3D.Game.Programming.and.Computer.Graphics,.Lengyel,.3ed,.Course,.2012

上图在：Mathematics.for.3D.Game.Programming.and.Computer.Graphics
P119中。

上图是裁剪空间中左右、远近裁剪平面的法线，上下的屏幕在表格中。

讨论下平面变换方程：
我们知道法线变换矩阵是不能用M矩阵直接变化的，而是通过M的逆矩阵的转置矩阵进行变换。
证明如下：
https://blog.csdn.net/wodownload2/article/details/88823649

也就是说，如果使用M矩阵代表的时候透视矩阵。
而同样我们知道了，NDC的空间中的六个面的方程了，那么则存在如下的关系：
M矩阵的逆矩阵的转置矩阵，变换透视空间的平面，就等于了NDC空间的平面方程了。
等式如下：
M逆再转置*透视空间平面=NDC空间的平面
所以透视空间的平面等于如下：
透视空间平面=(M逆再转置再逆)NDC空间的平面
也就是：
透视空间平面=M转置NDC空间的平面

所以：
透视空间的近平面=M转置*(0,0,1,1)=M4+M3
透视空间的远平面=M转置*(0,0,-1,1)=M4-M3
其他类似推导。

其他参考网址：
https://blog.csdn.net/yinhun2012/article/details/84236202 //矩阵逆与矩阵转置的证明
https://blog.csdn.net/softwarekid/article/details/45055253 //为什么不是在透视除法后做裁剪
https://gameinstitute.qq.com/community/detail/113246 //冯乐乐裁剪矩阵
http://www.devacg.com/?post=522 //关于裁剪空间写的比较好的文章

unity里面的摄像机透视投影矩阵输出：

由之前的博客可以知道unity使用的是opengl的投射投影矩阵，将其z映射到-1到1，所以投影矩阵为：

下面，介绍如何求的l,r,t,b。因为n和f已经知道了，n=1,f=4.

我现在想求左边的视锥体的平面方程，为了简单起见，我们把摄像机移动到原点位置。
求平面的时候，至少需要三个点的位置信息。不妨求ABC三个点的坐标。

添加几条辅助线如下所示：

可以知道C点坐标为(0,4tan(22.5),4)
AC的长度为4tan(22.5)
而屏幕的宽高比为4:3

所以EA/AC=4/3
所以EA=4tan(22.5)4/3=16tan(22.5)/3
所以E点的坐标为(-16tan(22.5)/3,0,4)
所以D点的坐标为(-16tan(22.5)/3,4tan(22.5),4)
所以现在可以求出平面的方程了：
向量BD=(-16tan(22.5)/3,4tan(22.5),4)
向量BE=(-16*tan(22.5)/3,0,4)

而我们知道裁剪空间的左平面为(1,0,0,1)
投影矩阵P为：

对于摄像机空间的点Q通过乘以投影矩阵P，就得到了裁剪空间的点Q’。
而摄像机空间的平面C，需要通过乘以P的逆转矩阵才能得到裁剪空间的平面。
所以我们有如下的公式：
P逆转*C=C’