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在JavaScript中用匿名函数(箭头函数)写出递归的方法
前言
今天看 Mozilla
出品的 ES6 In Depth ,看到 Arrow functions(中文翻译),其中一段让人讶异。
Using arrows to pierce the dark heart of computer science
「使用箭头来刺穿计算机的黑暗心脏」
里面提到λ (lambda)表达式、阿隆佐·邱奇(Alonzo Church)、阿兰·图灵(Alan Turing),这些耳熟能详的名词原来与我们写 JavaScript 的人这么近,这激发了我极大的探索兴趣。
最后搜索到刘未鹏2006年的一篇文章《康托尔、哥德尔、图灵——永恒的金色对角线(rev#2)》,奇妙的从 ES2015 延伸到了计算机的起源以及现代数学史的开端。
我看到了它,却不敢相信它。——康托尔
计算机是数学家一次失败思考的产物。——无名氏
原来我们轻易写下的每一个匿名函数,里面都蕴涵简单而又玄妙的数学原理。
原来用匿名函数实现的递归,动用了如此深刻的数学法则。
希望每个前端工程师都能认真阅读刘未鹏的文章,理解 Y Combinator
的 JavaScript
实现,对这门正在越变越好的语言抱以更多的敬畏之情,写起 ES2015 来或许有更好的编程体验。
注:本文部分代码将用 ES2015 编写,要跑起来可能得先用Babel编译为 ES5。
正文
我们用递归的方式实现阶乘函数,并且从朴素思路出发,最后一步步抵达Y Combinator
。
首先,用最简单的命名函数递归方式,如下:
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function
factorial ( n ) { return n < 2 ? 1 : n * factorial ( n – 1 )
}
factorial
( 3 ) // => 6 |
第二种方式,用变量缓存匿名函数的值:
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let
fact = n = > n < 2 ? 1 : n * fact ( n – 1 )
fact
( 4 ) // => 24 |
看,我们用匿名函数实现了递归,全剧终……
不,那只是 JS 引擎给我们的语法糖。实际上,所谓的「用 lambda 表达式写出递归」,不能在 lambda 定义完成之前直接引用自身。我们做如下假设:
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let
fact = n = > n < 2 ? 1 : n * fact ( n – 1 ) //抛出错误: lambda 表达式引用错误 |
在这个基础上,继续探索我们的话题。
如果 lambda 表达式不能直接在函数体内显示引用自身,那么我们就得隐式地调用自身;因为我们不是用循环来模拟递归,我们就是要让 lambda 表达式反复执行一段相同代码。
其中一个策略是,将 lambda 表达式作为参数之一传入其自身。(函数也是值)
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//并不直接引用自身,引用 self 函数,调用时将自己传入即可
let
fact = ( self , n ) = > n < 2 ? 1 : n * self ( self , n – 1 )
//调用时,将自身作为第一个参数传入
fact
( fact , 5 ) // => 120 |
OK,我们现在的确实现了具有递归效果的 lambda 表达式,但是,太难看了。没有人希望自己的阶乘函数有多余的参数,我们的目标是,fact(n)
。
为了达到参数纯净化目的,我们可以包裹一层工厂函数,封装肮脏的冗余传参行为。
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//并不直接引用自身,引用 self 函数,调用时将自己传入即可
let
fact = ( self , n ) = > n < 2 ? 1 : n * self ( self , n – 1 )
//柯里化工厂函数,砍掉第一个参数
let
factory = f = > n = > f ( f , n )
//改造 fact
fact
= factory ( fact )
//参数纯净化
fact
( 6 ) // => 720 |
虽然现在我们达到了在调用时参数纯净化的目标,但仍有些不美。定义 fact
时,我们还在 self(self, n - 1)
, 方式不够直观,我们期望能用下面的方式代替。
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//定义时就工厂化,生产出阶乘函数
let
factory = self = > n = > n < 2 ? 1 : n * self ( n – 1 ) |
在函数被定义之后,我们才拿到其引用;也就是说,不可能在生产/创建一个函数时,把它自己传参进去。也就是说,对于上面的工厂函数 factory
而言,self === factory(self)
永远不可能为真。不过,没关系。我们有软件工程里的黄金定律:
任何问题都可以通过增加一个间接层来解决。
既然无法让一个阶乘函数反复调用自身,那就让 factory
在需要时反复生产出虽然不是同一个,但效果等价的、新的阶乘函数。我们设想有以下特征的 Y
函数:
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//定义时就工厂化,生产出阶乘函数
let
factory = self = > n = > n < 2 ? 1 : n * self ( n – 1 )
//暂时不管 Y 函数的内部实现,假定它能够返回正确的阶乘函数。
let
fact = Y ( factory )
fact
( 6 ) // => 720 |
在知道Y
函数的功能与行为后,我们再根据已知条件,把它构造出来。
首先,Y
函数一定返回阶乘函数,那么它的可能形式如下,
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let
Y = factory = > { //Y 返回一个函数,其参数为 n,返回值为 n 的阶乘 return n = > { //求阶乘 }
}
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其次,Y 一定调用了 factory
函数两次以上
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let
Y = factory = > { let magic // 魔术函数,可以从 factory 中取出阶乘函数 return n = > factory ( magic ( factory ) ) ( n )
}
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magic
函数从 factory
取出新的阶乘函数,作为参数又传入 factory
,这样创建出来的阶乘函数,里面的 self 就是另一个阶乘函数。
到这里,我们只需要探究 magic 应该是什么代码形式。
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let
Y = factory = > { //从 magic 的调用方式来看,它接受 factory 作为参数,返回一个新的阶乘函数 let magic = factory = > n = > factory ( magic ( factory ) ) ( n ) return n = > factory ( magic ( factory ) ) ( n )
}
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可惜,上面复用 magic 函数,也只是语法糖,我们不能在 magic 定义完成前显式引用它。
诶?
那么就再增加中间层,隐式引用呗。说做就做。
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let
Y = factory = > { //就像之前做过的那样,把自己作为参数传入自己 let magic = ( self , factory ) = > n = > factory ( self ( self , factory ) ) ( n ) return n = > factory ( magic ( magic , factory ) ) ( n )
}
//定义时就工厂化,生产出阶乘函数
let
factory = self = > n = > n < 2 ? 1 : n * self ( n – 1 )
//测试我们构造出来的 Y 函数
let
fact = Y ( factory )
fact
( 7 ) // => 5040 |
惊!!,我们竟然成功了。虽然我们不知道 magic
魔术函数为什么是那样,但是,我们把它构造了出来。
同时,我们注意到,magic
的 factory
参数,好像没有存在的必要了,因为作用域内只存在唯一一个factory
。
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let
Y = factory = > { //砍掉多余的 factory 参数 let magic = self = > n = > factory ( self ( self ) ) ( n ) return n = > factory ( magic ( magic ) ) ( n )
}
//定义时就工厂化,生产出阶乘函数
let
factory = self = > n = > n < 2 ? 1 : n * self ( n – 1 )
//测试我们构造出来的 Y 函数
let
fact = Y ( factory )
console
. log ( fact ( 8 ) ) // => 40320 |
神奇。magic
魔术函数果然很魔术,在外部 magic(magic)
自己调用自己, 在内部self(self)
,就实现了递归?
同时,我们又注意到一点,n => factory(magic(magic))(n)
的形式跟n => factory(self(self))(n)
似乎一模一样,仅仅是 magic
跟 self
名字不同。
嗯?前者不就是把 magic
自身作为参数传递进自身的返回函数吗?
magic(magic)
是把自己传参进去,那么self === magic
。
原来 self(self)
自调用的函数,就是magic
自身。
于是,我们得到:
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let
Y = factory = > { //砍掉多余的 factory 参数 let magic = self = > n = > factory ( self ( self ) ) ( n ) //返回阶乘函数 return magic ( magic )
}
//定义时就工厂化,生产出阶乘函数
let
factory = self = > n = > n < 2 ? 1 : n * self ( n – 1 )
//测试我们构造出来的 Y 函数
let
fact = Y ( factory )
console
. log ( fact ( 9 ) ) // => 362880 |
看到最终的产物,让人惊呆了。这是什么黑魔法?
仔细一看,原来它就是 lambda 演算的 JavaScript 实现
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// λ演算的写法
fix
= λ f . (λ x . f (λ v . x ( x ) ( v ) ) ) (λ x . f (λ v . x ( x ) ( v ) ) )
// ES6的写法
const
fix = f = > ( x = > f ( v = > x ( x ) ( v ) ) ) ( x = > f ( v = > x ( x ) ( v ) ) ) ; |
它不仅适用于阶乘函数的递归处理,任意递归工厂函数经过Y
函数后,都能得到真正的递归函数。
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let
count = Y ( self = > x = > { console . log ( x ++ ) ; x < 100 && self ( x )
}
)
count
( 0 ) // 输出0 ~ 99 |
尾声
在这篇文章中,我们有意识地用到的特性只有一个:
函数也是值,可以作为参数传递
我们利用它,让一个函数自己调用自己,然后不断美化美化、简化简化,竟然就构造出了Y Combinator
。
然而:
- 从
函数也是值,可传参
中,反推出Y Combinator
,不代表你有多厉害 - 只是站在巨人的肩膀上
- 背下
函数也是值,可传参
的定律,却不知道背后的原理就是λ演算
- 就像还没学到微积分的高中生自己开创了微积分初步
- 自比牛顿太幼稚,微积分原理与应用衍化成耳熟能详的说辞围绕着你
- 没有这些弱启发,买菜还在数指头
- 数学多美妙
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