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推荐书籍

建议学习，METHODS FOR NON-LINEAR LEAST SQUARES PROBLEMS：
http://www2.imm.dtu.dk/pubdb/views/edoc_download.php/3215/pdf/imm3215.pdf
篇幅不长，容易理解
学习的时候可以参考另一篇，UNCONSTRAINED OPTIMIZATION：http://www2.imm.dtu.dk/pubdb/views/edoc_download.php/3217/pdf/imm3217.pdf

Numerical Optimization 2nd –Jorge Nocedal Stephen J. Wright：
http://www.bioinfo.org.cn/~wangchao/maa/Numerical_Optimization.pdf
《视觉SLAM十四讲》第六讲 https://github.com/gaoxiang12/slambook

理论理解

知乎上看到一个回答非常好：

LM算法可以理解为Gauss-Newton算法与最速下降法的结合，如果理解了如何用上述算法求解目标函数最小值的问题，自然也能理解LM。

其实算法的本质就是 a. 站在当前位置（ $x_k$ ），我们需要一个预言（oracle）告诉我们往哪走能找到目的地（最优解可能的方向，比如梯度方向）；b. 我们沿着该方向走了一段距离之后（stepsize），更新当前位置信息（$x_{k+1}$ ），再问预言家我们下一步往哪走，以此反复。

所以，梯度下降法，给的 oracle 就是当前位置的梯度信息（损失方程关于变量的一阶导数）：

$x_{k+1}=x_k-\alpha g_k$

如果是牛顿法，给的 oracle 就是Hessian matrix（损失方程关于变量的二阶导数）：

$x_{k+1}=x_k-H_k^{-1}{g}_k$(1)

为什么是一阶导数和二阶导数？因为我们知道，对于任意（处处可导的）方程，在其任意一点，我们都可以用泰勒展开式对其拟合，阶数越高，精度越高。但是，考虑到高阶导数的计算复杂度，以及三阶以上函数的非凸性，也不会使用高阶导数。

好了，那么LM算法的优势是什么？牛顿法虽然收敛速度快，但是需要计算 Hessian matrix，对于高维的问题，计算二阶导数会很复杂。因此我们有了Gauss-Newton算法。Gauss-Newton算法不直接计算Hessian matrix，而是通过 Jacobian matrix 对 Hessian matrix 进行拟合：

$H\approx J^{T}J$

但是，用 Jacobian matrix 拟合Hessian matrix，所计算出来的结果不一定可逆。所以在此基础上，我们引入了一个identity matrix：

$H\approx J^{T}J+\mu I$

这也就得到了LM算法。如果我们把上述式子带入之前的公式(1)，可以得到

$x_{k+1}=x_k-(J_k^T{J}_k+\mu I{)}^{-1}{g}_k$

所以我们发现，当$\mu$接近于0时，这个算法近似于Gauss-Newton算法；当$\mu$很大时，这个算法近似于最速下降法。因此，这也是为什么LM算法称为Gauss-Newton算法与最速下降法的结合。最后，上一张图表示几种算法之间的关系：

参考文献：Wilamowski, B. M., & Yu, H. (2010). Improved computation for Levenberg–Marquardt training. IEEE transactions on neural networks, 21(6), 930-937.

一个回答：Matlab 的话现成的代码也是很多的；比如，Solve nonlinear least-squares (nonlinear data-fitting) problems，或者 Levenberg-Marquardt-Fletcher algorithm for nonlinear least squares problems。你可以在网站里面搜搜有没有适合你的。

作者：Sixiang
链接：https://www.zhihu.com/question/269579938/answer/349205519
来源：知乎

这是最上面推荐的书，英文不难：

gradient matrix, hessian matrix, jacobian matrix:
https://www.value-at-risk.net/functions/

csdn 有个不错的博客：数值优化（Numerical Optimization）学习系列-目录：https://blog.csdn.net/fangqingan_java/article/details/48951191

程序实现

视觉SLAM十四讲里推荐了**Ceres库**，Ceres solver 是谷歌开发的一款用于非线性优化的库，在谷歌的开源激光雷达slam项目cartographer中被大量使用。
安装和使用参考：
https://zhaoxuhui.top/blog/2018/04/04/ceres&ls.html
下面把关键操作贴出来：

ceres安装

• 下载源码
  git clone https://github.com/ceres-solver/ceres-solver.git
• 安装依赖：

sudo apt-get install cmake
# google-glog + gflags
sudo apt-get install libgoogle-glog-dev libgtest-dev libgflags-dev
# BLAS & LAPACK
sudo apt-get install libatlas-base-dev liblapack-dev
# Eigen3
sudo apt-get install libeigen3-dev
# SuiteSparse and CXSparse (optional)
sudo apt-get install libsuitesparse-dev libcxsparse3.1.4

这里libcxsparse可能存在版本问题（出现找不到对应版本），解决办法：

sudo apt-get install bash-completion
sudo gedit /etc/bash.bashrc

将这一部分取消注释，并保存，即可自动补全：

sudo apt-get install libsuitesparse-dev libcxsparse（按tab）

cd ceres-solver/
mkdir build
cd build
cmake ..
make -j3
sudo make install

代码：

利用Ceres简单实现最小二乘曲线拟合。首先需要生成数据，这里采用OpenCV的随机数生成器生成误差。

#include <iostream>
#include <opencv2/core/core.hpp>
#include <ceres/ceres.h>

using namespace std;
using namespace cv;
using namespace ceres;

//vector,用于存放x、y的观测数据
//待估计函数为y=3.5x^3+1.6x^2+0.3x+7.8
vector<double> xs;
vector<double> ys;

//定义CostFunctor结构体用于描述代价函数
struct CostFunctor{ 
   
  
  double x_guan,y_guan;
  
  //构造函数，用已知的x、y数据对其赋值
  CostFunctor(double x,double y)
  { 
   
    x_guan = x;
    y_guan = y;
  }
  
  //重载括号运算符，两个参数分别是估计的参数和由该参数计算得到的残差
  //注意这里的const，一个都不能省略，否则就会报错
  template <typename T>
  bool operator()(const T* const params,T* residual)const
  { 
   
    residual[0]=y_guan-(params[0]*x_guan*x_guan*x_guan+params[1]*x_guan*x_guan+params[2]*x_guan+params[3]);
    return true;  
  }
};

//生成实验数据
void generateData()
{ 
   
  RNG rng;
  //RNG::gaussian( σ) 返回一个均值为0，标准差为σ的随机数。
  double w_sigma = 1.0;
  for(int i=0;i<100;i++)
  { 
   
    double x = i;
    double y = 3.5*x*x*x+1.6*x*x+0.3*x+7.8;
    xs.push_back(x);
    ys.push_back(y+rng.gaussian(w_sigma));
  }
  for(int i=0;i<xs.size();i++)
  { 
   
    cout<<"x:"<<xs[i]<<" y:"<<ys[i]<<endl;
  }
}

//简单描述我们优化的目的就是为了使我们估计参数算出的y'和实际观测的y的差值之和最小
//所以代价函数(CostFunction)就是y'-y，其对应每一组观测值与估计值的残差。
//由于我们优化的是残差之和，因此需要把代价函数全部加起来，使这个函数最小，而不是单独的使某一个残差最小
//默认情况下，我们认为各组的残差是等权的，也就是核函数系数为1。
//但有时可能会出现粗差等情况，有可能不等权，但这里不考虑。
//这个求和以后的函数便是我们优化的目标函数
//通过不断调整我们的参数值，使这个目标函数最终达到最小，即认为优化完成
int main(int argc, char **argv) { 
   
  
  generateData();
  
  //创建一个长度为4的double数组用于存放参数
  double params[4]={ 
   1.0};

  //第一步，创建Problem对象，并对每一组观测数据添加ResidualBlock
  //由于每一组观测点都会得到一个残差，而我们的目的是最小化所有残差的和
  //所以采用for循环依次把每个残差都添加进来
  Problem problem;
  for(int i=0;i<xs.size();i++)
  { 
   
    //利用我们之前写的结构体、仿函数，创建代价函数对象，注意初始化的方式
    //尖括号中的参数分别为误差类型，输出维度(因变量个数)，输入维度(待估计参数的个数)
    CostFunction* cost_function = new AutoDiffCostFunction<CostFunctor,1,4>(new CostFunctor(xs[i],ys[i]));
    //三个参数分别为代价函数、核函数和待估参数
    problem.AddResidualBlock(cost_function,NULL,params);
  }
  
  //第二步，配置Solver
  Solver::Options options;
  //配置增量方程的解法
  options.linear_solver_type=ceres::DENSE_QR;
  //是否输出到cout
  options.minimizer_progress_to_stdout=true;
  
  //第三步，创建Summary对象用于输出迭代结果
  Solver::Summary summary;
  
  //第四步，执行求解
  Solve(options,&problem,&summary);
  
  //第五步，输出求解结果
  cout<<summary.BriefReport()<<endl;
  
  cout<<"p0:"<<params[0]<<endl;
  cout<<"p1:"<<params[1]<<endl;
  cout<<"p2:"<<params[2]<<endl;
  cout<<"p3:"<<params[3]<<endl;
  return 0;
}

CMakeLists.txt:

cmake_minimum_required(VERSION 2.6)
project(ceres_test)

set( CMAKE_CXX_FLAGS "-std=c++11 -O3" )

# 添加cmake模块以使用ceres库
list( APPEND CMAKE_MODULE_PATH ${PROJECT_SOURCE_DIR}/cmake_modules )

# 寻找Ceres库并添加它的头文件
find_package( Ceres REQUIRED )
include_directories( ${CERES_INCLUDE_DIRS} )

# OpenCV
find_package( OpenCV REQUIRED )
include_directories( ${OpenCV_DIRS} )

add_executable(ceres_test main.cpp)

# 与Ceres和OpenCV链接
target_link_libraries( ceres_test ${CERES_LIBRARIES} ${OpenCV_LIBS} )

install(TARGETS ceres_test RUNTIME DESTINATION bin)

另外，有个levmar的C/C++的库：（这个还不会用）
levmar : Levenberg-Marquardt nonlinear least squares algorithms in C/C++
http://users.ics.forth.gr/~lourakis/levmar/index.html#download
http://users.ics.forth.gr/~lourakis/sparseLM/