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首先谈一下应用场景——在拟合的时候进行应用
什么是拟合？你有一堆数据点，我有一个函数，但是这个函数的很多参数是未知的，我只知道你的这些数据点都在我的函数上，因此我可以用你的数据点来求我的函数的未知参数。例如：matlab中的fit函数
最小二乘法天生就是用来求拟合的，看函数和数据点的逼近关系。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配进行求解。
拟合我们可以认为是一种试探性的方法，这种方法在计算机出来以前很多情况下是不可能实现的，为什么，因为公式涉及了大量的迭代过程，也就是我想要通过数据点求函数的参数，没有解析解能够直接代入数据求得参数，而是通过一点一点的摸索尝试，最终得到最小误差也就是最好拟合。最具有代表性的就是暴风法，把所有可能的结果都带进去，找到最好的拟合。然后聪明的人类不想这么鲁莽，并且这么无目的地寻找，于是人们开始研究参数向什么方向迭代是最好的，于是便出现了梯度方向等一系列方法。
有最速下降法、Newton 法、GaussNewton(GN)法、Levenberg-Marquardt(LM)算法等。
| 方法 | 介绍 |
|---|---|
| 最速下降法 | 负梯度方向，收敛速度慢 |
| Newton 法 | 保留泰勒级数一阶和二阶项，二次收敛速度，但每步都计算Hessian矩阵，复杂 |
| GN法 | 目标函数的Jacobian 矩阵近似H矩阵，提高算法效率，但H矩阵不满秩则无法迭代 |
| LM法 | 信赖域算法，解决H矩阵不满秩或非正定， |
通过对比的形式想必大家已经记住了这一堆优化的方法，很多情况下使用中都是优化方法的改进方法，因此掌握了这些方法，改进方法也不是太难了。
这里还想说明一点上面的最速下降法，很多人都在问的一个问题，为什么最速下降方向取的负梯度方向？？？为什么？这个可以看我们求导数的时候（梯度和导数的关系完美解析在我之前的博文中），
其实我们从图中不难看出，左侧，y随着x增加时，导数为正，因此导数的方向我们可以定义为指向x正方向，x与导数同向也就是x也逐渐增加时，函数是增大的。右侧，y随x增加而较小，导数为负，我们这里还定义导数的方向此时指向x负半轴，因此x沿负方向减小时，函数值是逐渐增大的，这里需要记住和注意，沿着导数方向，我们的函数值是逐渐增大的。
解释清了上面一点，我们就可以再升几维，在一维时我们的方向只能谈论左右，而上升到二维时，我们的方向就成了平面的360度了，此时就引出了梯度，下图是二维梯度
其实我们还是可以看出，梯度就是由导数组成的，完全可以说成是多维导数，而在一维导数存在的性质，上升了维度，我们的本质是不变的，因此我们只需要沿着每个维度的导数方向变化，我们的函数值就会增加。这里有个证明，沿梯度是增加最快的，我们可以引入方向导数，方向导数定义的在点P，沿某一方向的变化率。
求变化率我们就需要公平一点，各方向变化的尺寸是相同的，可以写一个圆，
半径为
ρ = ( Δ x ) 2 + ( Δ y ) 2 \rho =\sqrt{
{
{\left( \Delta x \right)}^{2}}+{
{\left( \Delta y \right)}^{2}}} ρ=(Δx)2+(Δy)2
变化为
f ( x + Δ x , y + Δ y ) − f ( x , y ) ρ \frac{f\left( x+\Delta x,y+\Delta y \right)-f\left( x,y \right)}{\rho } ρf(x+Δx,y+Δy)−f(x,y)
变化率为（率这里需要加极限的概念，为什么？因为我们无法容忍一个我们没有明确定义数值的量 ρ \rho ρ）
lim ρ → 0   f ( x + Δ x , y + Δ y ) − f ( x , y ) ρ \underset{\rho \to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x+\Delta x,y+\Delta y \right)-f\left( x,y \right)}{\rho } ρ→0limρf(x+Δx,y+Δy)−f(x,y)
其中
f ( x + Δ x , y + Δ y ) − f ( x , y ) = ∂ f ∂ x ⋅ Δ x + ∂ f ∂ y ⋅ Δ y + ∘ ( ρ ) f\left( x+\Delta x,y+\Delta y \right)-f\left( x,y \right)=\frac{\partial f}{\partial x}\centerdot \Delta x+\frac{\partial f}{\partial y}\centerdot \Delta y+\circ \left( \rho \right) f(x+Δx,y+Δy)−f(x,y)=∂x∂f⋅Δx+∂y∂f⋅Δy+∘(ρ)
两边同时除以 ρ \rho ρ
f ( x + Δ x , y + Δ y ) − f ( x , y ) ρ = ∂ f ∂ x ⋅ Δ x ρ + ∂ f ∂ y ⋅ Δ y ρ + ∘ ( ρ ) ρ = ∂ f ∂ x ⋅ cos θ + ∂ f ∂ y ⋅ sin θ + ∘ ( ρ ) ρ \begin{aligned} & \frac{f\left( x+\Delta x,y+\Delta y \right)-f\left( x,y \right)}{\rho }=\frac{\partial f}{\partial x}\centerdot \frac{\Delta x}{\rho }+\frac{\partial f}{\partial y}\centerdot \frac{\Delta y}{\rho }+\frac{\circ \left( \rho \right)}{\rho } \\ & =\frac{\partial f}{\partial x}\centerdot \cos \theta +\frac{\partial f}{\partial y}\centerdot \sin \theta +\frac{\circ \left( \rho \right)}{\rho } \end{aligned} ρf(x+Δx,y+Δy)−f(x,y)=∂x∂f⋅ρΔx+∂y∂f⋅ρΔy+ρ∘(ρ)=∂x∂f⋅cosθ+∂y∂f⋅sinθ+ρ∘(ρ)
lim ρ → 0   f ( x + Δ x , y + Δ y ) − f ( x , y ) ρ = ∂ f ∂ x ⋅ cos θ + ∂ f ∂ y ⋅ sin θ \underset{\rho \to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x+\Delta x,y+\Delta y \right)-f\left( x,y \right)}{\rho }=\frac{\partial f}{\partial x}\centerdot \cos \theta +\frac{\partial f}{\partial y}\centerdot \sin \theta ρ→0limρf(x+Δx,y+Δy)−f(x,y)=∂x∂f⋅cosθ+∂y∂f⋅sinθ
上式可以进一步改写为
lim ρ → 0   f ( x + Δ x , y + Δ y ) − f ( x , y ) ρ = ∂ f ∂ x ⋅ cos θ + ∂ f ∂ y ⋅ sin θ = { ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y } ⋅ ( cos θ , sin θ ) = ∣ g r a d f ( x , y ) ∣ cos ( g r a d f ( x , y ) , ( cos θ , sin θ ) ) \begin{aligned} & \underset{\rho \to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x+\Delta x,y+\Delta y \right)-f\left( x,y \right)}{\rho }=\frac{\partial f}{\partial x}\centerdot \cos \theta +\frac{\partial f}{\partial y}\centerdot \sin \theta \\ & =\left\{ \frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y} \right\}\centerdot \left( \cos \theta ,\sin \theta \right) \\ & =\left| gradf\left( x,y \right) \right|\cos \left( gradf\left( x,y \right),\left( \cos \theta ,\sin \theta \right) \right) \end{aligned} ρ→0limρf(x+Δx,y+Δy)−f(x,y)=∂x∂f⋅cosθ+∂y∂f⋅sinθ={
∂x∂f,∂y∂f}⋅(cosθ,sinθ)=∣gradf(x,y)∣cos(gradf(x,y),(cosθ,sinθ))
可以看出要想cos值最大，gradf(x,y)和(cosθ,sinθ)需要同方向，而(cosθ,sinθ)就是我们下一步将要行进的方向。
到此便可以说，我们行进的方向和我们的梯度方向一致时，函数增长最快，方向相反时，函数下降最快。
有一个文献写的不错，推荐一下，不过说明，本文并没有进行参考
Wilamowski, B. M., & Yu, H. (2010). Improved computation for Levenberg–Marquardt training. IEEE transactions on neural networks, 21(6), 930-937.
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