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工程中许多动力系统可由状态变量随时间演化的微分方程来描述。其中相当一部分动力系统的状态变量之间存在时间滞后的现象,即系统的演化趋势不仅依赖于系统当前的状态,也依赖于系统过去某一时刻或若干时刻的状态,我们将这类动力系统称为时滞动力系统。近年来,时滞动力系统已成为许多领域的重要研究对象。在电路、光学、神经网络、生物环境与医学、建筑结构、机械等领域,人们对时滞动力系统作了大量的研究,取得了许多重要成果,并且巧妙地利用时滞来控制动力系统的行为[1]。1时滞系统的稳定性分析稳定性是系统最基本的品质。对于线性动力系统而言,系统的稳定性与平衡点的稳定性相一致。对于线性时不变系统,其稳定性可通过研究其特征方程根的分布来确定。然而,时滞动力系统的特征方程是含有指数函数的超越方程,原则上有无穷多个根,因此其根的分布情况变得相当复杂。2算例系统考虑励磁环节并计及阻尼后,系统模型可以表示为如下4阶微分方程:B&=(1)mGM&=D+PP(2)0()ddddfdTE=ExxI+E&(3)0[]()AfdAGreffdfdTE=KVVEE&(4)在现代电力系统中,因励磁控制回路的控制参量可取自系统远端母线,使得VG测量值中可能存在一定的时滞[3],于是式(4)中引入时滞环节后改写为:0[()]()AfdAGreffdfdTE=KVtVEE&(5)式中为发电机机端电压取值的延时时间本系统的原始数据如下:M=10.0;D=1.0;xd=1.0;xd=0.4;010.0Td=;xe=0.5;02.0Efd=;1.05Vref=;A190.0K=;TA=1.0;V0=1.0;B377.0=;0.75Pm==0时,系统的平衡点应当满足xf(x)0&==。利用MATLAB对该方程组求得平衡点:0=0.6074(RAD),0=0,E0=1.1827,(0)1.4238Efd=,进一步可以得出不计时滞时系统特征方程的根:0.623.5i0.176.2ix=(6)解得的四个特征根实部均为负,证明在不考虑时滞存在的情况下,该系统在平衡点处是渐近稳定的[4]。前面得到系统的平衡点Tx0=[0.6074,0,1.1827,1.4238],给予系统一小扰动Tx0=[0.05,0,0,0]。=c时,利用MATLAB的数字仿真可以直观地观察系统的稳定性随时滞的变化。由于系统方程为四阶带时滞微分方程,故可采用MATLAB中的隐式Runge-Kutta算法dde23(),直接求解时滞微分方程。代入不同大小的时滞,通过观察系统各状态量变化曲线分析系统稳定性。由于系统在=0时,平衡点处就是渐近稳定的,所以在时滞增大到=0.0099时,系统稳定性不发生切换,平衡点处仍然是渐近稳定的。而当时滞增大到=0.0896时,有一对特征根由复平面的左半平面穿越虚轴到达右半平面,系统稳定性发生切换,不再处于稳定状态,其功角开始随时间作周期性振荡。继续增加时滞量,当其增加至=0.3501时,仍有一对特征根由复平面的左半平面穿越虚轴到达右半平面,此时系统不再发生稳定性切换,其状态量偏移平衡点越来越远,越来越快,最终系统变得不稳定。研究表明,较小的延时对系统小扰动稳定性的影响较小,而在延时较长的情况下,时滞环节的存在可能会根本改变系统小扰动稳定性的状况(主导频率与主导特征值发生改变)。对于一小扰动稳定的时滞系统来说,当时滞增大到某一临界值时,系统便会发生Hopf分岔,由原来的小扰动稳定状态转变为临界稳定,系统各状态量开始作等幅周期振荡。若继续增大时滞,系统状态量函数变开始呈发散振荡状态,最终导致系统的失稳。近年来,控制混沌已经成为一
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