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1. 高斯牛顿法
残差函数f(x)为非线性函数，对其一阶泰勒近似有：
这里的J是残差函数f的雅可比矩阵，带入损失函数的：
令其一阶导等于0，得：
这就是论文里常看到的normal equation。
2.LM
LM是对高斯牛顿法进行了改进，在求解过程中引入了阻尼因子：
2.1 阻尼因子的作用：
2.2 阻尼因子的初始值选取：
一个简单的策略就是：
2.3 阻尼因子的更新策略
3.核心代码讲解
3.1 构建H矩阵
void Problem::MakeHessian() {
TicToc t_h;
// 直接构造大的 H 矩阵
ulong size = ordering_generic_;
MatXX H(MatXX::Zero(size, size));
VecX b(VecX::Zero(size));
// TODO:: accelate, accelate, accelate
//#ifdef USE_OPENMP
//#pragma omp parallel for
//#endif
// 遍历每个残差，并计算他们的雅克比，得到最后的 H = J^T * J
for (auto &edge: edges_) {
edge.second->ComputeResidual();
edge.second->ComputeJacobians();
auto jacobians = edge.second->Jacobians();
auto verticies = edge.second->Verticies();
assert(jacobians.size() == verticies.size());
for (size_t i = 0; i < verticies.size(); ++i) {
auto v_i = verticies[i];
if (v_i->IsFixed()) continue; // Hessian 里不需要添加它的信息，也就是它的雅克比为 0
auto jacobian_i = jacobians[i];
ulong index_i = v_i->OrderingId();
ulong dim_i = v_i->LocalDimension();
MatXX JtW = jacobian_i.transpose() * edge.second->Information();
for (size_t j = i; j < verticies.size(); ++j) {
auto v_j = verticies[j];
if (v_j->IsFixed()) continue;
auto jacobian_j = jacobians[j];
ulong index_j = v_j->OrderingId();
ulong dim_j = v_j->LocalDimension();
assert(v_j->OrderingId() != -1);
MatXX hessian = JtW * jacobian_j;
// 所有的信息矩阵叠加起来
H.block(index_i, index_j, dim_i, dim_j).noalias() += hessian;
if (j != i) {
// 对称的下三角
H.block(index_j, index_i, dim_j, dim_i).noalias() += hessian.transpose();
}
}
b.segment(index_i, dim_i).noalias() -= JtW * edge.second->Residual();
}
}
Hessian_ = H;
b_ = b;
t_hessian_cost_ += t_h.toc();
delta_x_ = VecX::Zero(size); // initial delta_x = 0_n;
}
3.2 将构建好的H矩阵加上阻尼因子
void Problem::AddLambdatoHessianLM() {
ulong size = Hessian_.cols();
assert(Hessian_.rows() == Hessian_.cols() && “Hessian is not square”);
for (ulong i = 0; i < size; ++i) {
Hessian_(i, i) += currentLambda_;
}
}
3.3 进行求解后，验证该步的解是否合适，代码对应阻尼因子的更新策略
bool Problem::IsGoodStepInLM() {
double scale = 0;
scale = delta_x_.transpose() * (currentLambda_ * delta_x_ + b_);
scale += 1e-3; // make sure it’s non-zero :)
// recompute residuals after update state
// 统计所有的残差
double tempChi = 0.0;
for (auto edge: edges_) {
edge.second->ComputeResidual();
tempChi += edge.second->Chi2();
}
double rho = (currentChi_ – tempChi) / scale;
if (rho > 0 && isfinite(tempChi)) // last step was good, 误差在下降
{
double alpha = 1. – pow((2 * rho – 1), 3);
alpha = std::min(alpha, 2. / 3.);
double scaleFactor = (std::max)(1. / 3., alpha);
currentLambda_ *= scaleFactor;
ni_ = 2;
currentChi_ = tempChi;
return true;
} else {
currentLambda_ *= ni_;
ni_ *= 2;
return false;
}
}
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