投影矩阵推导_矩阵投影变换

投影矩阵推导_矩阵投影变换概要投影变换是计算机图形学的基础,理解并推导投影矩阵也是很有必要的。正交投影比较简单,没有透视失真效果(近大远小)。而透视投影比较符合人类的眼睛感知,平行线在远处会相交于一点。投影是通过一个4×4的矩阵来完成的,将视锥映射成标准观察体(齐次裁剪空间)。正交投影OpenGLOpenGL采用的是右手坐标系,z轴朝屏幕向外,因此观察方向是朝着z轴负方向的,那么将x,y,z坐标从区间[l,r],

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概要

投影变换是计算机图形学的基础,理解并推导投影矩阵也是很有必要的。正交投影比较简单,没有透视失真效果(近大远小)。而透视投影比较符合人类的眼睛感知,平行线在远处会相交于一点。
投影是通过一个4×4的矩阵来完成的,将视锥映射成标准观察体(齐次裁剪空间)。

正交投影

OpenGL

OpenGL采用的是右手坐标系,z轴朝屏幕向外,因此观察方向是朝着z轴负方向的,那么将x,y,z坐标从区间[l, r], [b,t], [-n, -f]映射到[-1, 1]的函数为:
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得到投影矩阵:
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当然也可以用一个平移和缩放矩阵的级联矩阵,来达到一样的效果。
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DirectX

DirectX则是采用左手坐标系,z轴和观察方向是一致的,因此只需要将z轴坐标从[n, f]映射到[0, 1],x和y轴则和OpenGL是一样的。
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透视投影

OpenGL

设P(Px, Py, Pz, 1)是在视锥体内的一点,那么它在近平面z=-n上的投影点,利用相似三角形原则,可以得到:
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类似于正交投影,将x,y轴坐标映射到[-1, 1]区间内,得到:
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然而和正交投影不同,z轴的坐标并不是线性的。在光栅化过程中,必须对z坐标的倒数进行插值,因此需要建立1/z的映射函数,这样就可以对投影深度进行插值,映射函数的形式如下:
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将[-n, -f]映射到[-1, 1],可以得到:
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解这个简单的二元一次方程组,可以得到A,B的值
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这样就得到了z轴上的映射函数:
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3D点(x, y, z)等价于齐次坐标(-xPz, -yPz, -zPz, -Pz),因此x,y,z分量都乘以-Pz得到:
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得到投影矩阵:
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变换后的齐次坐标,w分量为-Pz,

DirectX

DirectX的区别在于近平面为z=n,并且要将[n, f]映射到[0, 1],经过类似的计算,可以得到
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得到投影矩阵:
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参考资料

《3D游戏与计算机图形学中的数学方法》
《实时计算机图形学2nd》

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