se3948_30.03.23

se3948_30.03.23题目描述题解好仙的题啊考虑设交集大小至少为xxx的个数为axa_xax​,则ax=(xn)(22n−x−1)a_x=(_x^n)(2^{2^{n-x}}-1)ax​=(xn​)(22n−x−1)然后我们考虑构造容斥系数fxf_xfx​,使得ans=∑x=0nfxaxans=\sum_{x=0}^nf_xa_xans=∑x=0n​fx​ax​然后我们考虑到如果交集大小恰好为…

大家好,又见面了,我是你们的朋友全栈君。如果您正在找激活码,请点击查看最新教程,关注关注公众号 “全栈程序员社区” 获取激活教程,可能之前旧版本教程已经失效.最新Idea2022.1教程亲测有效,一键激活。

Jetbrains全系列IDE稳定放心使用

题目描述

为了抵御以尼古拉奥尔丁为首的上古龙族的入侵,地球的守护者 Yopilla 集齐了 n n n 种人类文明的本源力量 —— 世界之力。

Yopilla 打算使用若干种技能来对抗尼古拉奥尔丁的进攻。每种技能由若干种世界之力构成。换句话说,一共有 2 n 2 ^ n 2n 种技能,Yopilla 要使用若干种技能来对抗尼古拉奥尔丁。

大战前夕,Yopilla 走在波士顿的街头,突然看见天空中飞过了 4 4 4 只白鸽,他便洞察了战胜尼古拉奥尔丁的秘密:只要他使用的技能中,都含有的世界之力的种类数恰好为 4 4 4 的倍数,他便可以打败敌人。

Yopilla 想知道,他有多少种使用技能的情况,能战胜敌人。请你替 Yopilla 回答这个问题,答案对 998244353 998244353 998244353 取模即可。

题解

好仙的题啊

考虑设交集大小至少为 x x x 的个数为 a x a_x ax ,则 a x = ( x n ) ( 2 2 n − x − 1 ) a_x=(_x^n)(2^{2^{n-x}}-1) ax=(xn)(22nx1)

然后我们考虑构造容斥系数 f x f_x fx ,使得 a n s = ∑ x = 0 n f x a x ans=\sum_{x=0}^nf_xa_x ans=x=0nfxax

然后我们考虑到如果交集大小恰好为 x x x 的最终要被算 [ x % 4 = 0 ] [x\%4=0] [x%4=0] 遍,而对于 ≤ x \le x x i i i ,它对于 x x x 的贡献就是 ( i x ) (_i^x) (ix) ,所以我们要使得 [ x % 4 = 0 ] = ∑ k = 0 x ( k x ) f x [x\%4=0]=\sum_{k=0}^x(_k^x)f_x [x%4=0]=k=0x(kx)fx

考虑二项式反演,将式子化为 f x = ∑ k = 0 x ( − 1 ) x − k ( k x ) [ x % 4 = 0 ] f_x=\sum_{k=0}^x(-1)^{x-k}(_k^x)[x\%4=0] fx=k=0x(1)xk(kx)[x%4=0]

考虑将 [ x % 4 = 0 ] [x\%4=0] [x%4=0] 化开,这时候我们要用到很神奇的东西:单位复数根

w m w_m wm 表示主 m m m 次单位根,那么根据性质,我们可以得到 [ x % m = 0 ] = ∑ i = 0 m − 1 ( w m x ) i [x\%m=0]=\sum_{i=0}^{m-1}(w_m^x)^i [x%m=0]=i=0m1(wmx)i

于是 f x = ∑ k = 0 x ( − 1 ) x − k ( k x ) ∑ i = 0 4 − 1 ( w 4 x ) i f_x=\sum_{k=0}^x(-1)^{x-k}(_k^x)\sum_{i=0}^{4-1}(w_4^x)^i fx=k=0x(1)xk(kx)i=041(w4x)i

i i i 提前,得到 f x = ( − 1 ) x 4 ∑ i = 0 3 ( 1 − w 4 i ) x f_x=\frac{(-1)^x}{4}\sum_{i=0}^{3}(1-w_4^i)^x fx=4(1)xi=03(1w4i)x

于是我们可以 O ( n m ) O(nm) O(nm)处理出 f x f_x fx ,然后计算答案

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e7+5,P=998244353;
int n,jc[N],ny[N],w[4],W[4],f[N],s=1;
int X(int x){ 
return x>=P?x-P:x;}
int C(int x,int y){ 

return 1ll*jc[x]*ny[y]%P*ny[x-y]%P;
}
int K(int x,int y){ 

int z=1;
for (;y;y>>=1,x=1ll*x*x%P)
if (y&1) z=1ll*z*x%P;
return z;
}
int main(){ 

cin>>n;jc[0]=1;
for (int i=1;i<=n;i++)
jc[i]=1ll*i*jc[i-1]%P;
ny[n]=K(jc[n],P-2);
for (int i=n;i;i--)
ny[i-1]=1ll*i*ny[i]%P;
w[0]=1;w[1]=911660635;
for (int i=2;i<4;i++)
w[i]=1ll*w[i-1]*w[1]%P;
for (int i=0;i<4;i++)
W[i]=1,w[i]=X(1+P-w[i]);
for (int i=0,F=1;i<=n;i++,F=P-F){ 

for (int j=0;j<4;j++)
f[i]=X(f[i]+W[j]);
f[i]=748683265ll*F%P*f[i]%P;
for (int j=0;j<4;j++)
W[j]=1ll*W[j]*w[j]%P;
}
for (int i=n,v=2,u;~i;i--)
u=1ll*C(n,i)*X(v-1+P)%P,
s=X(s+1ll*u*f[i]%P),v=1ll*v*v%P;
cout<<s<<endl;return 0;
}
版权声明:本文内容由互联网用户自发贡献,该文观点仅代表作者本人。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如发现本站有涉嫌侵权/违法违规的内容, 请发送邮件至 举报,一经查实,本站将立刻删除。

发布者:全栈程序员-用户IM,转载请注明出处:https://javaforall.cn/184479.html原文链接:https://javaforall.cn

【正版授权,激活自己账号】: Jetbrains全家桶Ide使用,1年售后保障,每天仅需1毛

【官方授权 正版激活】: 官方授权 正版激活 支持Jetbrains家族下所有IDE 使用个人JB账号...

(0)


相关推荐

  • datagrip2021.4.2激活码_通用破解码

    datagrip2021.4.2激活码_通用破解码,https://javaforall.cn/100143.html。详细ieda激活码不妨到全栈程序员必看教程网一起来了解一下吧!

  • pip卸载所有包_pip导出包

    pip卸载所有包_pip导出包pip批量完全卸载包

    2022年10月17日
  • 爱比较病毒测试(不是震网病毒特点的是)

    CIH、爱虫、冲击波、熊猫烧香,对这4种网络病毒你了解多少?现在的网络病毒能够分为三类,第一类是“蠕虫”病毒,这类型的病毒是在感染电脑后经过不停地复制自己,将电脑原来的运行和储存资源耗费掉,最终电脑由于资源耗费干净而无法运行直至死机;第二类是“进犯型”病毒,这类病毒和蠕虫病毒不一样,进犯型病毒一旦感染就会对电脑软件甚至是硬件做出破坏性的进犯,威力和破坏性极端强大。最终第三类是“木马”类病毒,这类病…

  • c++使用了未定义类型_c++如何新建

    c++使用了未定义类型_c++如何新建一、定义HANDLECreateMutex(LPSECURITY_ATTRIBUTESlpMutexAttributes,//指向安全属性的指针BOOLbInitialOwner,//初始化互斥对象的所有者LPCTSTRlpName//指向互斥对象名的指针);第一个参数是一个指向SECURITY_ATTRIBUTES结构体的指针,一般的情况下,可以是nullptr。第二个参数类型为BOOL,表示互斥锁创建出来后是否被当前线程持有。第三个参数类型为字符串(con

  • 四大审计费收费标准_四大 税务咨询收费

    四大审计费收费标准_四大 税务咨询收费“7年的心血和积累,说关就要关,说停就要停。没有人会甘心,但也早料到这一刻会突然到来。现在所能做的,唯有面对现实,准备好勇气,即使全部推倒从头再来,我们也绝不放弃。”1月22日,国内著名资源分享网站VeryCD的创始人黄一孟的这样一条微博牵动了不少用户的神经。用户们发现,VeryCD网站上的音乐频道已经悄然关闭,电影和电视剧频道也不再提供下载链接。坊间则风传VeryCD未取得广电总局的视听服务许

  • Matlab中axis函数用法总结

    Matlab中axis函数用法总结axis主要是用来对坐标轴进行一定的缩放操作,其操作命令主要如下:1、axis([xminxmaxyminymax])设置当前坐标轴x轴和y轴的限制范围2、axis([xminxmaxyminymaxzminzmaxcmincmax])设置x,y,z轴的限制范围和色差范围。3、v=axis返回一个行向量,记录了坐标范围4、axis…

发表回复

您的电子邮箱地址不会被公开。

关注全栈程序员社区公众号