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题目描述
为了抵御以尼古拉奥尔丁为首的上古龙族的入侵,地球的守护者 Yopilla 集齐了 n n n 种人类文明的本源力量 —— 世界之力。
Yopilla 打算使用若干种技能来对抗尼古拉奥尔丁的进攻。每种技能由若干种世界之力构成。换句话说,一共有 2 n 2 ^ n 2n 种技能,Yopilla 要使用若干种技能来对抗尼古拉奥尔丁。
大战前夕,Yopilla 走在波士顿的街头,突然看见天空中飞过了 4 4 4 只白鸽,他便洞察了战胜尼古拉奥尔丁的秘密:只要他使用的技能中,都含有的世界之力的种类数恰好为 4 4 4 的倍数,他便可以打败敌人。
Yopilla 想知道,他有多少种使用技能的情况,能战胜敌人。请你替 Yopilla 回答这个问题,答案对 998244353 998244353 998244353 取模即可。
题解
好仙的题啊
考虑设交集大小至少为 x x x 的个数为 a x a_x ax ,则 a x = ( x n ) ( 2 2 n − x − 1 ) a_x=(_x^n)(2^{2^{n-x}}-1) ax=(xn)(22n−x−1)
然后我们考虑构造容斥系数 f x f_x fx ,使得 a n s = ∑ x = 0 n f x a x ans=\sum_{x=0}^nf_xa_x ans=∑x=0nfxax
然后我们考虑到如果交集大小恰好为 x x x 的最终要被算 [ x % 4 = 0 ] [x\%4=0] [x%4=0] 遍,而对于 ≤ x \le x ≤x 的 i i i ,它对于 x x x 的贡献就是 ( i x ) (_i^x) (ix) ,所以我们要使得 [ x % 4 = 0 ] = ∑ k = 0 x ( k x ) f x [x\%4=0]=\sum_{k=0}^x(_k^x)f_x [x%4=0]=∑k=0x(kx)fx
考虑二项式反演,将式子化为 f x = ∑ k = 0 x ( − 1 ) x − k ( k x ) [ x % 4 = 0 ] f_x=\sum_{k=0}^x(-1)^{x-k}(_k^x)[x\%4=0] fx=∑k=0x(−1)x−k(kx)[x%4=0]
考虑将 [ x % 4 = 0 ] [x\%4=0] [x%4=0] 化开,这时候我们要用到很神奇的东西:单位复数根
记 w m w_m wm 表示主 m m m 次单位根,那么根据性质,我们可以得到 [ x % m = 0 ] = ∑ i = 0 m − 1 ( w m x ) i [x\%m=0]=\sum_{i=0}^{m-1}(w_m^x)^i [x%m=0]=∑i=0m−1(wmx)i
于是 f x = ∑ k = 0 x ( − 1 ) x − k ( k x ) ∑ i = 0 4 − 1 ( w 4 x ) i f_x=\sum_{k=0}^x(-1)^{x-k}(_k^x)\sum_{i=0}^{4-1}(w_4^x)^i fx=∑k=0x(−1)x−k(kx)∑i=04−1(w4x)i
把 i i i 提前,得到 f x = ( − 1 ) x 4 ∑ i = 0 3 ( 1 − w 4 i ) x f_x=\frac{(-1)^x}{4}\sum_{i=0}^{3}(1-w_4^i)^x fx=4(−1)x∑i=03(1−w4i)x
于是我们可以 O ( n m ) O(nm) O(nm)处理出 f x f_x fx ,然后计算答案
代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e7+5,P=998244353;
int n,jc[N],ny[N],w[4],W[4],f[N],s=1;
int X(int x){
return x>=P?x-P:x;}
int C(int x,int y){
return 1ll*jc[x]*ny[y]%P*ny[x-y]%P;
}
int K(int x,int y){
int z=1;
for (;y;y>>=1,x=1ll*x*x%P)
if (y&1) z=1ll*z*x%P;
return z;
}
int main(){
cin>>n;jc[0]=1;
for (int i=1;i<=n;i++)
jc[i]=1ll*i*jc[i-1]%P;
ny[n]=K(jc[n],P-2);
for (int i=n;i;i--)
ny[i-1]=1ll*i*ny[i]%P;
w[0]=1;w[1]=911660635;
for (int i=2;i<4;i++)
w[i]=1ll*w[i-1]*w[1]%P;
for (int i=0;i<4;i++)
W[i]=1,w[i]=X(1+P-w[i]);
for (int i=0,F=1;i<=n;i++,F=P-F){
for (int j=0;j<4;j++)
f[i]=X(f[i]+W[j]);
f[i]=748683265ll*F%P*f[i]%P;
for (int j=0;j<4;j++)
W[j]=1ll*W[j]*w[j]%P;
}
for (int i=n,v=2,u;~i;i--)
u=1ll*C(n,i)*X(v-1+P)%P,
s=X(s+1ll*u*f[i]%P),v=1ll*v*v%P;
cout<<s<<endl;return 0;
}
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