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【机器学习】支持向量机原理及例题详解

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【机器学习】支持向量机原理及例题详解支持向量机（SVM）详解

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优化目标

引入

我们先从回顾一下Logistic回归，看看Logistic回归是如何演变为支持向量机的。

在这里插入图片描述

在这里插入图片描述

当 y = 1 y=1 y=1时，如果我们希望 h θ ( x ) ≈ 1 h_{\theta}(x)≈1 hθ​(x)≈1，则 θ T x \theta^{T}x θTx远大于0.

当 y = 0 y=0 y=0时，如果我们希望 h θ ( x ) ≈ 0 h_{\theta}(x)≈0 hθ​(x)≈0，则 θ T x \theta^{T}x θTx远小于0.

下面是每个样本的代价函数，注意没有求和，代表每个单独的训练样本对Logistic回归的总体目标函数的贡献。

在这里插入图片描述

然后我们将 h θ ( x ) h_{\theta}(x) hθ​(x)的具体公式带入进去，得到的就是每个训练样本对总体函数的具体贡献：

在这里插入图片描述

现在我们再来考虑 y = 1 , y = 0 y=1,y=0 y=1,y=0的情况，函数图像如下：

在这里插入图片描述

下面我们 y = 1 y=1 y=1为例，用两条直线近似等效曲线，来向支持向量机转换，例如我以 z = 1 z=1 z=1为起点，作两条直线近似取代曲线 − l o g 1 1 + e − z -log\frac{1}{1+e^{-z}} −log1+e−z1​，同理 y = 0 y=0 y=0时也一样。

在这里插入图片描述

当 y = 1 y=1 y=1时，两条直线记为 C o s t 1 ( z ) Cost_1(z) Cost1​(z)。

当 y = 0 y=0 y=0时，两条直线记为 C o s t 0 ( z ) Cost_0(z) Cost0​(z)。

构建支持向量机

这是我们在Logistic回归中使用的正规化代价函数 J ( θ ) J(\theta) J(θ)

在这里插入图片描述

然后我们用 C o s t 1 ( θ T x ( i ) ) Cost_1(\theta^{T}x^{(i)}) Cost1​(θTx(i))和 C o s t 0 ( θ T x ( i ) ) Cost_0(\theta^{T}x^{(i)}) Cost0​(θTx(i))将 − l o g h θ ( x ( i ) ) -logh_{\theta}(x^{(i)}) −loghθ​(x(i))和 − l o g ( 1 − h θ ( x ( i ) ) ) -log(1-h_{\theta}(x^{(i)})) −log(1−hθ​(x(i)))代替，去掉 1 m \frac{1}{m} m1​，然后对于正规项，我们不再用 λ \lambda λ来控制正规项的权重，而选择用不同的常数C来控制第一项的权重，最后我们得到支持向量机的总体优化目标如下：

在这里插入图片描述

与Logistic回归不同的是，sigmoid函数输出的不是概率，而是直接输出0或者1。

在这里插入图片描述

直观理解SVM

这是SVM的代价函数和图像：

在这里插入图片描述

下面我们来想一下如何让代价函数最小化。

若 y = 1 y=1 y=1，则当 θ T x ≥ 1 \theta^{T}x≥1 θTx≥1时， C o s t 1 ( z ) = 0 Cost_1(z)=0 Cost1​(z)=0.

若 y = 0 y=0 y=0，则当 θ T x ≤ − 1 \theta^{T}x≤-1 θTx≤−1时， C o s t 2 ( z ) = 0 Cost_2(z)=0 Cost2​(z)=0.

下面我们想象一下，如果将常数C设得比较大，例如C=100000，那么当进行最小化时，我们将迫切希望找到一个合适的值，使第一项等于0，那么现在我们试着在这种情况下来理解优化问题。

在这里插入图片描述

要使第一项为0，则有以下两种情况：

若 y = 1 y=1 y=1，则 θ T x ≥ 1 \theta^{T}x≥1 θTx≥1，即 y = 1 y=1 y=1的样本点在超平面 H 1 : θ T x ≥ 1 H_1:\theta^{T}x≥1 H1​:θTx≥1上。

若 y = 0 y=0 y=0，则 θ T x ≤ − 1 \theta^{T}x≤-1 θTx≤−1，即 y = 0 y=0 y=0的样本点在超平面 H 2 : θ T x ≤ − 1 H_2:\theta^{T}x≤-1 H2​:θTx≤−1上。

如下图所示，在 H 1 、 H 2 H_1、H_2 H1​、H2​上的点就是支持向量：

在这里插入图片描述

这里两个超平面 H 1 、 H 2 H_1、H_2 H1​、H2​平行，它们中间没有样本点。 H 1 、 H 2 H_1、H_2 H1​、H2​之间的距离成为间隔（margin）。

间隔依赖于分离超平面的法向量 θ \theta θ，等于 2 ∣ ∣ θ ∣ ∣ \frac{2}{||\theta||} ∣∣θ∣∣2​。 H 1 、 H 2 H_1、H_2 H1​、H2​是间隔边界。

核函数（kernel）

简单介绍

如下图，我们需要得到一个非线性的决策边界：

在这里插入图片描述

按我们之前学的方法，可以通过增加项数来进行拟合，如下：

在这里插入图片描述

现在我们用一些新的符号 f 1 , f 2 , f 3 . . . f_1,f_2,f_3… f1​,f2​,f3​...来表示新的特征值：

θ 0 + θ 1 f 1 + θ 2 f 2 + θ 3 f 3 + θ 4 f 4 + θ 5 f 5 + . . . ≥ 0 \theta_0+\theta_1f_1+\theta_2f_2+\theta_3f_3+\theta_4f_4+\theta_5f_5+…≥0 θ0​+θ1​f1​+θ2​f2​+θ3​f3​+θ4​f4​+θ5​f5​+...≥0

f 1 = x 1 , f 2 = x 2 , f 3 = x 1 x 2 , f 4 = x 1 2 . . . f_1=x_1,f_2=x_2,f_3=x_1x_2,f_4=x_1^2… f1​=x1​,f2​=x2​,f3​=x1​x2​,f4​=x12​...

现在我们用 f 1 , f 2 , f 3 f_1,f_2,f_3 f1​,f2​,f3​来举例：

如图，我们在图上选择三个标记 l ( 1 ) , l ( 2 ) ， l ( 3 ) l^{(1)},l^{(2)}，l^{(3)} l(1),l(2)，l(3)

在这里插入图片描述

然后来定义新的特征：

给定一个实例x，然后将 f 1 f_1 f1​定义为度量实例 x x x与标记点 l ( 1 ) l^{(1)} l(1)的相似度

f 1 = s i m i l a r i t y ( x , l ( 1 ) ) = e x p ( − ∣ ∣ x − l ( 1 ) ∣ ∣ 2 2 σ 2 ) f_1=similarity(x,l^{(1)})=exp(-\frac{
{||x-l^{(1)}||}^2}{2\sigma^2}) f1​=similarity(x,l(1))=exp(−2σ2∣∣x−l(1)∣∣2​)

类似地，

f 2 = s i m i l a r i t y ( x , l ( 2 ) ) = e x p ( − ∣ ∣ x − l ( 2 ) ∣ ∣ 2 2 σ 2 ) f_2=similarity(x,l^{(2)})=exp(-\frac{
{||x-l^{(2)}||}^2}{2\sigma^2}) f2​=similarity(x,l(2))=exp(−2σ2∣∣x−l(2)∣∣2​)

f 3 = s i m i l a r i t y ( x , l ( 3 ) ) = e x p ( − ∣ ∣ x − l ( 3 ) ∣ ∣ 2 2 σ 2 ) f_3=similarity(x,l^{(3)})=exp(-\frac{
{||x-l^{(3)}||}^2}{2\sigma^2}) f3​=similarity(x,l(3))=exp(−2σ2∣∣x−l(3)∣∣2​)

这种函数我们称为高斯核函数，后面我们还会学到其他的核函数。

下面来看看这些核函数的表达式有什么含义。

假设现在有一点非常接近与标记点 l ( 1 ) l^{(1)} l(1)，那么欧氏距离 ∣ ∣ x − l ( 1 ) ∣ ∣ 2 {||x-l^{(1)}||}^2 ∣∣x−l(1)∣∣2就会接近于0，此时 f 1 ≈ e x p ( 0 ) = 1 f_1≈exp(0)=1 f1​≈exp(0)=1。

相反，如果这点离 l ( 1 ) l^{(1)} l(1)很远，欧式距离 ∣ ∣ x − l ( 1 ) ∣ ∣ 2 {||x-l^{(1)}||}^2 ∣∣x−l(1)∣∣2会变得很大，此时 f 1 ≈ 0 f_1≈0 f1​≈0。

讲完了特征值的定义，接下来我们看看核函数是如何应用于决策边界的。

给定一个训练样本，当 θ 0 + θ 1 f 1 + θ 2 f 2 + θ 3 f 3 ≥ 0 \theta_0+\theta_1f_1+\theta_2f_2+\theta_3f_3≥0 θ0​+θ1​f1​+θ2​f2​+θ3​f3​≥0时，预测 y = 1 y=1 y=1。

假设我们已经得到了参数 θ \theta θ的值：

θ 0 = − 0.5 , θ 1 = 1 , θ 2 = 1 , θ 3 = 0 \theta_0=-0.5,\theta_1=1,\theta_2=1,\theta_3=0 θ0​=−0.5,θ1​=1,θ2​=1,θ3​=0

现在我们有一个实例 x x x（蓝点），落在如图所示位置，显然，该实例与标记点 l ( 1 ) l^{(1)} l(1)间距离很近，故 f 1 = 1 f_1=1 f1​=1，与标记点 l ( 2 ) ， l ( 3 ) l^{(2)}，l^{(3)} l(2)，l(3)相距较远，故 f 2 , f 3 = 0 f_2,f_3=0 f2​,f3​=0，然后我们代入 θ 0 + θ 1 f 1 + θ 2 f 2 + θ 3 f 3 \theta_0+\theta_1f_1+\theta_2f_2+\theta_3f_3 θ0​+θ1​f1​+θ2​f2​+θ3​f3​得 θ 0 + θ 1 = 0.5 ＞ 0 \theta_0+\theta_1=0.5＞0 θ0​+θ1​=0.5＞0，所以预测 y = 1 y=1 y=1。

在这里插入图片描述

若一个实例如绿点所示，与 l ( 1 ) , l ( 2 ) , l ( 3 ) l^{(1)},l^{(2)},l^{(3)} l(1),l(2),l(3)的距离都很远，此时 f 1 , f 2 , f 3 = 0 f_1,f_2,f_3=0 f1​,f2​,f3​=0

代入 θ 0 + θ 1 f 1 + θ 2 f 2 + θ 3 f 3 \theta_0+\theta_1f_1+\theta_2f_2+\theta_3f_3 θ0​+θ1​f1​+θ2​f2​+θ3​f3​得 θ 0 = − 0.5 ＜ 0 \theta_0=-0.5＜0 θ0​=−0.5＜0，所以预测 y = 0 y= 0 y=0。

在这里插入图片描述

如此，便会得到一个可以区分正负样本的非线性的决策边界。

那么现在大家可能会想如何去得到我们的标记点 l ( 1 ) , l ( 2 ) , l ( 3 ) l^{(1)},l^{(2)},l^{(3)} l(1),l(2),l(3)，并且在一些复杂的分类问题中，也许我们需要更多的标记点。

一般情况下，我们会直接选择训练样本作为标记点。

如下给定 m m m个训练样本，然后选定与 m m m个训练样本完全一样的位置作为标记点。

在这里插入图片描述

转化为向量：

f = [ f 0 f 1 f 2 f 3 . . . ] ∈ R m + 1 f=\left[ \begin{matrix} f_0 \\ f_1 \\ f_2 \\ f_3\\… \end{matrix} \right]∈R^{m+1} f=⎣⎢⎢⎢⎢⎡​f0​f1​f2​f3​...​⎦⎥⎥⎥⎥⎤​∈Rm+1

则当 θ T f ≥ 0 \theta^Tf≥0 θTf≥0时，预测 y = 1 y= 1 y=1.

最小化函数

在这里插入图片描述

参数选择

  • 首先我们看看参数 C C C，前面我们知道 C C C和 1 λ \frac{1}{\lambda} λ1​作用一样，如果选择了较大的 C C C,则意味着选择了较大的 λ \lambda λ，则是一个高偏差，低方差的模型（欠拟合）。

    如果选择了较小的 C C C，则意味着选择了较小的 λ \lambda λ，则是一个高方差，低偏差的模型（过拟合）。

  • 还有一个参数 σ 2 \sigma^2 σ2，如果 σ 2 \sigma^2 σ2比较大，则高斯核函数 e x p ( − ∣ ∣ x − l ( i ) ∣ ∣ 2 2 σ 2 ) exp(-\frac{
    {||x-l^{(i)}||}^2}{2\sigma^2})     exp(−2σ2∣∣x−l(i)∣∣2​)    相对平滑，模型高偏差低方差。反之则相对陡峭，模型低偏差高方差。

在这里插入图片描述

例题

在本次代码练习中，我们先从基础的线性分类出发，再到非线性分类来熟悉SVM的工作原理，最后再构建区分垃圾邮件的分类器。

import numpy as np
import pandas as pd
import seaborn as sb
import matplotlib.pyplot as plt
import scipy.io as sio

线性SVM

df = sio.loadmat('E:\\happy\\ML&DL\\My_exercise\\ex5-SVM\\data\\ex6data1.mat')
data = pd.DataFrame(df['X'], columns=['X1', 'X2'])
data['y'] = df['y']
data.head()

在这里插入图片描述

fig = plt.subplots(figsize=(8,6))
plt.scatter(data['X1'], data['X2'], s=50, c=data['y'], cmap='Spectral')
plt.xlabel('X1')
plt.ylabel('X2')
plt.show()

在这里插入图片描述

from sklearn import svm

C=1

#C=1
svc_1 = svm.LinearSVC(C=1, loss='hinge', max_iter=10000)
svc_1.fit(data[['X1', 'X2']], data['y'])
svc_1.score(data[['X1', 'X2']], data['y'])

0.9803921568627451

#C=1时，画图看看每个类别预测的置信度
data['SVM1 Confidence'] = svc_1.decision_function(data[['X1', 'X2']])
data.head()

在这里插入图片描述

fig = plt.subplots(figsize=(8,6))
plt.scatter(data['X1'], data['X2'], s=50, c=data['SVM1 Confidence'], cmap='RdBu')
plt.title('SVM (C=1) Decision Confidence')
plt.show()

在这里插入图片描述

C=100

#C=100时，画图看看每个类别预测的置信度
data['SVM100 Confidence'] = svc_100.decision_function(data[['X1', 'X2']])
fig = plt.subplots(figsize=(8,6))
plt.scatter(data['X1'], data['X2'], s=50, c=data['SVM100 Confidence'], cmap='RdBu')
plt.title('SVM (C=100) Decision Confidence')
plt.show()

在这里插入图片描述

非线性SVM

#高斯核函数
def gaussian_kernel(x1, x2, sigma):
    return np.exp(-np.power(x1 - x2, 2).sum() / (2 * (sigma ** 2)))

#测试一下
x1 = np.array([1, 2, 3])
x2 = np.array([2, 0, 1])
sigma = 2
gaussian_kernel(x1, x2, sigma)

0.32465246735834974

df = sio.loadmat('E:\\happy\\ML&DL\\My_exercise\\ex5-SVM\\data\\ex6data2.mat')
data = pd.DataFrame(df['X'], columns=['X1', 'X2'])
data['y'] = df['y']
data

fig = plt.subplots(figsize=(8,6))
plt.scatter(data['X1'], data['X2'], s=30, c=data['y'], cmap='Spectral')
plt.xlabel('X1')
plt.ylabel('X2')
plt.show()

在这里插入图片描述

#用内置的高斯核函数求解
svc = svm.SVC(C=100, gamma=10, probability=True)

svc.fit(data[['X1', 'X2']], data['y'])
svc.score(data[['X1', 'X2']], data['y'])

0.9698725376593279

#选一类按照概率画出来
prob = svc.predict_proba(data[['X1', 'X2']])[:, 0]

fig = plt.subplots(figsize=(8,6))
plt.scatter(data['X1'], data['X2'], s=30, c=prob, cmap='Reds')

在这里插入图片描述

网络搜索寻找最优参数

#读取训练集和验证集
df = sio.loadmat('E:\\happy\\ML&DL\\My_exercise\\ex5-SVM\\data\\ex6data3.mat')
df.keys()

在这里插入图片描述

gamma = 1 2 σ 2 \frac{1}{2\sigma^2} 2σ21​

X = df['X']
Xval = df['Xval']
y = df['y']
yval = df['yval']

candidate = [0.01, 0.03, 0.1, 0.3, 1, 3, 10, 30, 100]
gamma_values = [0.01, 0.03, 0.1, 0.3, 1, 3, 10, 30, 100]

best_score = 0
best_params = { 
   'C': None, 'gamma': None}

for C in candidate:
    for gamma in gamma_values:
        svc = svm.SVC(C=C, gamma=gamma)
        svc.fit(X, y)
        score = svc.score(Xval, yval)
        
        if score > best_score:
            best_score = score
            best_params['C'] = C
            best_params['gamma'] = gamma

best_score, best_params

(0.965, {'C': 0.3, 'gamma': 100})

实现垃圾邮件过滤器

train = sio.loadmat('E:\\happy\\ML&DL\\My_exercise\\ex5-SVM\\data\\spamTrain.mat')
test = sio.loadmat('E:\\happy\\ML&DL\\My_exercise\\ex5-SVM\\data\\spamTest.mat')
train.keys(),test.keys()

在这里插入图片描述

#X是一个二进制向量，1表示邮件中存在该单词，0表示不存在
X = train['X']
y = train['y'].ravel()
Xtest = test['Xtest']
ytest = test['ytest'].ravel()

svc = svm.SVC()
svc.fit(X, y)
svc.score(Xtest, ytest)

0.987

例题数据和jupyter获取

关注公众号“大拨鼠Code”，回复“机器学习”可领取上面例题的源文件，jupyter版本的，例题和数据也一起打包了，之前的练习也在里面，感谢支持。

参考资料：

[1] https://www.bilibili.com/video/BV164411b7dx

[2] https://github.com/fengdu78/Coursera-ML-AndrewNg-Notes

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发布者：全栈程序员-用户IM，转载请注明出处：https://javaforall.cn/184334.html原文链接：https://javaforall.cn

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