Spatial Transformer Networks（STN）详解

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1、STN的作用

1.1 灵感来源

  普通的CNN能够显示的学习平移不变性，以及隐式的学习旋转不变性，但attention model 告诉我们，与其让网络隐式的学习到某种能力，不如为网络设计一个显式的处理模块，专门处理以上的各种变换。因此，DeepMind就设计了Spatial Transformer Layer，简称STL来完成这样的功能。

1.2 什么是STN？

  关于平移不变性 ，对于CNN来说，如果移动一张图片中的物体，那应该是不太一样的。假设物体在图像的左上角，我们做卷积，采样都不会改变特征的位置，糟糕的事情在我们把特征平滑后后接入了全连接层，而全连接层本身并不具备 平移不变性 的特征。但是 CNN 有一个采样层，假设某个物体移动了很小的范围，经过采样后，它的输出可能和没有移动的时候是一样的，这是 CNN 可以有小范围的平移不变性 的原因。

  如上图所示，如果是手写数字识别，图中只有一小块是数字，其他大部分地区都是黑色的，或者是小噪音。假如要识别，用Transformer Layer层来对图片数据进行旋转缩放，只取其中的一部分，放到之后然后经过CNN就能识别了。我们发现，它其实也是一个layer，放在了CNN的前面，用来转换输入的图片数据，其实也可以转换feature map,因为feature map说白了就是浓缩的图片数据，所以Transformer layer也可以放到CNN里面。

2、STN网络架构

  上图是Spatial Transformer Networks的网络结构，它主要由3部分组成，它们的功能和名称如下：参数预测：Localisation net、坐标映射：Grid generator、像素的采集：Sampler。

  上图展示了一个平移变换的过程，也就是STN所做的事情。假设左边是Layer l−1的输出，也就是STN的输入，最右边为变换后的结果。假设是一个全连接层，n,m代表输出的值在输出矩阵中的下标，输入的值通过权值w，做一个组合，完成这样的变换。
  假如要生成$a_{11}^l$,那就是将左边矩阵的九个输入元素，全部乘以一个权值，加权相加：$a_{11}^l=w_{1111}^l{a}_{11}^{l-1}+w_{1112}^l{a}_{12}^{l-1}+w_{1113}^l{a}_{13}^{l-1}+\cdots +w_{1133}^l{a}_{33}^{l-1}$。这仅仅是$a_{11}^l$的值，其他的结果也是这样算出来的，具体的计算公式如下所示：$$a_{nm}^l=\sum _{i=1}^3\sum _{j=1}^3{w}_{nm,ij}^l{a}_{ij}^{l-1}$$通过调整这些权值，就可以达到缩放和平移的目的，其实这就是变换的基本思路。在整个的变换过程中，会涉及到3个关键的问题需要去解决，具体的问题如下所示：

• 问题1-应该如何确定这些参数？
• 问题2-图片的像素点可以当成坐标，在平移过程中怎么实现原图片与平移后图片的坐标映射关系？
• 问题3-参数调整过程中，权值一定不可能都是整数，那输出的坐标有可能是小数，但实际坐标都是整数的，如果实现小数与整数之间的连接？

3、Localisation net是如何实现参数的选取的？

3.1 如何实现平移变换

  对于平移变换而言，比如从$a_{11}^{l-1}$平移到$a_{21}^l$，得到的$a_{21}^l$可以使用下式来表示：$$a_{21}^l=w_{2111}^l{a}_{11}^{l-1}+w_{2112}^l{a}_{12}^{l-1}+w_{2113}^l{a}_{13}^{l-1}+\cdots +w_{2133}^l{a}_{33}^{l-1}$$，当$w_{2111}^l=1$，其余均为0时，上式则可以简化为：$$a_{21}^l=1\ast a_{11}^{l_{1}1}$$，这样就完成了整个平移变换，其它的平移也可以使用类似的方法来获得。

3.2 如何实现缩放变换

  如果想要放大一张图片，只需要在X轴和Y轴方向上同时X2就可以啦，这样就可以达到放大的效果。上述过程可以用下图中的矩阵表达式来表示。缩小图片的原理和放大图片的原理很相似，具体的实现细节请看下图。

3.3 如何实现旋转变换

  一个圆圈的角度是360度，我们可以通过控制水平和竖直两个方向来实现旋转。

由点A旋转θ度角，到达点B.得到下式：$$\begin{array}{l}{x}^{\prime }=R\cos \alpha \\ y^{\prime }=R\sin \alpha \end{array}$$ 由A点可得下式：$$\begin{array}{l}x=R\cos (\alpha +\theta )\\ y=R\sin (\alpha +\theta )\end{array}$$ 将上式展开可得：$$\begin{array}{l}x=R\cos \alpha \cos \theta -R\sin \alpha \sin \theta \\ y=R\sin \alpha \cos \theta +R\cos \alpha \sin \theta \end{array}$$ 把未知数α替换掉可得下式：$$\begin{array}{rl}x& =x^{\prime }\cos \theta -y^{\prime }\sin \theta \\ y& =y^{\prime }\cos \theta +x^{\prime }\sin \theta \end{array}$$ 总而言之，我们可以简单的理解为cosθ,sinθ就是控制这样的方向的，把它当成权值参数，写成矩阵形式，就完成了旋转操作。

3.4 如何实现裁剪变换

  剪切变换相当于将图片沿x和y两个方向拉伸，且x方向拉伸长度与y有关，y方向拉伸长度与x有关，用矩阵形式表示前切变换如下：

3.5 总结

  通过上面的分析，我们发现所有的这些操作，只需要六个参数[2X3]就可以实现各种变换功能啦，所以我们可以把feature map U作为输入，过连续若干层计算（如卷积、FC等），回归出参数θ，在我们的例子中就是一个[2，3]大小的6维仿射变换参数，用于下一步计算。

4、Grid generator如何实现像素点坐标的对应关系？

4.1 为什么会有坐标的问题？

  由上面的公式，我们可以发现，无论如何做旋转，缩放，平移，只用到六个参数就可以了，具体如下图所示：

  缩放的本质，其实就是在原样本上面进行采样，获得对应的像素点，通俗点说，就是输出的图片(i,j)的位置上，要对应输入图片的哪个位置？

  如图所示旋转缩放操作，我们把像素点看成是坐标中的一个小方格，输入的图片$U\in R^{HxWxC}$可以是一张图片，或者feature map，其中H表示高，W表示宽，C表示颜色通道。经过变换$T_{\theta }(G)$,θ是上一个部分（Localisation net）生成的参数，生成了图片$V\in R^{H^{\prime }x{W}^{\prime }xC}$,它的像素相当于被贴在了图片的固定位置上，用$G=G_i$表示，像素点的位置可以表示为 G i = { x i t , y i t } G_{i}=\left\{x_{i}^{t}, y_{i}^{t}\right\} Gi​={
xit​,yit​},这就是我们在这一阶段要确定的坐标。

4.2 仿射变换关系

  上图展示的是一个坐标转换变换关系：其中$\left(x_i^t,y_i^t\right)$表示的是输出目标图片的坐标，$\left(x_i^s,y_i^s\right)$表示原图片的坐标，$A_{\theta }$表示仿射关系。我们的仿射变换关系是：从目标图片——->原图片。作者在论文中写的比较模糊，比较满意的解释是坐标映射的作用，其实是让目标图片在原图片上采样，每次从原图片的不同坐标上采集像素到目标图片上，而且要把目标图片贴满，每次目标图片的坐标都要遍历一遍，是固定的，而采集的原图片的坐标是不固定的，因此用这样的映射。

  如图所示，假设只有平移变换，这个过程就相当于一个拼图的过程，左图是一些像素点，右图是我们的目标，我们的目标是确定的，目标图的方框是确定的，图像也是确定的，这就是我们的目标，我们要从左边的小方块中拿一个小方块放在右边的空白方框上，因为一开始右边的方框是没有图的，只有坐标，为了确定拿过来的这个小方块应该放在哪里，我们需要遍历一遍右边这个方框的坐标，然后再决定应该放在哪个位置。所以每次从左边拿过来的方块是不固定的，而右边待填充的方框却是固定的，所以定义从目标图片——->原图片的坐标映射关系更加合理，且方便。

5、Sampler实现坐标求解的可微性

5.1 小数坐标问题的提出

  我们可以假设一下我们的权值矩阵的参数是如下这几个数，x,y分别表示的是他们的下标，经过变换后，可以得到如下的变换关系。

前面举的例子中，权值都是整数，计算的结果也必定是整数，如果不是整数呢？

假如权值是小数，那得到的值也一定是小数，1.6,2.4，但是没有元素的下标索引是小数呀。那不然取最近吧，那就得到2，2了，也就是与$a_{22}^l$对应了。

5.2 解决输出坐标为小数的问题

  使用上面的四舍五入显然是不能进行梯度下降来回传梯度的。由于梯度下降是一步一步调整的，而且调整的数值都比较小，哪怕权值参数有小范围的变化，虽然最后的输出也会有小范围的变化，比如一步迭代后，结果有：1.6→1.64,2.4→2.38。但是即使有这样的改变，结果依然是$a_{22}^{l_1}\to a_{22}^l$的对应关系没有一点变化，所以output依然没有变，我们没有办法微分了，也就是梯度依然为0呀，梯度为0就没有可学习的空间呀。所以我们需要做一个小小的调整。
  仔细思考一下这个问题是什么造成的，我们发现其实在推导SVM的时候，我们也遇到过相同的问题，当时我们如果只是记录那些出界的点的个数，好像也是不能求梯度的，当时我们是用了hing loss，来计算一下出界点到边界的距离，来优化那个距离的，我们这里也类似，我们可以计算一下到输出[1.6,2.4]附近的主要元素，如下所示，计算一下输出的结果与他们的下标的距离，可得：

然后做如下更改：

他们对应的权值都是与结果对应的距离相关的，如果目标图片发生了小范围的变化，这个式子也是可以捕捉到这样的变化的，这样就能用梯度下降法来优化了。

5.3 Sampler的数学原理

  论文作者对我们前面的过程给出了非常严密的证明过程，以下是我对论文的转述。每次变换，相当于从原图片$\left(x_i^s,y_i^s\right)$中，经过仿射变换，确定目标图片的像素点坐标$\left(x_i^t,y_i^t\right)$的过程,这个过程可以用公式表示为：

kernel k表示一种线性插值方法，比如双线性插值，更详细的请参考该链接，${\varphi }_x,{\varphi }_y$表示插值函数的参数；$U_{nm}^c$表示位于颜色通道C中坐标为(n,m)的值。
如果使用双线性插值，则可以使用下式来表示：

为了允许反向传播回传损失，我们可以求对该函数求偏导：

对于$y_i^s$的偏导也类似，如果就能实现这一步的梯度计算，而对于$=\frac{\partial x_i^s}{\partial \theta },\frac{\partial y_i^s}{\partial \theta }$的求解也很简单，所以整个过程按照Localisation net←Grid generator←Sampler的梯度回传就能走通了。

6、Spatial Transformer Networks（STN)

  将这三个组块结合起来，就构成了完整STN网络结构了。这个网络可以加入到CNN的任意位置，而且相应的计算量也很少。将 spatial transformers 模块集成到 cnn 网络中，允许网络自动地学习如何进行 feature_map 的转变，从而有助于降低网络训练中整体的代价。定位网络中输出的值，指明了如何对每个训练数据进行转化。

7、STN 代码实现

STN结构示例如下所示：

class STN(nn.HybridBlock):
	##继承HybridBlock模块，可以方便的hybrid，将命令式编程转换为符号式提升性能但损失了一定的灵活性
    def __init__(self):
        super(STN, self).__init__()
        with self.name_scope():
		# 使用name_scope可以自动给每一层生成独一无二的名字方便读取特定层
        # Spatial transformer localization-network
        # loc 定义了两层卷积网络
            loc = self.localization = nn.HybridSequential() 
            loc.add(nn.Conv2D(8, kernel_size=7))
            loc.add(nn.MaxPool2D(strides=2))
            loc.add(nn.Activation(activation='relu'))
            loc.add(nn.Conv2D(10, kernel_size=5))
            loc.add(nn.MaxPool2D(strides=2))
            loc.add(nn.Activation(activation='relu'))
         # 采用两层全连接层，回归出仿射变换所需的参数θ（6，）   
            # Regressor for the 3 * 2 affine matrix
            fc_loc = self.fc_loc = nn.HybridSequential()
            fc_loc.add(nn.Dense(32,activation='relu'))
            # 将该层w初始化为全零，b初始化为[1,0,0,0,1,0]
            fc_loc.add(nn.Dense(3 * 2,weight_initializer='zeros'))
            
    # Spatial transformer network forward function
    # 使用hybrid_forward需要增加F参数，它会自动判定前向过程中调用nd还是sym            
    def hybrid_forward(self,F, x):    
        xs = self.localization(x)
        xs = xs.reshape((-1, 10 * 3 * 3))
        theta = self.fc_loc(xs)
        theta = theta.reshape((-1, 2*3))
		# MxNet 已经定义好了相应的产生网格和采样的函数接口
        grid = F.GridGenerator(data=theta, transform_type='affine',target_shape=(28,28),name='grid')

        x = F.BilinearSampler(data=x,grid=grid,name='sampler' )

        return x        

主体网络代码如下所示：

class Net(nn.HybridBlock):
    def __init__(self):
        super(Net, self).__init__()
        # 对输入图片进行STN变换后送入一个简单的两层卷积，两层全连接网络
        with self.name_scope():
            self.model = nn.HybridSequential()
            self.model.add(STN())
            self.model.add(nn.Conv2D(10, kernel_size=5))
            self.model.add(nn.MaxPool2D())
            self.model.add(nn.Activation(activation='relu'))
            self.model.add(nn.Conv2D(20, kernel_size=5))
            self.model.add(nn.Dropout(.5))
            self.model.add(nn.MaxPool2D())
            self.model.add(nn.Activation(activation='relu'))
            self.model.add(nn.Flatten())
            self.model.add(nn.Dense(50))
            self.model.add(nn.Activation(activation='relu'))
            self.model.add(nn.Dropout(.5))
            self.model.add(nn.Dense(10))

    def hybrid_forward(self,F, x):
        for i,b in enumerate(self.model):
            x = b(x)
        return x

参考资料

[1] STN论文
[2] 参考博客1
[3] 参考博客2

注意事项

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[2] 由于个人能力有限，该博客可能存在很多的问题，希望大家能够提出改进意见。
[3] 如果您在阅读本博客时遇到不理解的地方，希望您可以联系我，我会及时的回复您，和您交流想法和意见，谢谢。
[4] 本人业余时间承接各种本科毕设设计和各种小项目，包括图像处理（数据挖掘、机器学习、深度学习等）、matlab仿真、python算法及仿真等，有需要的请加QQ：1575262785详聊，备注“项目”！！！