《PRML》学习笔记2.2——多项式分布和狄利克雷分布

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上回讲完了伯努利分布、二项分布和Beta分布，以及从最大似然估计的非参数化思想和引入共轭先验，使得参数变成一个变量，建模求解的参数化方法两方面介绍了求解模型参数 $\mu$ 的方法。没有读过的朋友可以参考：《PRML》学习笔记2.1——伯努利分布、二项分布和Beta分布，从贝叶斯观点出发

今天将为大家介绍两个更难理解的分布——多项式分布和狄利克雷分布。

1.多项式变量和多项式分布

伯努利分布的一个经典例子就是掷硬币，当你掷出去的时候，得到的结果只有正面朝上或者反面朝上两种可能，因此可以用 $p(x|\mu)=\mu^{x}\cdot(1-\mu)^{1-x}$ 进行建模。概率密度的表达式中，的取值只有两种情况——0或1，那么，这个建模方法就不适用于掷骰子了，毕竟骰子有6个面，对应着6种投掷结果。所以这时候就要将服从伯努利分布的变量进行扩展了。

首先，使用一种方式来表达投掷骰子的结果，这里推荐的是”1-of-K”表示法，使用一个K维向量 $\boldsymbol{x}$ 来表示状态，向量中一个元素 x_k 等于1，其余元素为0，用来表示发生的是第k中情况：

$\large \boldsymbol{x}=(0,0,0,1,0,0)^T$ (1)

如果用参数 $\mu_k$ 表示 x_k=1 的概率，那么 $\mathbf{x}$ 的分布为：

$\large p(\boldsymbol{x}|\boldsymbol{\mu})=\prod_{k=1}^{K}\mu_k^{x_k}$ (2)

因为 $\mu_k$ 代表的是一种情况的概率，所以 $\mu_k$ 满足 $\mu_k\ge0$ 而且 $\sum_{k=1}^{K}\mu_k=1$ 。可以看出，这是伯努利分布的一个多维上的推广，伯努利分布 $p(x|\mu)=\mu^{x}\cdot(1-\mu)^{1-x}$ 也可以换成相同的形式表达： $p(\boldsymbol{x}|\boldsymbol{\mu})=\mu_1^{x_1}\cdot\mu_2^{x_2}$ ， $\boldsymbol{x}$ 是一个2维向量，同样是用”1-of-K”表示法，这里的 $\mu_k$ 也满足 $\mu_k\ge0$ 且 $\sum_{k=1}^{K}\mu_k=1$ 。

继续K维向量的讨论，由刚才的分布推导出其数学期望为：

$\large \mathbb{E}[\boldsymbol{x}|\boldsymbol{\mu}]=\sum_{\boldsymbol{x}}p(\boldsymbol{x}|\boldsymbol{\mu})\boldsymbol{x}=(\mu_1,...,\mu_K)^T=\boldsymbol{\mu}$ (3)

那么，可以联系之前从伯努利分布到二项分布的引出过程，我们也制造一个集合 $\mathcal{D}$ ，它由个独立同分布(如上面的分布)的向量 $\boldsymbol{x_1}...\boldsymbol{x_N}$ ，那么对应的似然函数是：

$\large p(\mathcal{D}|\boldsymbol{\mu})=\prod_{n=1}^{N}\prod_{k=1}^{K}\mu_k^{x_{nk}}=\prod_{k=1}^{K}\prod_{n=1}^{N}\mu_k^{x_{nk}}=\prod_{k=1}^{K}\mu_k^{\sum_{n=1}^{N}x_{nk}}$ (4)

设 $m_k=\sum_nx_{nk}$ ,那么这个部分代表了似然函数对于个数据点的依赖关系，而 m_k 也可以理解为，在次观测中，观测到 x_k=1 的次数。接下来求解最大似然解，转化成对数似然函数：

$\large \mathrm{ln}p(\mathcal{D}|\boldsymbol{\mu})=\sum_{k=1}^Km_k\cdot \mathrm{ln}(\mu_k)$ (5)

同时存在的限制条件为 $\sum_{k=1}^{K}\mu_k=1$ ，这个限制通过拉格朗日乘数 $\large \lambda$ 实现，总的函数变为：

$\large \mathrm{ln}p(\mathcal{D}|\boldsymbol{\mu})+\lambda(\sum_{k=1}^K\mu_k -1)=\sum_{k=1}^Km_k\cdot \mathrm{ln}(\mu_k)+\lambda(\sum_{k=1}^K\mu_k -1)$ (6)

求导：

$\large \frac{\partial f}{\partial \mu_k}=\frac{m_k}{\mu_k}+\lambda=0 \to \mu_k=-\frac{m_k}{\lambda}$ (7)

将 $\mu_k=-\frac{m_k}{\lambda}$ 代入 $\sum_{k=1}^{K}\mu_k=1$ 中，解得 $\lambda=-N,\mu_k^{ML}=\frac{m_k}{N}$ ，对应的就是在次观测中，观测到 x_k=1 的次数的比例。然后，类似于二项分布，考虑 m_1...m_k 的联合分布(二项分布只考虑 m_1 的分布)，可以得到：

$\large p(m_1,m_2...m_k|\boldsymbol{\mu},N)=(_{m_1,m_2...m_k}^{N})\prod_{k=1}^K\mu_k^{m_k}$ (8)

此时满足 $\sum_{k=1}^{K}\mu_k=1$ 。

2.狄利克雷分布

由多项式分布的形式可知，参数 $\{\mu_k\}$ 的共轭先验分布满足 $p(\boldsymbol{\mu}|\boldsymbol{\alpha})\propto\prod_{k=1}^K\mu_k^{\alpha_k-1}$ ，其中 $1\ge\mu_k\ge0$ 且 $\sum_{k=1}^{K}\mu_k=1$ ，由于这两个条件的限制，参数 $\{\mu_k\}$ 被限制在了k-1维的单纯性中(作为特例，Beta分布的参数分布在一条直线 $\mu_1+\mu_2=1$ 上)。归一化后，得到了狄利克雷分布：

$p(\boldsymbol{\mu}|\boldsymbol{\alpha})=\frac{\Gamma(\sum_{k=1}^K\alpha_k)}{\Gamma(\alpha_1)...\Gamma(\alpha_K)}\cdot \prod_{k=1}^K\mu_k^{\alpha_k-1}$ (9)

它是Beta分布的多维推广。同样，用贝叶斯公式可得，参数 $\{\mu_k\}$ 的后验概率正比于似然函数和先验概率的乘积。因此形式一致，得到归一化后的后验概率分布也是狄利克雷分布，为：

$p(\boldsymbol{\mu}|\boldsymbol{\alpha})=\frac{\Gamma(\sum_{k=1}^K\alpha_k+N)}{\Gamma(\alpha_1+m_1)...\Gamma(\alpha_K+m_K)}\cdot \prod_{k=1}^K\mu_k^{\alpha_k+m_k-1}$ (10)

因此参数 $\alpha_k$ 可以理解为 x_k=1 的有效观测数。

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