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一、复习求和符号∑

      自从约瑟夫·傅立叶于1820年引入求和符号∑（大写的希腊字母sigma）以来，求和∑以及双重求和∑∑在数学公式推导，命题证明中被经常使用，掌握它的定义和性质对于提高我们的数学能力是必不可少的。
注意我们在此只讨论有限项的求和。
结合律：
$$\sum _{i=1}^n(a_i+b_i)=\sum _{i=1}^n{a}_i+\sum _{i=1}^n{b}_i$$
分配律：
$$\sum _{i=1}^{n}r{a}_i=r\sum _{i=1}^n{a}_i(r为任意常数)$$
从函数角度：
$$\sum _{i=1}^{10}g(k,l)f(i,j)=g(k,l)\sum _{i=1}^{10}f(i,j)$$
g(k, l)是与下标i无关的函数
分段：
$$\sum _{i=1}^n{a}_i=\sum _{i=1}^m{a}_i+\sum _{i=m+1}^n{a}_i$$

二、二重求和的定义

有一个n行m列的数表：
$$\begin{array}{l}{a}_{11},a_{12},a_{13},\cdots ,a_{1m}\\ a_{21},a_{22},a_{23},\cdots ,a_{2m}\\ a_{31},a_{32},a_{33},\cdots ,a_{2m}\\ \cdots \\ a_{n1},a_{n2},a_{n3},\cdots ,a_{nm}\end{array}$$

数表里的每个元素都由两个相互独立的数i，j决定，即每一项都是i，j的二元函数，一般项为a_ij ，i = 1,2…n; j = 1,2…m
这n × m项的和记为${\sum }_{j=1}^m({\sum }_{i=1}^n{a}_{ij})$ 或者${\sum }_{i=1}^n({\sum }_{j=1}^m{a}_{ij})$

三、双重求和∑∑交换求和顺序

第i行的元素的和记为Ri：
$$R_i=\sum _{j=1}^m{a}_{ij}=a_{i1}+a_{i2}+...+a_{im}$$
一共有n行，所有行元素的和，即数表所有元素的和记为S：
$$S=\sum _{i=1}^n{R}_i=\sum _{i=1}^n(\sum _{j=1}^m{a}_{ij})$$

第j列的元素的和记为Cj：
$$C_j=\sum _{i=1}^n{a}_{ij}=a_{1j}+a_{2j}+...+a_{nj}$$
一共有m列，所有列元素的和，即数表所有元素的和记为S：
$$S=\sum _{j=1}^m{C}_j=\sum _{j=1}^m(\sum _{i=1}^n{a}_{ij})$$
所以$$\sum _{i=1}^n(\sum _{j=1}^m{a}_{ij})=\sum _{j=1}^m(\sum _{i=1}^n{a}_{ij})$$
也可以写成${\sum }_{1<=i<=n,1<=j<=m}{a}_{ij}$
即二重和的和号（求和次序）可以交换。

但要注意，但求和项数变为无穷或者（一个或两个）和号变为积分号时，往往要求级数收敛或者函数可积，相应的交换和号的结论才能成立。

Example 1
${\sum }_{i=1}^4{\sum }_{j=1}^{i}f(i,j)$交换求和次序后是什么样的呢？
A.${\sum }_{j=1}^i{\sum }_{i=1}^{4}f(i,j)$
B.${\sum }_{j=1}^4{\sum }_{i=1}^{j}f(i,j)$
C.${\sum }_{j=1}^4{\sum }_{i=j}^{4}f(i,j)$

因为[1<= i <= 4][1<= j<= i] = [1<= j <= i <= 4] = [1<= j<= 4][ j <= i <= 4]
所以 选C，也可以穷举出所有元素，如果将i作为行号，j作为列号，对于${\sum }_{i=1}^4{\sum }_{j=1}^{i}f(i,j)$，你会发现这些元素的排列类似于下三角矩阵的形式（按行求和），然后将按行求和切换为按列求和，也会得到C答案。

Example 2
求${\sum }_{k=1}^n{\sum }_{i=1}^k\frac{i{a}_{ij}}{k(k+1)}$交换求和次序后的表达式。
同样的，[1<= k <= n][1<= i<= k] = [1<= i <= k <= n] = [1<= i<= n][ i <= k <= n]
所以，${\sum }_{i=1}^n{\sum }_{k=i}^n\frac{i{a}_{ij}}{k(k+1)}$，如果将i作为行号，k作为列号，对于${\sum }_{k=1}^n{\sum }_{i=1}^k\frac{i{a}_{ij}}{k(k+1)}$ ，你会发现这些元素的排列类似于上三角矩阵的形式（按列求和），然后将按列求和切换为按行求和。

Example 3
${\sum }_{k=1}^n(k({\sum }_{i=1}^k\frac{i^2}{a_i})(\frac{2}{k(k+1)}{)}^2)$ = $4{\sum }_{k=1}^n{\sum }_{i=1}^k\frac{i^2}{a_i}\frac{k}{k(k+1{)}^2}$ = $4{\sum }_{i=1}^n\frac{i^2}{a_i}{\sum }_{k=i}^n\frac{k}{k(k+1{)}^2}$

注意，容易出错的地方
${\left({\sum }_{i=1}^{5}f(i)\right)}^2=\left({\sum }_{i=1}^{5}f(i)\right)\ast \left({\sum }_{i=1}^{5}f(i)\right)̸={\sum }_{i=1}^5{\sum }_{i=1}^{5}f(i)f(i)={\sum }_{i=1}^5{\sum }_{i=1}^5{f}^2(i)$
而是
${\left({\sum }_{i=1}^{5}f(i)\right)}^2=\left({\sum }_{i=1}^{5}f(i)\right)\ast \left({\sum }_{i=1}^{5}f(i)\right)={\sum }_{i=1}^5{\sum }_{j=1}^{5}f(i)f(j)$

–更详细内容可阅读《具体数学》第二章 和式