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本文作者：合肥工业大学 管理学院 钱洋 email：1563178220@qq.com 内容可能有不到之处，欢迎交流。
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#原因
今天晚上，老师在看LDA数学八卦的时候，问我一个问题，如下图所示：
这个多项式分布的参数，采用极大估计是怎么求的呢?当时想了想还真不知道，于是在网上找了资料，学习了一下，特此记录。
#公式推导
很多情况下，假定一个变量 X X X有 k k k个状态，其中 k > 2 k>2 k>2,每个状态假定的可能性为 p 1 , p 2 , ⋯   , p k p_{1},p_{2},\cdots ,p_{k} p1,p2,⋯,pk，且 ∑ i = 1 k p i = 1 \sum _{i=1}^{k}p_{i}=1 ∑i=1kpi=1,独立进行 n n n次实验，用 n 1 , n 2 , ⋯   , n k n_{1},n_{2},\cdots ,n_{k} n1,n2,⋯,nk表示每个状态发生的次数，发生的次数服从多项式分布：
p ( n 1 , n 2 , ⋯   , n k ∣ p 1 , p 2 , ⋯   , p k ) = n ! ∏ i = 1 k n i ! ∏ i = 1 k p i n i p\left ( n_{1},n_{2},\cdots ,n_{k}|p_{1},p_{2},\cdots ,p_{k} \right )=\frac{n!}{\prod _{i=1}^{k}n_{i}!}\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{n_{i}} p(n1,n2,⋯,nk∣p1,p2,⋯,pk)=∏i=1kni!n!i=1∏kpini
下面采用极大似然求解：
L ( p 1 , p 2 , ⋯   , p k ) = l o g ( n ! ∏ i = 1 k n i ! ∏ i = 1 k p i n i ) L\left ( p_{1},p_{2},\cdots ,p_{k} \right )=log\left (\frac{n!}{\prod _{i=1}^{k}n_{i}!}\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{n_{i}} \right ) L(p1,p2,⋯,pk)=log(∏i=1kni!n!i=1∏kpini)
= l o g ( n ! ) − ∑ i = 1 k l o g n k ! + ∑ i = 1 k l o g p k =log\left ( n! \right )-\sum _{i=1}^{k}logn_{k}!+\sum _{i=1}^{k}logp_{k} =log(n!)−i=1∑klognk!+i=1∑klogpk
对于有约束条件的极值求解问题可使用拉格朗日乘法：
L a g r a n g e ( p 1 , p 2 , ⋯   , p k , λ ) = L ( p 1 , p 2 , ⋯   , p k ) − λ ( ∑ i = 1 k p i − 1 ) Lagrange\left ( p_{1},p_{2},\cdots ,p_{k},\lambda \right )=L\left ( p_{1},p_{2},\cdots ,p_{k} \right )-\lambda\left ( \sum _{i=1}^{k}p_{i}-1 \right ) Lagrange(p1,p2,⋯,pk,λ)=L(p1,p2,⋯,pk)−λ(i=1∑kpi−1)
求导(计算梯度)：
∂ L a g r a n g e ( p 1 , p 2 , ⋯   , p k , λ ) ∂ p i = n i p i − λ \frac{\partial Lagrange\left ( p_{1},p_{2},\cdots ,p_{k},\lambda \right )}{\partial p_{i}}=\frac{n_{i}}{p_{i} }-\lambda ∂pi∂Lagrange(p1,p2,⋯,pk,λ)=pini−λ
进而有：
p i = n i λ p_{i}=\frac{n_{i}}{\lambda } pi=λni
由于
∑ i = 1 k n i λ = 1 \sum _{i=1}^{k}\frac{n_{i}}{\lambda }=1 i=1∑kλni=1
得到：
λ = n \lambda=n λ=n
进而有：
p i ^ = n i n \hat{p_{i}}=\frac{n_{i}}{n} pi^=nni
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