求和符号的运用_求和符号的性质

大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。如果您正在找激活码,请点击查看最新教程,关注关注公众号 “全栈程序员社区” 获取激活教程,可能之前旧版本教程已经失效.最新Idea2022.1教程亲测有效,一键激活。

Jetbrains全系列IDE稳定放心使用

文章向导

从单重求和谈起（定义与基本性质）
多重求和（二重情况）
求和的实际应用（等比级数）

引言：
　　求和符号经常活跃于数学或工程实际问题中，特别是处于多重求和情况时，连用的求和符号存在运算的优先顺序，有时我们可以直接互换不同求和符号之间的位置，而有时不同的位置则代表不同的求和意义。因此，关于求和符号∑的问题还是很有必要进行一番细致的讨论。

一、从单重求和谈起
　　我们通过一个稍微简单的例子来回顾下求和符号的使用（如下所示）。 $\sum_{i=1}^{10}{g\left( k,l \right) h\left( i,j \right)}=g\left( k,l \right) \sum_{i=1}^{10}{h\left( i,j \right)}$
　　求和符号展开的关键在于替换所有的计数下标，本例中 $g\left( k,l \right)$ 与计数下标i无关，故可直接提取到求和符号外。最终结果如下所示： $g\left( k,l \right) \left( h\left( \text{1,}j \right) +h\left( \text{2,}j \right) +···+h\left( \text{10,}j \right) \right)$

二、多重求和（二重情况）
　　当出现两个及以上的求和符号时，它们之间必然存在着某种运算的优先顺序。为便于理解和阅读，我们也可以适当对其添加括号来明确这种运算顺序。比如下面这样： $\sum_{i=1}^3{\sum_{j=1}^4{f\left( i,j \right) =\sum_{i=1}^3{\left( \sum_{j=1}^4{f\left( i,j \right)} \right)}}}=\sum_{i=1}^3{\left( f\left( i,1 \right) +f\left( i,2 \right) +f\left( i,3 \right) +f\left( i,4 \right) \right)}$
　　实际上，由于计数下标i和j的范围不同，上述双重求和表达式中的两个求和符号的顺序可以互换，即可以写成下面这种形式： $\sum_{i=1}^3{\sum_{j=1}^4{f\left( i,j \right) =\sum_{j=1}^4{\sum_{i=1}^3{f\left( i,j \right)}}}}$
　　既然存在可以直接互换的情况，那么也必然存在求和符号顺序不可直接互换的情况，比如下面这个例子，如果强行直接互换两者，那么其表达式的意义也就发生了变化。
　　
$原式：\sum_{i=1}^4{\sum_{j=1}^i{f\left( i,j \right)}}$ 　　(2-1)

$错误的表达式：\sum_{j=1}^i{\sum_{i=1}^4{f\left( i,j \right)}}$ 　(2-2)

$意义已变：\sum_{j=1}^4{\sum_{i=1}^j{f\left( i,j \right)}}$ 　(2-3)
　　首先分析下式（2-1），由于j的范围取决于i，因此我们不能直接互换两个求和符号的顺序。如果强行互换得到式(2-2)，将得到一个错误的表达式，其错误之处在于 $\sum_{j=1}^i{}$ 已经使用了计数下标i，所以内层求和符号不能再使用i作为计数下标。
　　那么，如（2-3）这样机械式的互换是否又是可行的呢？答案是否定的，虽然如此互换后得到的式子是正确的，但含义却已改变（与原式对比很容易观察到）。
　　
　　正确的替换方式如下所示，到此的读者可以用心感悟下它与前面几种做法的区别： $\sum_{i=1}^4{\sum_{j=1}^i{f\left( i,j \right) =\sum_{j=1}^4{\sum_{i=j}^4{f\left( i,j \right)}}}}$
　　等式两边可以按照穷举法的思路来进行理解，为便于说明笔者将给出一份表格来辅助解释。（等式左右两边都表示表格中所有项相加之和）
　　在这里插入图片描述
　　左边：穷举i的取值，内层元素求和，在表格中体现为依次横排相加。
　　右边：穷举j的取值，内层元素求和，在表格中体现为竖排相加。
　　
　　最后，谈一个小技巧（也是容易出错的地方）。比如下面这个式子，简单理解来看，似乎可以直接将平方展开。但正如前面所说，由于外层求和使用了计数下标i，故内层必须使用其他字母来作为计数下标。
$\left( \sum_{i=1}^5{f\left( i \right)} \right) ^2=\left( \sum_{i=1}^5{f\left( i \right)} \right) *\left( \sum_{i=1}^5{f\left( i \right)} \right) \ne \sum_{i=1}^5{\sum_{i=1}^5{f\left( i \right) f\left( i \right)}}$

故正确的表达形式应该改为如下所示（内层计数下标为j）
$\left( \sum_{i=1}^5{f\left( i \right)} \right) ^2=\left( \sum_{i=1}^5{f\left( i \right)} \right) *\left( \sum_{i=1}^5{f\left( i \right)} \right) =\sum_{i=1}^5{\sum_{j=1}^5{f\left( i \right) f\left( j \right)}}$
三、求和的实际应用（等比级数）
　　等比数列{
$a_i$ }其求和公式可以描述为如下的形式（设 $m\leqslant n$ ，其中r为公比，通项公式为 $a_i=r^i$ ）：
$\sum_{i=m}^n{r^i=\frac{r^m-r^{n+1}}{1-r}}=\frac{a_1-a_n\bullet r}{1-r}\,\,\left( r\ne 1 \right)$
　　当 $n\rightarrow \infty$ 时，上述就成为了等比级数，此时等式转换为：
$\sum_{i=1}^{\infty}{r^i=\frac{r}{1-r}\,\,\,\,\left( |r|<1 \right)} （3-1）$
　　当 $|r|\geqslant 1$ 时，上述的求和表达式不收敛。
　　借助式（3-1）与微分的特性，我们还能导出另一条有用的结论。先对（3-1）式关于r进行微分，然后两边乘以r可得到如下等式：
$\sum_{i=1}^{\infty}i{r^{i-1}=\frac{1}{\left( 1-r \right) ^2}}$
$（两边同乘以r）\sum_{i=1}^{\infty}{ir^i=\frac{r}{\left( 1-r \right) ^2}}\,\,\left( |r|<1 \right) （3-2）$
　　最后得到的（3-2）式也是经常会用到的结论，希望读者能掌握这种推导演算思路。