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希尔伯特黄变换(Hilbert-Huang)包括两部分工作,分别是经验模态分解(EMD)和希尔伯特变换(HT)。
1. 经验模态分解:
- 找到信号x(t)的极大值和极小值,通过三次样条拟合得到上、下包络线,计算其均值得m1(t).
- 得到第一个分量 , 检擦其是否满足模态分量的条件: ① 得极大值点与过0点数量相差不超过1个;② 的上、下包络线均值恒为0。如不满足,重复操作1、2直至得到满足模态函数(IMF)条件的模态分量 .
- 原始信号减去第一个模态分量,得到信号 , 将 当成新的“原始信号”,重复以上操作,直至筛选条件 小于预设值时,经验模态分解结束。这样原始信号便分成若干经验模态分量和一个残余信号:
2. 希尔伯特变换:
对每个IMF ci(t)求其Hilbert变换: ; 根据和
可以求得相应IMF的瞬时频率和瞬时幅值,可将原始信号表示成 ,在经过n次EMD分解后,残余信号为常熟或单调函数,对信号提取没有实质影响,故舍去。
3. 方法缺陷:
信号的端点不可能同时处于极大值或极小值,因此,上、下包络在数据序列两端会发散,且这种发散会随着运算的进行而逐渐向内,从而使得整个数据序列受到影响。EMD分解存在的端点效应,目前有端点镜像方法、多项式拟合法、极值延拓法、平行延拓法等进行改善。
4. MATLAB(2018rb版本)实现和探讨
#代码详见下面网址
使用两个信号叠加作为分析对象
经验模态分解后得到的imf分量分布:
这是希尔伯特黄变换后得到的频谱图:
##其实对比时频谱图和imf分量图就可以发现,时频谱图是imf图加上能量分布而已,如下:
##边际谱
时频谱图已经出来,下面可根据边际谱求解公式求解边际谱。如下:
这个公式是固定ω不变,对t积分。定积分在离散中可以近似分解为多个长方形的面积和。在离散信号中,H(ω,t)是时频谱矩阵H(ω,k),长方形的长为第k个数据对应的H(ω,k),宽为时间间隔,即(采样频率的倒数),因此积分公式可改为如下公式:
因此,边际谱本来可以用一行代码搞定:
bjp = sum(hs,2)*1/fs
但问题来了,由自带函数HHT得到hs的数据顺序是错的。时频谱矩阵相当于把时频谱行方向用频率切割,列方向用时刻切割,得出多个小方块,每一个方块对应的频率用中心频率表示,对应的时刻则记录数据的时刻,小方块里的数据则表示该时刻,该频率的能量值(振幅的平方)。
hs是个稀疏矩阵,只记录非零的位置,和该位置对应的能量。但在这里,两者的顺序不同,hs记录的位置按以下方向记录:
然而对应的能量数据,是按得到的imfinse矩阵的顺序排列,两者不相匹配。因此,得到的hs矩阵是一个错误的时频谱矩阵,不能直接用来计算边际谱。
那么,接下来的工作只能根据得到的imf分量每一时刻的瞬时频率和瞬时能量来获得时频谱矩阵。
其实关键步骤是把每一个瞬时频率对应的小方格确定就可以了,然后把每一个小方格内的所有分量的能量累加即可:
时频矩阵大小和hs一样,最大频率为采样频率的一半。
确定中心频率向量
每一个瞬时频率所在的小方格
然后把k<=0的剔除,再累加,就可以得到时频谱矩阵,然后计算得到边际谱,如下图所示:
以下是最新代码且包含相关报告,点此链接下载:
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