希尔伯特黄变换信号处理_希尔伯特变换后频谱图

希尔伯特黄变换信号处理_希尔伯特变换后频谱图希尔伯特黄变换(Hilbert-Huang)包括两部分工作,分别是经验模态分解(EMD)和希尔伯特变换(HT)。经验模态分解:找到信号x(t)的极大值和极小值,通过三次样条拟合得到上、下包络线,计算其均值得m1(t). 得到第一个分量,检擦其是否满足模态分量的条件:①得极大值点与过0点数量相差不超过1个;②的上、下包络线均值恒为0。如不满足,重复操作1、2直至得到满足模态函数…

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希尔伯特黄变换(Hilbert-Huang)包括两部分工作,分别是经验模态分解(EMD)和希尔伯特变换(HT)。

 

1. 经验模态分解:

  1. 找到信号x(t)的极大值和极小值,通过三次样条拟合得到上、下包络线,计算其均值得m1(t).
  2. 得到第一个分量  h_1{}(t)=x(t)-m_1{}(t) , 检擦其是否满足模态分量的条件: ①  h_1{}(t) 得极大值点与过0点数量相差不超过1个;② h_1{}(t) 的上、下包络线均值恒为0。如不满足,重复操作1、2直至得到满足模态函数(IMF)条件的模态分量 c_1{}(t).
  3. 原始信号减去第一个模态分量,得到信号 r_{1}(t)=x(t)-c_{1}(t) , 将 r_{1}(t) 当成新的“原始信号”,重复以上操作,直至筛选条件      SD=\frac{\sum_{t=0}^{T}|h_{k-1}(t)-h_{k}(t)|^{2}}{\sum_{t=0}^{T}h_{k-1}^{2}}        小于预设值时,经验模态分解结束。这样原始信号便分成若干经验模态分量和一个残余信号:    x(t)=\sum_{i=0}^{n}c_{i}+r_{n}(t)

2. 希尔伯特变换:

对每个IMF ci(t)求其Hilbert变换:d_{i}(t)=\frac{1}{\pi }\int_{-\infty }^{+\infty}\frac{c_{1}(\tau)}{t-\tau}d\tau ; 根据\omega _{i}(t)=\frac{d\theta _{i}(t)}{dt}a_{i}(t) = \sqrt{c_{i}^{2}(t)+d_{i}^{2}(t))}

可以求得相应IMF的瞬时频率和瞬时幅值,可将原始信号表示成    x(t)=\sum_{i=1}^{n}a_{i}(t)e^{j\int \omega _{i}(t)dt}  ,在经过nEMD分解后,残余信号r_{n}(t)常熟或单调函数,对信号提取没有实质影响,故舍去。

3. 方法缺陷:

信号的端点不可能同时处于极大值或极小值,因此,上、下包络在数据序列两端会发散,且这种发散会随着运算的进行而逐渐向内,从而使得整个数据序列受到影响。EMD分解存在的端点效应,目前有端点镜像方法、多项式拟合法、极值延拓法、平行延拓法等进行改善。

4. MATLAB(2018rb版本)实现和探讨

#代码详见下面网址

使用两个信号叠加作为分析对象

经验模态分解后得到的imf分量分布:

希尔伯特黄变换信号处理_希尔伯特变换后频谱图

这是希尔伯特黄变换后得到的频谱图:

希尔伯特黄变换信号处理_希尔伯特变换后频谱图

##其实对比时频谱图和imf分量图就可以发现,时频谱图是imf图加上能量分布而已,如下:

希尔伯特黄变换信号处理_希尔伯特变换后频谱图

希尔伯特黄变换信号处理_希尔伯特变换后频谱图

##边际谱

时频谱图已经出来,下面可根据边际谱求解公式求解边际谱。如下:

h(\omega)=\int_{0}^{T}H(\omega,t)dt

       这个公式是固定ω不变,对t积分。定积分在离散中可以近似分解为多个长方形的面积和。在离散信号中,H(ω,t)是时频谱矩阵H(ω,k),长方形的长为第k个数据对应的H(ω,k),宽为时间间隔,即\Delta t=1/f_{s}(采样频率的倒数),因此积分公式可改为如下公式:

h(\omega)=\sum_{k=1}^{N}H(\omega,k)* 1/f_{s}

因此,边际谱本来可以用一行代码搞定:

bjp = sum(hs,2)*1/fs

但问题来了,由自带函数HHT得到hs的数据顺序是错的。时频谱矩阵相当于把时频谱行方向用频率切割,列方向用时刻切割,得出多个小方块,每一个方块对应的频率用中心频率表示,对应的时刻则记录数据的时刻,小方块里的数据则表示该时刻,该频率的能量值(振幅的平方)。

希尔伯特黄变换信号处理_希尔伯特变换后频谱图

hs是个稀疏矩阵,只记录非零的位置,和该位置对应的能量。但在这里,两者的顺序不同,hs记录的位置按以下方向记录:

希尔伯特黄变换信号处理_希尔伯特变换后频谱图

然而对应的能量数据,是按得到的imfinse矩阵的顺序排列,两者不相匹配。因此,得到的hs矩阵是一个错误的时频谱矩阵,不能直接用来计算边际谱。

那么,接下来的工作只能根据得到的imf分量每一时刻的瞬时频率和瞬时能量来获得时频谱矩阵。

其实关键步骤是把每一个瞬时频率对应的小方格确定就可以了,然后把每一个小方格内的所有分量的能量累加即可:

时频矩阵大小和hs一样,最大频率为采样频率的一半。

确定中心频率向量

每一个瞬时频率所在的小方格

然后把k<=0的剔除,再累加,就可以得到时频谱矩阵,然后计算得到边际谱,如下图所示:

希尔伯特黄变换信号处理_希尔伯特变换后频谱图

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