博弈论分析题_博弈论

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1.巴什博奕(Bash Game)
首先我们来玩一个比较古老的报数游戏。A和B一起报数，每个人每次最少报一个,最多报4个。轮流报数,看谁先报到30.
如果不知道巴什博弈的可能会觉得这个是个有运气成分的问题，但是如果知道的人一定知道怎样一定可以赢。

我们先看下一个一眼就能看出答案的例子 比如说我们报到5(4+1),每次报最多报4个,最少报1个.那么是不是后者一定可以赢呢？答案是肯定的。好了到这巴什博弈的精髓基本就OK了。
那么如果我们要报到n+1,每次最多报n个,最少报1个的话,后者一定能够赢。

现在我们需要报数到n,而每次最多报数m个,最少报数1个.我们可以化成这样
n = k*(1+m)+r(0 <= r <= m）这样的话如果r不等于0那么先手一定会赢，为什么呢？首先先手报r个,那么剩下k倍(1+m)个数,那么我们每次报数1+m-k(B)个数就一定能保证最后剩下1+m个,那么就到了上面我们说的那个了,先手就一定会赢,如果r=0那么后手一定会赢,道理一样的。
(r为任意自然数,s≤m), 即n%(m+1) != 0, 则先取者肯定获胜

代码：

import java.util.Scanner;

/** * Created by YYL on 2017/2/24. */
//先报数到n者胜，每次最少报m1,最大报m2，且1<=m1<m2<n;
public class BashGame { 
   
    public static void main(String[] args) {
        Scanner scanner=new Scanner(System.in);
        int n=scanner.nextInt();
        int m1=scanner.nextInt();
        int m2=scanner.nextInt();
        if(m1<1||m2>=n);
        else {
            if(n%(m1+m2)!=0)
                System.out.println("第一个人获胜");
            else
                System.out.println("第二个人获胜");
        }

    }

}

运行结果：

30 2 6
第一个人获胜

其他实例：
1.大学英语四级考试就要来临了， Kiki和Cici 在紧张的复习之余喜欢打牌放松。“升级”？“斗地主”？那多俗啊！作为计算机学院的学生，Kiki和Cici打牌的时候可没忘记专业，她们打牌的规则是这样的：
1、 总共n张牌；
2、 双方轮流抓牌；
3、 每人每次抓牌的个数只能是2的幂次（即：1，2，4，8，16…）
4、 抓完牌，胜负结果也出来了：最后抓完牌的人为胜者；
假设Kiki和Cici都是足够聪明并且每次都是Kiki先抓牌，请问谁能赢呢？

Input
输入数据包含多个测试用例，每个测试用例占一行，包含一个整数n（1<=n<=1000）。

Output
若Kiki能赢的话输出“Kiki”，否则输出“Cici”，每个实例的输出占一行。

Sample Input
1
3

Sample Output
Kiki
Cici
分析：

如果你是先手，考虑你的必胜态。注意，因为任何正整数都能写成若干个2的整数次方幂之和(相当于十进制转二进制)。由于规定只能取2的某个整数次方幂，只要你留给对手的牌数为3的倍数时，那么你就必赢，因为留下3的倍数时，对手有两种情况：
1：如果轮到对方抓牌时只剩3张牌，对方要么取1张，要么取2张，剩下的你全取走，必赢！
2：如果轮到对方抓牌时还剩3*k张牌，对手不管取多少，剩下的牌数是3*x+1或者3*x+2。轮到你时，你又可以构造一个3的倍数。 所以无论哪种情况，当你留给对手为3*k的时候，你是必胜的。
题目说Kiki先抓牌，那么当牌数为3的倍数时，Kiki就输了。否则Kiki就能利用先手优势将留给对方的牌数变成3的倍数，就必胜。

代码如下：

#include <iostream>
using namespace std;
int main ()
{
    int num;
    while (cin>>num )
    {  
        if(num%3!=0)
            cout<<"Kiki"<<endl;
        else cout<<"Cici"<<endl; 
    }
    return 0; 
}

2.土地拍卖
Problem Description
小鸡同学和鹏程同学始终没有逃过退学的命运，因为他们没有在程序设计竞赛中获奖，还为了争抢莎莎大打出手。现在等待他们的只能回家种田。要种田得有田才行，小鸡听说街上正在举行一场拍卖会，拍卖的物品正好就是一块田地。于是，小鸡带上他的全部积蓄，冲往拍卖会。后来发现，整个拍卖会只有小鸡和他的死对头鹏程。通过打听，小鸡知道这场拍卖的规则是这样的：刚开始底价为0，两个人轮流开始加价，不过每次加价的幅度要在1～N之间，当价格大于或等于田地的成本价M时，就把这块田地卖给这次叫价的人。小鸡和鹏程虽然比赛不行，但是对拍卖却十分精通，而且他们两个人都十分想得到这块田地。所以他们每次都是选对自己最有利的方式进行加价。由于抽签决定，所以每次都是由小鸡先开始加价，请问，第一次加价的时候，小鸡要出多少才能保证自己买得到这块地呢？

Input
本题目包含多组测试，请处理到文件结束(EOF)。每组测试占一行。每组测试包含两个整数M和N(含义见题目描述，0

# include<stdio.h>
int main()
{
    int n,m;
    while(scanf("%d %d",&m,&n)!=EOF)
    {
        if(m%(n+1)==0)
        {
            printf("none\n");
            continue;
        } 
        if(m<=n)
        {
            printf("%d",m);
            for(int i=m+1; i<=n; i++) 
                printf(" %d",i);
            printf("\n");
            continue;
        } 
        printf("%d\n",m%(n+1));
    } 
    return 0;
}

2.威佐夫博奕（Wythoff Game）

这种博弈比前面一种要稍微复杂一点。我们来看下下面这个游戏。
有两堆火柴棍,每次可以从某一堆取至少1根火柴棍(无上限)，或者从两堆取相同的火柴棍数。最后取完的是胜利者。好了,如果你不知道这个博弈定理,对于小数目的火柴棍数,可能还能推出来,但是如果火柴棍数一多,就不行了。看了下面的这个介绍,你也会有一种被骗的感觉。
首先我们知道两堆火柴是没有差别的,也就是说第一堆有a根,第二堆有b根和第一堆有b根,第二堆有a根是一样的结果。
我们用一个二维的状态（a,b)来记录当前剩下的火柴数，表示第一堆剩下a根火柴,第二堆剩下b根火柴。同样我们假设两个人的编号是A和B，且A先取。
那么如果某个人遇到了这样的状态(0,0)那么也就是说这个人输了。这样的状态我们叫做奇异状态,也可以叫做失败态。
那么接下来的几个失败态为(1,2),(3,5),(4,7),(6,10),(8,13)……
我们用a[i]表示失败态中的第一个,b[i]表示失败态中的第二个.(i从0开始).
那么我们可以看到b[i] = a[i]+i;（i >= 0）,a[i]是前面的失败态中没有出现过的最小的整数
下面我们可以得到三个基本的结论。
1.每个数仅包含在一个失败态中
首先我们知道a[k]是不可能和前面的失败态中的a[i],b[i]重复的(这点由a[i]的得到可以知道)
b[k] = a[k]+k > a[k-1]+k>a[k-1]+k-1+1>a[k-1]+(k-1) = b[k-1]>a[k-1]这样我们知道每个数仅在一个失败态中。
2.每个失败态可以转到非失败态。
加入当前的失败态为(a,b)，那么如果我们只在一堆中取的话,肯定会变成非失败态(这点由第一点可以保证),如果从两堆同时取的话,由于每个失败态的差是不一样的,所以也不可能得到一个失败态。也就是说一个失败态不管你怎么取,都会得到一个非失败态。
3.每个非失败态都可以转到一个失败态
对于这个结论,首先我们要知到每个状态(a,b)要么a = a[i],要么b = b[i].(每个数都出现在一个失败态中),下面我们分两种情况来讨论
I.a = a[i].如果b = a的话那么一次取完就变成了(0,0).如果b > b[i]的话,那么我们从第二堆中取走b-b[i]就变成了一个失败态。如果b < b[i].那么我们从两堆中同时取走a-a[b-a[i]]这样得到失败态(a[b-a[i]],a[b-a[i]]+b-a[i])(a[i] = a)
II.b = b[i].如果a > a[i]那么我们从第一堆中取走a-a[i]根火柴.
如果a < a[i].这里又分两种情况。第一是a = a[k](k < i)
那么我们从第二堆取走b – b[k]就行了。
第二是a = b[k]这样的话由于两堆火柴是没有区别的,所以我们把b变成a[k]就行了,也即是从第二堆火柴中取走b – a[k]就变成了失败态
至于怎么判断一个状态是否是失败态.我们可以用下面的方法来判断(本人暂时还不会证明)
a[i] = i*(1+√5)/2 b[i] = a[i]+i;
那么这就是一个失败态

找规律分析
第一个（0 ， 0），先手输，当游戏某一方面对（ 0 ， 0）时，他没有办法取了，那么肯定是先手在上一局取完了，那么输。
第二个 （ 1 ， 2 ），先手输，先手只有四种取法，
1）取 1 中的一个，那么后手取第二堆中两个。
2）取 2 中一个，那么后手在两堆中各取一个。
3）在 2 中取两个，那么后手在第一堆中取一个。
4）两堆中各取一个，那么后手在第二堆中取一个。
可以看出，不论先手怎么取，后说总是能赢。所以先手必输！
第三个 （ 3 ， 5 ），先手必输。首先先手必定不能把任意一堆取完，如果取完了很明显后手取完另一堆先手必输，那么
假如看取一堆的情况，假设先手先在第一堆中取。 取 1 个，后手第二堆中取4个，变成（1 ，2）了，上面分析了是先手的必输局。
取 2 个，后手第二堆中取3个，也变成（ 1 ， 2）局面了。
假设先手在第二堆中取，取 1 个，那么后手在两堆中各取 2 个，也变成 ( 1 , 2 )局面了。
取 2 个 ，那么后手可以两堆中都去三个， 变成 （ 0 ， 0）局面，上面分析其必输。
取 3 个，后手两堆各取 1 个 ，变成（ 1 ， 2）局面了。
取 4 个，后手在第一堆中取一个，变成（ 1 ， 2）局面了。
可见不论先手怎么取，其必输！
第四个（4 ， 7），先手必输。
自己推理可以发现不论第一次先手如何取，那么后手总是会变成前面分析过的先手的必输局面。
那么到底有什么规律没有呢，我们继续往下写。
第四个 （ 6 ，10 ）
第五个 （ 8 ，13）
第六个 （ 9 ， 15）
第七个 （ 11 ，18）
会发现他们的差值是递增的，为 0 ， 1 ， 2， 3， 4 ， 5 ， 6， 7…..n
而用数学方法分析发现局面中第一个值为前面局面中没有出现过的第一个值，比如第三个局面，前面出现了 0 1 2，那么第三个局面的第一个值为 3 ，比如第五个局面，前
面出现了 0 1 2 3 4 5 ,那么第五个局面第一个值为6。
再找规律的话我们会发现，第一个值 = 差值 * 1.618
而1.618 = （sqrt（5）+ 1） / 2 。
大家都知道0.618是黄金分割率。而威佐夫博弈正好是1.618，这就是博弈的奇妙之处！

下面来看看威佐夫博弈常见的三类问题：

1）给你一个局面，让你求是先手输赢。
有了上面的分析，那么这个问题应该不难解决。首先求出差值，差值 * 1.618 == 最小值 的话后手赢，否则先手赢。（注意这里的1.618最好是用上面式子计算出来的，否则精
度要求高的题目会错）

2）给你一个局面，让你求先手输赢，假设先手赢的话输出他第一次的取法。
首先讨论在两边同时取的情况，很明显两边同时取的话，不论怎样取他的差值是不会变的，那么我们可以根据差值计算出其中的小的值，然后加上差值就是大的一个值，当
然能取的条件是求出的最小的值不能大于其中小的一堆的石子数目。
加入在一堆中取的话，可以取任意一堆，那么其差值也是不定的，但是我们可以枚举差值，差值范围是0 — 大的石子数目，然后根据上面的理论判断满足条件的话就是一种合理的取法。

3.尼姆博奕（Nimm Game）
指的是这样的一个博弈游戏，目前有任意堆石子，每堆石子个数也是任意的，双方轮流从中取出石子，规则如下：
1)每一步应取走至少一枚石子；每一步只能从某一堆中取走部分或全部石子；
2)如果谁取到最后一枚石子就胜。
也就是尼姆博弈（Nimm Game）。
必败局面：也叫奇异局势。无论做出何出操作，最终结果都是输的局面。必败局面经过2次操作后，可以达到另一个必败局面。
必胜局面：经过1次操作后可以达到必败局面。
即当前局面不是必败局面就是必胜局面，而必胜局面可以一步转变成必败局面。
最终状态：
（1）最后剩下一堆石子；（必胜局面）
（2）剩下两堆，每堆一个；（必败局面）
（3）当石子剩下两堆，其中一堆只剩下1颗，另一堆剩下多于n颗石子时，当前取的人只需将多于1颗的那一堆取出n-1颗，则局面变为刚才提到的必败局面。（必胜局面）
判断当前局势是否为必胜（必败）局势：
1）把所有堆的石子数目用二进制数表示出来，当全部这些数按位异或结果为0时当前局面为必败局面，否则为必胜局面；
2）在必胜局面下，因为所有数按位异或的结果是大于零的，那么通过一次取，将这个（大于其它所有数按位异或的结果的）数下降到其它所有数按位异或的结果，这时局面就变为必败局面了。

我们用(a，b，c)表示某种局势
1.首先(0，0，0)显然是奇异局势，无论谁面对奇异局势，都必然失败。
2.第二种奇异局势是(0，n，n)，只要与对手拿走一样多的物品，最后都将导致(0，0，0)。仔细分析一下，(1，2，3)也是奇异局势，无论对手如何拿，接下来都可以变为(0，n，n)的情形。
对于以上两种情况，均有三个数疑惑后为零。其实，只要取完数后使得剩下局面为三数异或结果为零，则胜。

例如(14，21，39)，14(+)21=27，39-27=12，所以从39中拿走12个物体即可达到奇异局势(14，21，27)。
我们来实际进行一盘比赛看看:

甲:(7,8,9)->(1,8,9)奇异局势

乙:(1,8,9)->(1,8,4)

甲:(1,8,4)->(1,5,4)奇异局势

乙:(1,5,4)->(1,4,4)

甲:(1,4,4)->(0,4,4)奇异局势

乙:(0,4,4)->(0,4,2)

甲:(0.4,2)->(0,2,2)奇异局势

乙:(0,2,2)->(0,2,1)

甲:(0,2,1)->(0,1,1)奇异局势

乙:(0,1,1)->(0,1,0)

甲:(0,1,0)->(0,0,0)奇异局势

甲胜。

代码：

import java.util.Scanner;

/** * Created by YYL on 2017/2/24. */
//A先取，若A面对奇艺局面，则失败
public class NimmGame { 
   
    public static void main(String[] args) {
    Scanner scanner=new Scanner(System.in);
        int n=scanner.nextInt();//堆数
        int [] temp=new int[n];
        for (int i = 0; i <n ; i++) {
            temp[i]=scanner.nextInt();//初始化每堆的个数
        }
        int result=temp[0];
        for (int i = 1; i <n ; i++) {
            result^=temp[i];
        }
        if(result==0)
            System.out.println("B胜");
        else
            System.out.println("A胜");
    }
}

运行结果

3
7 8 9
A胜