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概念
方差分析:又称变异分析,是英国统计学家R.A.Fisher于1923年提出的一种统计方法,故有时也称为F检验。
可简写为ANOVA。用于多组均数 之间的显著性检验。
要求:各组观察值服从正态分布或近似正态分布,并且各组之间的方差具有齐性。
基本思想:将所有测量值间的总变异按照其变异的来源分解为多个部份,然后进行比较,评价由某种因素所引起的变异是否具有统计学意义。
计算方法
总变异(Total variation):全部测量值xij与总均数间μ的差异
组间变异( between group variation ):各组的均数μi与总均数μ间的差异
组内变异(within groupvariation ):每组的每个测量值xij与该组均数μi的差异
其中,三种变异的关系为:SST = SSB + SSW,DT = DB+ DW
例题
有三组人,分别服用了不同的高血压药A,B,C一个月以后,观察每一个人血压下降数:
A组 4 5 7 3 8 5 3 μA= 5.00
B组 1 5 3 7 4 2 7 4 1 μB= 3.78
C组 7 8 10 6 9 8 μC= 8.00
我们想要知道A,B,C三个药对于下降血压的效果是否有明显的区别。
解题
假设:
H0:A,B,C三个药下降血压效果没有区别,即μA= μB= μC
H1:A,B,C三个药下降血压有区别
1. 首先我们需要求SST,SSB,SSW
求SST之前我们先需要求出A,B,C三组人的平均值:
μ = (xA1+xA2+…+xAn+xB1+xB2+…+xBn+xC1+xC2+…+xCn)
= (4+5+7+3+8+5+3+1+5+3+7+4+2+7+4+1+7+8+10+6+9+8)/22
= 5.32
所以SST = (xA1-μ)2+…+(xAn-μ)2+(xB1-μ)2…+(xBn-μ)2+(xC1-μ)2…+(xCn-μ)2
= (4-μ)2+…+(3 -μ)2+(1-μ)2…+(1-μ)2+(7-μ)2…+(8-μ)2
= 139
再求SSB = (μA -μ) 2+(μA-μ)2+( μA-μ)2+( μB-μ)2+( μB-μ)2+( μB-μ)2+( μC-μ)2+( μC-μ)2+( μC-μ)2=65.2
最后求
SSW = (xA1- μA)2+…+(xAn- μA)2+(xB1-μB)2…+(xBn- μB)2+(xC1-μC)2…+(xCn- μC)2
= (4-5.00)2+…+(3 -5.00)2+(1-3.78)2…+(1-3.78)2+(7-8.00)2…+(8 -8.00)2
= 73.6
根据性质SST = SSW + SSB,所以这三个只要求出其它两个,另外一个用等式SST= SSW + SSB即可求出。
2. 我们求自由度:DT,DB,DW。
我们知道样本总共有22个,而且我们知道样本总体的值,所以我们只需要知道其中21个样本,剩下的1个就可以的出来,所以总体自由度DT= 22-1 = 21
因为我们有3组,我们只需要知道其中的两组,另外一组也可以的出来,所以组间自由度DB= 3-2 = 2
第一组有7个样本,我们只需要知道其中的6个,剩下的一个可以的出来,所以第一组的自由度DW1= (7-1) = 6,同理,第二三组的也可以的出来,所以总的组内自由度DW= (7-1) + (9-1) +(6-1) = 19
同理,我们有性质DT = DB + DW,所以我们只要知道其中两个自由度,剩下的一个可以由公式得出。
3. 最后我们求F,F的公式为F = (SSB/DB) / (SSW/DW) =(65.2/2) / (73.6/19) = 8.42,且自由度为F(2,19)
此时我们α=0.05的F分布表如下图,我们看到自由度为2和19时,置信度为95%的值为3.52,而此时我们的值为8.42,远超过3.52,所以我们接受H0的概率小于0.05,所以拒绝H0假设,接受H1,即A,B,C三个药的效果有明显的不同
R语言实现
anova = function(x){
x_mean = sapply(x,mean)
total_mean = mean(unlist(x))
sst = sum((unlist(x)-total_mean)^2)
ssw = 0
for(i in 1:length(x)){
w = sum((x[[i]]-x_mean[i])^2)
ssw = ssw + w
}
ssb = 0
for(i in 1:length(x)){
b = length(x[[i]])*((x_mean[i]-total_mean)^2)
ssb = ssb + b
}
Nt = length(unlist(x))-1 # 总自由度
Nb = length(x)-1 # 组间自由度
Nw = Nt - Nb
f = (ssb/Nb)/(ssw/Nw)
result = c(sst,ssb,ssw,Nt,Nb,Nw,f)
names(result)= c('sst','ssb','ssw','Nt','Nb','Nw','f')
return(result)
}
x1 = c(4,5,7,3,8,5,3)
x2 = c(1,5,3,7,4,2,7,4,1)
x3 = c(7,8,10,6,9,8)
x = list(x1,x2,x3)
f = anova(x)
最后得出f为:
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