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数学建模：方差分析模型
1.方差分析模型引入
考虑的模型，它的自变量是只能取0,1两个值的示例变量。这种变量往往比较两个多个因素的某种效益存在与否。比如考试及格为0，不及格为1.
方差分析的实质：假设检验问题
一个复杂的事物，其中往往有许多因素互相制约又互相依存。
方差分析的目的是通过数据分析找出对该事物有显著影响的因素， 各因素之间的交互作用，以及显著影响因素的最佳水平等。
方差分析是在可比较的数组中，把数据间的总的“变差”按各指定的变差来源进行分解的一种技术。对变差的度量，采用离差平方和。方差分析方法就是从总离差平方和分解出可追溯到指定来 源的部分离差平方和，这是一个很重要的思想。
1.2 方差分析模型需要满足的条件
要求所考虑样本满足的条件
① 独立性：各组数据相互独立、互不相关
② 正态性：对于偏态分布的变量通过对数、倒数、平方根变化等方法，变为正态分布或者近似正态分布再来进行方差分析
③ 方差齐性
1.3 方差分析的主要用途
使用场景：
-
制造商有两种不同的方法来制造灯泡。 他们想知道一个过程是否比另一个好。
-
一组患者正在尝试三种不同的疗法:咨询、药物治疗和生物反馈。你想知道哪一种疗法是否比其他的更好。
方差分析主要用途：
①均值差别的显著性检验
②分离各有关因素并估计其对总变异的作用
③分析因素间的交互作用
④方差齐性检验
1.4 例子
例1：比较三种小麦品种的优劣，选六块面积相等，土质肥沃程度一样的田地，每种小麦播种在 其中的两块田内，给予完全相同的田间管理。问 每块田小麦的产量？
用 y i j y_{ij} yij表示第 i i i种小麦的第 j j j块田的产量。对 y i j y_{ij} yij作如下分析：
y i j = μ + α i + e i j y_{ij} = \mu+\alpha_i+e_{ij}\\ yij=μ+αi+eij
μ \mu μ：总均值
α i \alpha_i αi：第i种小麦品种的效益
e i j e_{ij} eij：是随机误差，表示所有其他未知控制因素 以及各种误差的总效应。
1 号 小 麦 2 块 田 地 产 量 ： { y 11 = μ + α 1 + e 11 y 12 = μ + α 1 + e 12 2 号 小 麦 2 块 田 地 产 量 ： { y 21 = μ + α 2 + e 21 y 22 = μ + α 2 + e 22 1 号 小 麦 2 块 田 地 产 量 ： { y 31 = μ + α 3 + e 31 y 22 = μ + α 3 + e 32 1号小麦2块田地产量：\begin{cases} y_{11} = \mu+\alpha_1+e_{11}\\ y_{12} = \mu+\alpha_1+e_{12}\\ \end{cases}\\ 2号小麦2块田地产量：\begin{cases} y_{21} = \mu+\alpha_2+e_{21}\\ y_{22} = \mu+\alpha_2+e_{22}\\ \end{cases}\\ 1号小麦2块田地产量：\begin{cases} y_{31} = \mu+\alpha_3+e_{31}\\ y_{22} = \mu+\alpha_3+e_{32}\\ \end{cases} 1号小麦2块田地产量：{
y11=μ+α1+e11y12=μ+α1+e122号小麦2块田地产量：{
y21=μ+α2+e21y22=μ+α2+e221号小麦2块田地产量：{
y31=μ+α3+e31y22=μ+α3+e32
例2：Y:药效度量指标比较三种药治疗某种疾病的效果。
假设每种药各有n个人服用， 采用双盲方法：病人不知道自己服用哪种药；医生也不知道哪个病人服用哪种药 y i j y_{ij} yij为服用第i种药的 第j个病人的药效测量值
y i j = μ + α i + e i j i = 1 , 2 , 3 , j = 1 , . . . , n y_{ij} = \mu+\alpha_i+e_{ij}\qquad i = 1,2,3,j=1,…,n\\ yij=μ+αi+eiji=1,2,3,j=1,...,n
μ \mu μ：总平均
α i \alpha_i αi：表示第 i i i种药的效应
e i j e_{ij} eij：表示随机误差
模型：
[ y 11 ⋮ y 1 n y 21 ⋮ y 2 n y 31 ⋮ y 3 n ] = [ 1 1 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 1 1 0 0 1 0 1 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 1 0 1 0 1 0 0 1 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 1 0 0 1 ] [ μ α 1 α 2 α 2 ] + [ e 11 ⋮ e 1 n e 21 ⋮ e 2 n e 31 ⋮ e 3 n ] \begin{bmatrix} y_{11}\\ \vdots\\ y_{1n}\\ y_{21}\\ \vdots\\ y_{2n}\\ y_{31}\\ \vdots\\ y_{3n} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1&1&0&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ 1&1&0&0\\ 1&0&1&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ 1&0&1&0\\ 1&0&0&1\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ 1&0&0&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\mu\\\alpha_1\\\alpha_2\\\alpha_2\end{bmatrix}+\begin{bmatrix} e_{11}\\ \vdots\\ e_{1n}\\ e_{21}\\ \vdots\\ e_{2n}\\ e_{31}\\ \vdots\\ e_{3n} \end{bmatrix} ⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡y11⋮y1ny21⋮y2ny31⋮y3n⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡1⋮11⋮11⋮11⋮10⋮00⋮00⋮01⋮10⋮00⋮00⋮01⋮1⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤⎣⎢⎢⎡μα1α2α2⎦⎥⎥⎤+⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡e11⋮e1ne21⋮e2ne31⋮e3n⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤
y = X β + e y\qquad =\quad\qquad X\qquad\beta\quad\qquad+\qquad e y=Xβ+e
1.5方差分析模型
方差分析：源于农业田间试验。
某个农业试验基地引进a种小麦品种 将一块田划分为面积相等的n个小块 n1块种第一种小麦，n2块种第二种小麦，等(n1+n2 +…+na…=n) 只考虑小麦品种，忽略其他因素（施肥量、浇水等对这n块田都控 制在相同状态下）
2.单因素方差分析模型
2.1 单因素概念
① 考虑的因素：小麦品种
② 每种具体的品种 : 称为小麦品种这个因素的一个“水平”
所考虑问题为 “单因素a个水平的问题”
用 y i j y_{ij} yij表示第 i i i种小麦的第 j j j块田的产量, i = 1 , . . . , a ; j = 1 , . . . , n i i = 1,…,a;j=1,…,n_i i=1,...,a;j=1,...,ni
对固定的 i i i， y i 1 , y i 2 , . . . , y i , n i y_{i1},y_{i2},…,y_{i,ni} yi1,yi2,...,yi,ni分别为种植第 i i i种小麦在第 n i n_i ni块田的产量
2.2单因素方差分析模型
2.2.1 假设检验
{ y i j = μ + α i + e i j e i j 服 从 N ( 0 , σ 2 ) ∑ i = 1 a n i α i = 0 \begin{cases} y_{ij} = \mu+\alpha_i+e_{ij}\\ e_{ij}服从N(0,\sigma^2)\\ \sum\limits_{i=1}^{a} n_i\alpha_i=0 \end{cases} ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧yij=μ+αi+eijeij服从N(0,σ2)i=1∑aniαi=0
- 假设检验
检验模型的因素A的a个水平下的均值是否有显著的差异
假设检验：
$$
H_0：\mu_1=\mu_2=\cdots=\mu_a
上 述 假 设 若 成 立 则 等 价 于 证 明 了 ： 上述假设若成立则等价于证明了： 上述假设若成立则等价于证明了：
H_0：\alpha_1=\alpha_2=\cdots=\alpha_a=0
$$
即若H0被接受则有因素A的各水平效应之间没有显著的差异
H0被拒绝，则因素A的各水平效应之间有显著的差异
2.2.2统计量的推导
- S S T SS_T SST
S S T = ∑ i = 1 a ∑ j = 1 n i ( y i j − y ‾ ) 2 = ∑ i = 1 a ∑ j = 1 n i [ ( y i j − y ‾ i ) 2 + ( y ‾ i − y ‾ ) 2 ] = S S E + S S A SS_T=\sum\limits_{i=1}^{a}\sum\limits_{j=1}^{n_i}(y_{ij}-\overline y)^2=\sum\limits_{i=1}^{a}\sum\limits_{j=1}^{n_i}[(y_{ij}-\overline y_i)^2+(\overline y_i-\overline y)^2]=SS_E+SS_A SST=i=1∑aj=1∑ni(yij−y)2=i=1∑aj=1∑ni[(yij−yi)2+(yi−y)2]=SSE+SSA
- 统计量
F = S S A / ( a − 1 ) S S E / ( n − a ) F = \frac{SS_A/(a-1)}{SS_E/(n-a)} F=SSE/(n−a)SSA/(a−1)
F值无限接近于1时，H0成立。
若H0不成立时，则F值倾向于较大。
F = S S A / ( a − 1 ) S S E / ( n − a ) ∽ F a − 1 , n − a F=\frac{SS_A/(a-1)}{SS_E/(n-a)}\backsim F_{a-1,n-a} F=SSE/(n−a)SSA/(a−1)∽Fa−1,n−a
3.SPSS单因素分析实例说明
现有工厂A、B、C,生产同一型号的电池，为比较其质量,从各厂的产品中随机抽取6只电池，经测试得其寿命(h)如下:
(1)在显著性水平 α = 0.05 \alpha=0.05 α=0.05下检验三厂生产的电池平均寿命有无显著差异?列出方差分析表;
(2)记μs，μB和μc分别为三厂生产的电池平均寿命，写出均值之差 μ A − μ B \mu_A-\mu_B μA−μB， μ A − μ C \mu_A – \mu_C μA−μC, μ B − μ C \mu_B-\mu_C μB−μC 的95%的置信区间
（1）解：
在两两比较选项中设置显著性水平为0.05：
点击确定得到结果输出，方差分析表如下：
0.000<0.05 拒绝原假设: 认为三个厂产出的电池种间有显著差异，即电池厂商对电池寿命有显著影响，到底哪一种更好，还需要进行两两比较。
（3）置信区间
由上表可知：
μ A − μ B 的 置 信 区 间 ： [ 17.94 , 7.39 ] μ A − μ C 的 置 信 区 间 ： [ 1.94 , − 8.61 ] μ B − μ C 的 置 信 区 间 ： [ − 10.72 , − 21.28 ] \mu_A-\mu_B的置信区间：[17.94,7.39]\\ \mu_A-\mu_C的置信区间：[1.94,-8.61]\\ \mu_B-\mu_C的置信区间：[-10.72,-21.28]\\ μA−μB的置信区间：[17.94,7.39]μA−μC的置信区间：[1.94,−8.61]μB−μC的置信区间：[−10.72,−21.28]
从上可知三个厂的电池寿命的排行为：
μ C > μ A > μ B \mu_C>\mu_A>\mu_B μC>μA>μB
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