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数学建模：方差分析模型

1.方差分析模型引入

考虑的模型，它的自变量是只能取0,1两个值的示例变量。这种变量往往比较两个多个因素的某种效益存在与否。比如考试及格为0，不及格为1.

方差分析的实质：假设检验问题

一个复杂的事物，其中往往有许多因素互相制约又互相依存。

方差分析的目的是通过数据分析找出对该事物有显著影响的因素， 各因素之间的交互作用，以及显著影响因素的最佳水平等。

方差分析是在可比较的数组中，把数据间的总的“变差”按各指定的变差来源进行分解的一种技术。对变差的度量，采用离差平方和。方差分析方法就是从总离差平方和分解出可追溯到指定来 源的部分离差平方和，这是一个很重要的思想。

1.2 方差分析模型需要满足的条件

要求所考虑样本满足的条件

① 独立性：各组数据相互独立、互不相关

② 正态性：对于偏态分布的变量通过对数、倒数、平方根变化等方法，变为正态分布或者近似正态分布再来进行方差分析

③ 方差齐性

1.3 方差分析的主要用途

使用场景：

• 制造商有两种不同的方法来制造灯泡。 他们想知道一个过程是否比另一个好。

• 一组患者正在尝试三种不同的疗法:咨询、药物治疗和生物反馈。你想知道哪一种疗法是否比其他的更好。

方差分析主要用途：

①均值差别的显著性检验

②分离各有关因素并估计其对总变异的作用

③分析因素间的交互作用

④方差齐性检验

1.4 例子

例1：比较三种小麦品种的优劣，选六块面积相等，土质肥沃程度一样的田地，每种小麦播种在 其中的两块田内，给予完全相同的田间管理。问 每块田小麦的产量？

用$y_{ij}$表示第$i$种小麦的第$j$块田的产量。对$y_{ij}$作如下分析：
$$y_{ij}=\mu +{\alpha }_i+e_{ij}$$
$\mu$：总均值

${\alpha }_i$：第i种小麦品种的效益

$e_{ij}$：是随机误差，表示所有其他未知控制因素 以及各种误差的总效应。
$$\begin{gathered} 1号小麦2块田地产量：\{\begin{array}{l}{y}_{11}=\mu +{\alpha }_1+e_{11}\\ y_{12}=\mu +{\alpha }_1+e_{12}\end{array} \\ 2号小麦2块田地产量：\{\begin{array}{l}{y}_{21}=\mu +{\alpha }_2+e_{21}\\ y_{22}=\mu +{\alpha }_2+e_{22}\end{array} \\ 1号小麦2块田地产量：\{\begin{array}{l}{y}_{31}=\mu +{\alpha }_3+e_{31}\\ y_{22}=\mu +{\alpha }_3+e_{32}\end{array} \end{gathered}$$

例2：Y:药效度量指标比较三种药治疗某种疾病的效果。

假设每种药各有n个人服用， 采用双盲方法：病人不知道自己服用哪种药；医生也不知道哪个病人服用哪种药 $y_{ij}$为服用第i种药的 第j个病人的药效测量值
$$y_{ij}=\mu +{\alpha }_i+e_{ij}i=1,2,3,j=1,...,n$$
$\mu$：总平均

${\alpha }_i$：表示第$i$种药的效应

$e_{ij}$：表示随机误差

模型：
$$\left[\begin{array}{c}{y}_{11}\\ ⋮\\ y_{1n}\\ y_{21}\\ ⋮\\ y_{2n}\\ y_{31}\\ ⋮\\ y_{3n}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 0& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ 1& 1& 0& 0\\ 1& 0& 1& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ 1& 0& 1& 0\\ 1& 0& 0& 1\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ 1& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mu \\ {\alpha }_1\\ {\alpha }_2\\ {\alpha }_2\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{e}_{11}\\ ⋮\\ e_{1n}\\ e_{21}\\ ⋮\\ e_{2n}\\ e_{31}\\ ⋮\\ e_{3n}\end{array}\right]$$

$$y=X\beta +e$$

1.5方差分析模型

方差分析：源于农业田间试验。

某个农业试验基地引进a种小麦品种 将一块田划分为面积相等的n个小块 n1块种第一种小麦，n2块种第二种小麦，等(n1+n2 +…+na…=n) 只考虑小麦品种，忽略其他因素（施肥量、浇水等对这n块田都控 制在相同状态下）

2.单因素方差分析模型

2.1 单因素概念

① 考虑的因素：小麦品种

② 每种具体的品种 : 称为小麦品种这个因素的一个“水平”

所考虑问题为 “单因素a个水平的问题”

用$y_{ij}$表示第$i$种小麦的第$j$块田的产量,$i=1,...,a;j=1,...,n_i$

对固定的$i$，$y_{i1},y_{i2},...,y_{i,ni}$分别为种植第$i$种小麦在第$n_i$块田的产量

2.2单因素方差分析模型

2.2.1 假设检验

$$\{\begin{array}{l}{y}_{ij}=\mu +{\alpha }_i+e_{ij}\\ e_{ij}服从N(0,{\sigma }^2)\\ \sum _{i=1}^a{n}_i{\alpha }_i=0\end{array}$$

• 假设检验

检验模型的因素A的a个水平下的均值是否有显著的差异

假设检验：
$$
H_0：\mu_1=\mu_2=\cdots=\mu_a

$$上述假设若成立则等价于证明了：$$
H_0：\alpha_1=\alpha_2=\cdots=\alpha_a=0
$$
即若H0被接受则有因素A的各水平效应之间没有显著的差异

H0被拒绝，则因素A的各水平效应之间有显著的差异

2.2.2统计量的推导

• $S{S}_T$

$$S{S}_T=\sum _{i=1}^a\sum _{j=1}^{n_i}(y_{ij}-\overline{y}{)}^2=\sum _{i=1}^a\sum _{j=1}^{n_i}[(y_{ij}-{\overline{y}}_i{)}^2+({\overline{y}}_i-\overline{y}{)}^2]=S{S}_E+S{S}_A$$

• 统计量

$$F=\frac{S{S}_A/(a-1)}{S{S}_E/(n-a)}$$

F值无限接近于1时，H0成立。

若H0不成立时，则F值倾向于较大。
$$F=\frac{S{S}_A/(a-1)}{S{S}_E/(n-a)}\backsim F_{a-1,n-a}$$

3.SPSS单因素分析实例说明

现有工厂A、B、C,生产同一型号的电池，为比较其质量,从各厂的产品中随机抽取6只电池，经测试得其寿命(h)如下:

(1)在显著性水平$\alpha =0.05$下检验三厂生产的电池平均寿命有无显著差异?列出方差分析表;
(2)记μs，μB和μc分别为三厂生产的电池平均寿命，写出均值之差${\mu }_A-{\mu }_B$，${\mu }_A-{\mu }_C$, ${\mu }_B-{\mu }_C$ 的95%的置信区间

（1）解：

在两两比较选项中设置显著性水平为0.05：

点击确定得到结果输出，方差分析表如下：

0.000<0.05 拒绝原假设: 认为三个厂产出的电池种间有显著差异，即电池厂商对电池寿命有显著影响，到底哪一种更好，还需要进行两两比较。

（3）置信区间

由上表可知：
$$\begin{gathered} {\mu }_A-{\mu }_B的置信区间：[17.94,7.39] \\ {\mu }_A-{\mu }_C的置信区间：[1.94,-8.61] \\ {\mu }_B-{\mu }_C的置信区间：[-10.72,-21.28] \end{gathered}$$

从上可知三个厂的电池寿命的排行为：

$${\mu }_C>{\mu }_A>{\mu }_B$$