高斯分布例题_高斯定理求半球面球心电场

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给定心形曲线$(x^2+y^2-1)^3=x^2y^3$，给定任意一点的坐标$(X,Y)$其中$X～N(X,\sigma_x)$，$Y～N(Y,\sigma_y)$求点$(X,Y)$落入心形曲线内的概率。
思路：
以$(X,Y)$为中心，画出$3*\sigma$半径的椭圆，求和心形曲线相交的体积。注意：心形曲线方程可化为$x^2+y^2-1=x^{2/3}y$,满足$x^2+y^2-1<=(x^2)^{1/3}y$在曲线内。利用心形曲线上下左右都有最大值且约等于正负1。可以设定一个分辨率画出图形。
上代码：

# -*- coding: utf-8 -*-
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

res=0.01#单位每像素
RES=1/res#像素每单位
block=256
map1=np.ones([block,block])
CX=block/2.0
CY=block/2.0
for y in np.arange(0,block):
    for x in np.arange(0,block):
        if (res*(x-CX))**2+(res*(y-CX))**2-1<=(res*np.abs(x-CX))**(2.0/3.0)*(res*(y-CY)):
            map1[y,x]=0
plt.figure(1)
plt.imshow(map1,cmap='gray')

sigmax=0.3
sigmay=0.1
X=0
Y=0
l=max(CX+(X-3*sigmax)*RES,0)
r=min(CX+(X+3*sigmax)*RES,block)
t=max(CY+(Y-3*sigmay)*RES,0)
b=min(CY+(Y+3*sigmay)*RES,block)
print(l,r,t,b)
theta=1/((2.0*np.pi)*(sigmax*sigmay))
ssum=0;
for y in np.arange(l,r+1):
    for x in np.arange(t,b+1):
      if map1[y,x]==0:
          map1[y,x]=np.exp(-0.5*((((x-CX)*res-X)/sigmax)**2+(((y-CY)*res-Y)/sigmay)**2))
          ssum=ssum+theta*map1[y,x]

plt.figure(2)
plt.imshow(map1,cmap='gray')
#print(ssum/(np.sum(np.sum(f))))
#print(res**2*theta*np.sum(np.sum(f)))
print(res**2*ssum)
print(np.round(res**2*ssum*10)/10)
plt.show()

效果图：

心形

p=1.0

p=0.9

p=0.5

p=0.4