傅里叶变换意义_傅里叶变换表达式

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看到论坛有一个朋友提问为什么傅里叶变换可以将时域变为频域？
这个问题真是问到了灵魂深处。

在这我只能简单讲讲我的理解，要深刻理解翻信号处理教科书是最好的方法。

1. 如何描述信号

我们常常用数学模型去抽象物理事件。信号也可以用数学模型来表示。有了信号的数学模型，我们就可以利用数学计算对信号模型做各种各样的改变。如果加以计算机，模电，数电的相关知识，我们就可以将我们对信号模型的改变转换为对物理信号的改变，实现我们的信号处理。
如何用数学模型来描述一个信号呢？首先，肉眼能看到的电磁波(光)与时间是相关的。于是我们有了时域分析模型，它很直观，与t有关，被放在二维平面上时，其中一个轴就是时间轴。我们又用到了幅度值作为第二个轴去描绘信号的强弱。这样就是用二维坐标描述了信号。
要注意的是描述信号这个行为的目的是为了方便我们分析一个信号并用数学的方式处理它，所以我们更喜欢单一变量的简单的信号描述方式。我们学习的时候也是从简单的单一变量的信号开始学习的。

2. 为什么要从频域分析信号？

对于一些有时间变化规律的信号，例如周期信号，人们发现用频率w来描述它比用时间t来描述它更为高效（为啥？W包含了周期信息)。于是就出现了不用t轴，而使用w轴来描述信号的方法，这就是频域分析模型。
如果你还不能理解。那么我只能用从结果推原因的方法解释给你了。

时域描绘上图这样的信号，是可以做到的，但是我们分析和处理信号非常困难。

而从频域描述这个信号的时候，天那，我们发现看到了如此有规律的图像。很多信号处理功能例如滤波能够如此轻易地在频域实现。（因为我们如此清晰地看到了这个信号的各各频率成分）
所以不论从时域还是频域去分析信号，目的是相似的，只是用了不用的角度去描述信号。在信号处理得到发展后，人们渐渐发现某些对信号的处理只能在频域进行。

3. 打通时域和频域：傅里叶变换

刚刚说到两个域都可以描述一个物理事物，那么这两个数学模型就必然存在相互转化的方法。我们的物理学家傅里叶，就提出了相互转化的方式，人们称其为傅里叶变换。
傅里叶怎么想出来傅里叶变换公式的？
对于每一个不同的信号，我们但难道就要建立一个不同的公式吗？比如”你好”和“hello”这两个声波信号可以用两个公式描述，那世上这么多词汇，要用多少公式去描绘？
我们解决这一问题的思路是归一化，用一个恒定的标准的公式去拼凑不规则的多样化的信号。于是就有了信号的分解的问题。就像化学定义中把物质分解成具有统一性质的原子分子等等。于是有机化学能够合成出各种高强度的材料。
傅里叶提出任何连续周期信号可以由多个的正弦曲线组合而成。

我们从时域上看，正弦波与三次谐波相加（+）后形成了规律的合成波。如果谐波越多，将约逼近周期的方波。
于是
他提出了这样的公式，f(t)表示时域周期函数。

一个周期性的时域波形，能够由正弦函数以及它的各次谐波加和而成。
其中

之后配合牛逼的这个公式

就可以将式子转为这样

哇，这样看来就非常接近我们常看到的傅里叶变换公式了。
以上说的都是周期信号，对于非周期信号g(t)，我们可以将它视为周期为无穷大的周期信号。于是当T趋近于无穷大的时候，公式有了改写。
得到了我们熟悉的傅里叶变换公式

就此时域和频域打通，时域信号可以频域正弦信号组合而出。后续傅里叶变换的各种特性，各种属性，为我们建立起了宏大的信号处理系统。在这个系统上我们建立了数字通信系统（通信），多媒体系统（终端），AI（各种识别与交互）。哇，我的天！