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测度、线性赋范空间、内积空间[通俗易懂]

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测度、线性赋范空间、内积空间[通俗易懂]测度、线性赋范空间、内积空间

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参考书籍
周民强. 实变函数论.第2版[M]. 北京大学出版社, 2008 

王昆杨、孙永生. 泛函分析讲义 第二版[M]. 北京师范大学出版社 2007

测度

总之，我们希望对一般R^n中的点集E给予一种度量，它是长度、面积以及体积的概念的推广。如果记点集E的这种度量为m(E),那么自然应要求它具有某些常见的性质或满足一定的条件。此时，称m(E)为E的测度，以R^1为例，我们提出：

1）m(E)>=0;

2)可合同的点集具有相同的测度；

3）令I=(a,b),则m(I)=b-a;

4）若E_1,E_2,\dots ,E_k,\dots是互不相交的点集，则

m(\sum _{i=1}^{\infty }E_i)=\sum _{i=1}^{\infty }m(E_i)

线性赋范空间

给定K上的向量空间X,映射blank叫做X上的范数，如果它满足条件

1）正定性：||x||>=0,||x||=0\Leftrightarrowx=0;

2)齐次性：\forall \alpha \in K,x \in X,有\left \| \alpha x \right \| =\left | \alpha \right |\left \| x \right \|;

3)三角不等式：\forall x,y\in X,有\left \|x+y \right \| \leqslant \left \| x\right \|+\left \| y \right \|.

定义了范数的线性空间叫作线性赋范空间，记作（X,||.||).

内积空间

给定数域K(R或C)上的线性空间U,U\times U \rightarrow K的二元泛函（x,y)称为U上的内积，如果它满足：

1）正定性：（x,x)>=0,且(x,x)=0 \Leftrightarrow x=0;

2）齐次性：(\alpha x,y)=\alpha (x,y);

3)线性性：（x+y,z)=(x,z)+(y,z);

4)共轭性：(x,y)=\overline {(x,y)}.

有内积的线性空间称为内积空间。

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