聚类分析的常用算法_聚类算法的基本原理

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原博文：

聚类是一种机器学习技术，它涉及到数据点的分组。给定一组数据点，我们可以使用聚类算法将每个数据点划分为一个特定的组。理论上，同一组中的数据点应该具有相似的属性和/或特征，而不同组中的数据点应该具有高度不同的属性和/或特征。聚类是一种无监督学习的方法，是许多领域中常用的统计数据分析技术。

在数据科学中，我们可以使用聚类分析从我们的数据中获得一些有价值的见解。在这篇文章中，我们将研究5种流行的聚类算法以及它们的优缺点。

K-MEANS聚类算法

K-Means聚类算法可能是大家最熟悉的聚类算法。它出现在很多介绍性的数据科学和机器学习课程中。在代码中很容易理解和实现！请看下面的图表。

K-Means聚类

1.首先，我们选择一些类/组来使用并随机地初始化它们各自的中心点。要想知道要使用的类的数量，最好快速地查看一下数据，并尝试识别任何不同的分组。中心点是与每个数据点向量相同长度的向量，在上面的图形中是“X”。

2.每个数据点通过计算点和每个组中心之间的距离进行分类，然后将这个点分类为最接近它的组。

3.基于这些分类点，我们通过取组中所有向量的均值来重新计算组中心。

4.对一组迭代重复这些步骤。你还可以选择随机初始化组中心几次，然后选择那些看起来对它提供了最好结果的来运行。

K-Means聚类算法的优势在于它的速度非常快，因为我们所做的只是计算点和群中心之间的距离;它有一个线性复杂度O(n)。

另一方面，K-Means也有几个缺点。首先，你必须选择有多少组/类。这并不是不重要的事，理想情况下，我们希望它能帮我们解决这些问题，因为它的关键在于从数据中获得一些启示。K-Means也从随机选择的聚类中心开始，因此在不同的算法运行中可能产生不同的聚类结果。因此，结果可能是不可重复的，并且缺乏一致性。其他聚类方法更加一致。

K-Medians是另一种与K-Means有关的聚类算法，除了使用均值的中间值来重新计算组中心点以外，这种方法对离群值的敏感度较低（因为使用中值），但对于较大的数据集来说，它要慢得多，因为在计算中值向量时，每次迭代都需要进行排序。

均值偏移聚类算法

均值偏移（Mean shift）聚类算法是一种基于滑动窗口（sliding-window）的算法，它试图找到密集的数据点。而且，它还是一种基于中心的算法，它的目标是定位每一组群/类的中心点，通过更新中心点的候选点来实现滑动窗口中的点的平均值。这些候选窗口在后期处理阶段被过滤，以消除几乎重复的部分，形成最后一组中心点及其对应的组。请看下面的图表。

单滑动窗口的均值偏移聚类

1.为了解释这一变化，我们将考虑二维空间中的一组点（就像上面的例子）。我们从一个以点C（随机选择）为中心的圆形滑窗开始，以半径r为内核。均值偏移是一种爬山算法（hill climbing algorithm），它需要在每个步骤中反复地将这个内核移动到一个更高的密度区域，直到收敛。

2.在每一次迭代中，滑动窗口会移向密度较高的区域，将中心点移动到窗口内的点的平均值（因此得名）。滑动窗口中的密度与它内部的点的数量成比例。自然地，通过移向窗口中点的平均值，它将逐渐向更高的点密度方向移动。

3.我们继续根据均值移动滑动窗口，直到没有方向移动可以容纳内核中的更多点。看看上面的图表;我们一直在移动这个圆，直到我们不再增加密度（也就是窗口中的点数）。

4.步骤1到3的过程是用许多滑动窗口完成的，直到所有的点都位于一个窗口内。当多个滑动窗口重叠的时候，包含最多点的窗口会被保留。然后，数据点根据它们所在的滑动窗口聚类。

下面展示了从端到端所有滑动窗口的整个过程的演示。每个黑点代表一个滑动窗口的质心，每个灰色点都是一个数据点。

均值偏移聚类的整个过程

与K-Means聚类相比，均值偏移不需要选择聚类的数量，因为它会自动地发现这一点。这是一个巨大的优势。聚类中心收敛于最大密度点的事实也是非常可取的，因为它非常直观地理解并适合于一种自然数据驱动。缺点是选择窗口大小/半径r是非常关键的，所以不能疏忽。

DBSCAN聚类算法

DBSCAN(Density-Based Spatial Clustering of Applications with Noise)是一个比较有代表性的基于密度的聚类算法，类似于均值转移聚类算法，但它有几个显著的优点。

DBSCAN笑脸聚类

1.DBSCAN以一个从未访问过的任意起始数据点开始。这个点的邻域是用距离ε（所有在ε距离的点都是邻点）来提取的。

2.如果在这个邻域中有足够数量的点（根据 minPoints），那么聚类过程就开始了，并且当前的数据点成为新聚类中的第一个点。否则，该点将被标记为噪声（稍后这个噪声点可能会成为聚类的一部分）。在这两种情况下，这一点都被标记为“访问（visited）”。

3.对于新聚类中的第一个点，其ε距离附近的点也会成为同一聚类的一部分。这一过程使在ε邻近的所有点都属于同一个聚类，然后重复所有刚刚添加到聚类组的新点。

4.步骤2和步骤3的过程将重复，直到聚类中的所有点都被确定，就是说在聚类附近的所有点都已被访问和标记。

5.一旦我们完成了当前的聚类，就会检索并处理一个新的未访问点，这将导致进一步的聚类或噪声的发现。这个过程不断地重复，直到所有的点被标记为访问。因为在所有的点都被访问过之后，每一个点都被标记为属于一个聚类或者是噪音。

DBSCAN比其他聚类算法有一些优势。首先，它不需要一个预设定的聚类数量。它还将异常值识别为噪声，而不像均值偏移聚类算法，即使数据点非常不同，它也会将它们放入一个聚类中。此外，它还能很好地找到任意大小和任意形状的聚类。

DBSCAN的主要缺点是，当聚类具有不同的密度时，它的性能不像其他聚类算法那样好。这是因为当密度变化时，距离阈值ε和识别邻近点的minPoints的设置会随着聚类的不同而变化。这种缺点也会出现在非常高维的数据中，因为距离阈值ε变得难以估计。

使用高斯混合模型（GMM）的期望最大化（EM）聚类

K-Means的一个主要缺点是它对聚类中心的平均值的使用很简单幼稚。我们可以通过看下面的图片来了解为什么这不是最好的方法。在左边看起来很明显的是，有两个圆形的聚类，不同的半径以相同的平均值为中心。K-Means无法处理，因为聚类的均值非常接近。在聚类不是循环的情况下，K-Means也会失败，这也是使用均值作为聚类中心的结果。

K-Means的两个失败案例

高斯混合模型（GMMs）比K-Means更具灵活性。使用高斯混合模型，我们可以假设数据点是高斯分布的;比起说它们是循环的，这是一个不那么严格的假设。这样，我们就有两个参数来描述聚类的形状：平均值和标准差！以二维的例子为例，这意味着聚类可以采用任何形式的椭圆形状（因为在x和y方向上都有标准差）。因此，每个高斯分布可归属于一个单独的聚类。

为了找到每个聚类的高斯分布的参数（例如平均值和标准差）我们将使用一种叫做期望最大化（EM）的优化算法。看看下面的图表，就可以看到高斯混合模型是被拟合到聚类上的。然后，我们可以继续进行期望的过程——使用高斯混合模型实现最大化聚类。

使用高斯混合模型来期望最大化聚类

1.我们首先选择聚类的数量（如K-Means所做的那样），然后随机初始化每个聚类的高斯分布参数。通过快速查看数据，可以尝试为初始参数提供良好的猜测。注意，在上面的图表中可以看到，这并不是100%的必要，因为高斯开始时的表现非常不好，但是很快就被优化了。

2.给定每个聚类的高斯分布，计算每个数据点属于特定聚类的概率。一个点离高斯中心越近，它就越有可能属于那个聚类。这应该是很直观的，因为有一个高斯分布，我们假设大部分的数据都离聚类中心很近。

3.基于这些概率，我们为高斯分布计算一组新的参数，这样我们就能最大程度地利用聚类中的数据点的概率。我们使用数据点位置的加权和来计算这些新参数，权重是属于该特定聚类的数据点的概率。为了解释这一点，我们可以看一下上面的图，特别是黄色的聚类作为例子。分布在第一次迭代中是随机的，但是我们可以看到大多数的黄色点都在这个分布的右边。当我们计算一个由概率加权的和，即使在中心附近有一些点，它们中的大部分都在右边。因此，自然分布的均值更接近于这些点。我们还可以看到，大多数点都是“从右上角到左下角”。因此，标准差的变化是为了创造一个更符合这些点的椭圆，从而使概率的总和最大化。

步骤2和3被迭代地重复，直到收敛，在那里，分布不会从迭代到迭代这个过程中变化很多。

使用高斯混合模型有两个关键的优势。首先，高斯混合模型在聚类协方差方面比K-Means要灵活得多;根据标准差参数，聚类可以采用任何椭圆形状，而不是局限于圆形。K-Means实际上是高斯混合模型的一个特例，每个聚类在所有维度上的协方差都接近0。其次，根据高斯混合模型的使用概率，每个数据点可以有多个聚类。因此，如果一个数据点位于两个重叠的聚类的中间，通过说X%属于1类，而y%属于2类，我们可以简单地定义它的类。

层次聚类算法

层次聚类算法实际上分为两类：自上而下或自下而上。自下而上的算法在一开始就将每个数据点视为一个单一的聚类，然后依次合并（或聚集）类，直到所有类合并成一个包含所有数据点的单一聚类。因此，自下而上的层次聚类称为合成聚类或HAC。聚类的层次结构用一棵树（或树状图）表示。树的根是收集所有样本的唯一聚类，而叶子是只有一个样本的聚类。在继续学习算法步骤之前，先查看下面的图表。

合成聚类

1.我们首先将每个数据点作为一个单独的聚类进行处理。如果我们的数据集有X个数据点，那么我们就有了X个聚类。然后我们选择一个度量两个聚类之间距离的距离度量。作为一个示例，我们将使用平均连接（average linkage）聚类，它定义了两个聚类之间的距离，即第一个聚类中的数据点和第二个聚类中的数据点之间的平均距离。

2.在每次迭代中，我们将两个聚类合并为一个。将两个聚类合并为具有最小平均连接的组。比如说根据我们选择的距离度量，这两个聚类之间的距离最小，因此是最相似的，应该组合在一起。

3.重复步骤2直到我们到达树的根。我们只有一个包含所有数据点的聚类。通过这种方式，我们可以选择最终需要多少个聚类，只需选择何时停止合并聚类，也就是我们停止建造这棵树的时候！

层次聚类算法不要求我们指定聚类的数量，我们甚至可以选择哪个聚类看起来最好。此外，该算法对距离度量的选择不敏感;它们的工作方式都很好，而对于其他聚类算法，距离度量的选择是至关重要的。层次聚类方法的一个特别好的用例是，当底层数据具有层次结构时，你可以恢复层次结构;而其他的聚类算法无法做到这一点。层次聚类的优点是以低效率为代价的，因为它具有O(n³)的时间复杂度，与K-Means和高斯混合模型的线性复杂度不同。