二叉树堆的概念_堆是满二叉树正确吗

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前言

这里并不可能把所有树的结构都在此篇文章进行详细介绍，我会通过步步延伸的方式去了解树

树 ➡ 二叉树 ➡ 搜索二叉树 ➡ 平衡搜索二叉树 (AVL树和红黑树) ➡ M叉多叉平衡搜索树 (B树和B+树)

一、树概念及结构

? 树的概念

树是一种非线性的数据结构，它是由 n (n>=0) 个有限结点组成一个具有层次关系的集合。
把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下。

1️⃣ 有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点

2️⃣ 除根节点外，其余结点被分为 M (M>0) 个互不相交的集合 T1、T2 … 、Tm，其中每一个集合 Ti (1<=i<=m) 又是一棵结构与树类似的子树，每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继

3️⃣ 因此，树是递归定义的

⚠ 注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

▶ 子树是不相交的

▶ 除了根节点外，每个节点有且仅有一个父节点

▶ 一棵 N 个节点的树有 N-1 条连

? 树的相关概念

1️⃣ 节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A 的为6

2️⃣ 叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I…等节点为叶节点

3️⃣ 非终端节点或分支节点：度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G…等节点为分支节点

4️⃣ 双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A 是 B 的父节点

5️⃣ 孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B 是 A 的孩子节点

6️⃣ 兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点 (这里指的是亲兄弟，而非表堂兄弟)； 如上图：B、C 是兄弟节点

7️⃣ 树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为 6

8️⃣ 节点的层次：从根开始定义起，根为第 1 层，根的子节点为第 2 层， 以此类推；如上图：树的层次为 4

9️⃣ 树的高度或深度：树中节点的最大层次 (这里有 2 种说法：其一，根算 0，其二，根算 1)； 如上图：树的高度为 4
   这里推荐理解其二，因为：
   当要算空树的高度是多少时，按其一的理解，高度是 -1；按其二的理解，高度是 0
   当要算只有一个根节点的树的高度是多少时，按其一的理解，高度是 0；按其二的理解，高度是 1

? 堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I 互为兄弟节点

1️⃣1️⃣ 节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A 是所有节点的祖先

1️⃣2️⃣ 子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是 A 的子孙

1️⃣3️⃣ 森林：由 m(m>0) 棵互不相交的树的集合称为森林，并查集就是一个森林

? 树的表示

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来比较麻烦，既要保存值域，也要保存结点和结点之间的关系。
实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

⚠ 对于树的定义其实并不好定义，因为其中有许多未知的因素

1、除非明确说明树的度是多少，比如树的度是 6

struct TreeNode
{ 
   
	int data;
	//这种结构其实是很浪费的，因为最大的度是6,但往下可能并没有那么多
	struct TreeNode* subs[6];//指针数组
}

2、如果没有说明树的度是多少，可以使用顺序表存储

struct TreeNode
{ 
   
	int data;
	SeqList subs;//顺序表中存储的是节点的指针
	//vector<struct TreeNode*>subs;//在C++学了模板后可以这样定义
}

3、双亲表示法

struct TreeNode
{ 
   
	int data;
	struct TreeNode* parent;
}

4、左孩子右兄弟表示法 (比较实用)

typedef int DataTpye;
struct Node
{ 
   
	struct Node* _firstChild1;//第一个孩子节点(如有多个孩子，那么只指向最左边的)
	struct Node* _pNextBrother;//指向下一个兄弟节点
	DataType _data;//节点中的数据域
}

? 树在实际中的运用 (表示文件系统的目录树结构)

    ❗ 以下为 Linux 下的目录树 ❕

二、二叉树概念及结构

? 二叉树的概念

一棵二叉树是节点的一个有限集合，该集合：
1、或者为空
2、由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成

1️⃣ 二叉树不存在度大于 2 的结点

2️⃣ 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

⚠ 注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

❓ 现实中的存在这种二叉树吗 ❔

   在人为的干涉的情况下一定是存在的，因为没有什么是一电锯解决不了的事

当然也不乏有大自然的鬼斧神工，注意区分普通的树

? 特殊的二叉树

1️⃣ 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为 K，且结点总数是 2^k – 1，则它就是满二叉树。

2️⃣ 完全二叉树：完全二叉树的前 k – 1 层都满的，第 k 层不一定满 (这就意味着满二叉树是完全二叉树，但完全二叉树不一定是满二叉树)，但是从最后一层从左到右必须是连续的，也就是说完全二叉树中度为 1 的节点最少 0 个，最多 1 个。完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为 K 的，有 n 个结点的二叉树，且每个结点都与深度为 K 的满二叉树中编号从 1 至 n 的结点 一一 对应称之为完全二叉树。要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

▶ 满二叉树的节点个数就是等比求和

2⁰ + 2¹ + 2² + … 2^(k-1)

利用公式所以满二叉树的节点个数就是 2^k – 1

▶ 完全二叉树的节点个数

最多：2^k – 1  这是满二叉树

最少：2^(k-1) – 1 + 1  ->  2^(k-1)

   2^(k-1) – 1 这是前 k-1 层节点的个数，+1 则是第 k 层至少一个

? 二叉树的性质

1️⃣ 若规定根节点的层数为 1，则一棵非空二叉树的第 i 层上最多有 2^(i-1) 个结点

2️⃣ 若规定根节点的层数为 1，则深度为 h 的二叉树的最大结点数是 2^h – 1

3️⃣ 对任何一棵二叉树, 如果度为 0 其叶结点个数为 n₀, 度为 2 的分支结点个数为 n₂,则有 n₀＝ n₂＋1

4️⃣ 若规定根节点的层数为 1，具有 n 个结点的满二叉树的深度为 h = log₂(n+1)  ps：log₂(n+1)是 log 以 2 为底， n+1 的对数

5️⃣ 对于具有 n 个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从 0 开始编号，则对于序号为 i 的结点有：

  ▶ 若 i>0，i 位置节点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i 为根节点编号，无双亲节点

  ▶ 若 2i+1<n，左孩子序号：2i+1，2i+1>=n 否则无左孩子

  ▶ 若 2i+2<n，右孩子序号：2i+2，2i+2>=n 否则无右孩子

? 二叉树的概念选择题

1、某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的节点，则该二叉树中的叶子节点数为（ ）

A. 不存在这样的二叉树

B. 200

C. 198

D. 199

? 分析：这里的叶子节点就是度为 0 的节点，已知二叉树中度为 2 的节点为 199 个，则度为 0 的节点等于度为 2 的节点 +1，所以选择 B 选项

---

2、下列数据结构中，不适合采用顺序存储结构的是（ ）注意此题可以先了解下面的二叉树的存储结构在来做

A. 非完全二叉树

B. 堆

C. 队列

D. 栈

? 分析：顺序结构存储就是使用数组来存储，它只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。数组只适合存储完全二叉树或者满二叉树。

所以选择 A 选项

---

3、在具有 2n 个节点的完全二叉树中，叶子节点个数为（ ）

A. n

B. n+1

C. n-1

D. n/2

? 分析：

假设度为 0 的个数是 x0，度为 2 的个数是 x2，度为 1 的个数是 x1，那么：

▶ x0 + x1 + x2 = 2n

▶ x0 = x2 + 1

由 x0 = x2 + 1 得到 x2 = x0 – 1

所以 x0 + x1 + x2 = 2n 同 x0 + x1 + x0 – 1 = 2n 同 2×0 + x1 – 1 = 2n

这时再回过头想想完全二叉树中度为 1 的节点最少 0 个，最多就只有 1 个，

所以 x1 = 0 or 1

所以 2×0 + x1 – 1 = 2n 就有 2 种情况：

▶ 2×0 + 0 – 1 = 2n

▶ 2×0 + 1 – 1 = 2n

所以结果一目了然，当 x1 = 0 时，x0为小数，显然不可能；当 x1 = 1 时满足，所以选择 A 选项

---

4、一棵完全二叉树的节点数为 531 个，那么这棵树的高度为（ ）

A. 11

B. 10

C. 8

D. 12

? 分析：

假设完全二叉树的高度是 h，那么：最多有 2^h-1 个节点；最少有 2^(h-1) 个节点

▶ h = 11 时：最多 2047；最少 2014，所以不合理

▶ h = 10 时：最多 1023；最少 512，所以合情合理

▶ h = 8 时：最多 255；最少 128，所以不合理

▶ h = 12 时：最多 4095；最少 2048，所以不合理

所以选择 B 选项

---

5、一个具有 767 个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为 ( )

A. 383

B. 384

C. 385

D. 386

? 分析：此题类似于第 3 题

假设度为 0 的个数是 x0，度为 2 的个数是 x2，度为 1 的个数是 x1，那么：

▶ x0 + x1 + x2 = 767

▶ x0 = x2 + 1

由 x0 = x2 + 1 得到 x2 = x0 – 1

所以 x0 + x1 + x2 = 767 同 x0 + x1 + x0 – 1 = 767 同 2×0 + x1 – 1 = 767

这时再回过头想想完全二叉树中度为 1 的节点最少 0 个，最多就只有 1 个，

所以 x1 = 0 or 1

所以 2×0 + x1 – 1 = 767 就有 2 种情况：

▶ 2×0 + 0 – 1 = 767

▶ 2×0 + 1 – 1 = 767

所以结果一目了然，当 x1 = 0 时，满足条件；当 x1 = 1 时，不满足条件，所以选择 B 选项

? 二叉树的存储结构

二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构：。

  1️⃣ 顺序存储：顺序结构存储就是使用数组来存储，它只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实使用中只有堆才会使用数组来存储，二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。如下图所见，数组只适合存储完全二叉树或者满二叉树。

  ❓ 怎么表示下标和树的关系 ❔

     下标表示树中父子关系的公式：

     左孩子和右孩子

       leftchild = parent * 2 + 1

       rightchild = parent * 2 + 2

     父亲 (这里无论是左孩子还是右孩子都适用于以下公式)

       parent = (child – 1) / 2

  2️⃣ 链式存储：二叉树的链式存储结构是指用链表来表示一棵二叉树，即用链表来指示元素的逻辑关系。通常的方法是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在的链的存储地址。链式结构又分为二叉链和三叉链，现阶段本篇文章我们只了解二叉链，在以后的文章内写到高阶数据结构时，如红黑树等才会用到三叉链。

  ❓ 如何定义二叉链和三叉链 ❔

    二叉链只能通过父亲找孩子，类似于单向链表；而三叉链不仅能通过父亲找孩子，还能通过孩子找父亲，类似于双向链表。

typedef int BTDataType;
//二叉链
struct BinaryTreeNode
{ 
   
	struct BinaryTreeNode* _pLeft; //指向当前节点的左孩子
	struct BinaryTreeNode* _pRight; //指向当前节点的右孩子 
	BTDataType _data; //当前节点的值域 
}

//三叉链
struct BinaryTreeNode
{ 
   
	struct BinaryTreeNode* _pParent; //指向当前节点的父亲
	struct BinaryTreeNode* _pLeft; //指向当前节点的左孩子
	struct BinaryTreeNode* _pRight; //指向当前节点的右孩子
	BTDataType _data; //当前节点的值域
}

三、二叉树顺序结构及实现

? 二叉树的顺序结构

普通的二叉树是不适合用数组来存储的，因为可能会存在大量的空间浪费。
而完全二叉树更适合使用顺序结构存储。现实中我们通常把堆 (一种二叉树) 使用顺序结构的数组来存储。
需要注意的是这里的堆和操作系统虚拟进程地址空间中的堆是两回事，一个是数据结构，一个是操作系统中管理内存的一块区域分段。

  ❓ 操作系统和数据结构这两门学科中都有栈和堆的概念，如何区分 ❔

? 堆的概念及结构

如果有一个关键码的集合K = {k₀, k₁, k₃,…，k_n-1}，把它的所有元素按完全二叉树的顺序存储方式存储，在一个一维数组中，并满足：K_i <= K_2*i+1 且 K_i <= K_2*i+2 (K_i >= K_2*i+1 且 K_i >= K_2*i+2) i = 0，1，2…，则称为小堆 (或大堆)。将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。

    ❗ 堆的性质 ❕

      ▶ 堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；

      ▶ 堆总是一棵完全二叉树；

    —————————————Cut—————————————–

    ❗ 大(根)堆和小(根)堆 ❕

      ▶ 大(根)堆，树中所有父亲都大于或者等于孩子，且大堆的根是最大值；

      ▶ 小(根)堆，树中所有父亲都小于或者等于孩子，且小堆的根是最小值；

? 堆的概念选择题

1、下列关键字序列为堆的是（ ）

A. 100, 60, 70, 50, 32, 65

B. 60, 70, 65, 50, 32, 100

C. 65, 100, 70, 32, 50, 60

D. 70, 65, 100, 32, 50, 60

E. 32, 50, 100, 70, 65, 60

F. 50, 100, 70, 65, 60, 32

? 分析：根据堆的概念分析，A 选项为大根堆；

---

2、注，请理解下面堆应用的知识再做。已知小根堆为 8, 15, 10, 21, 34, 16, 12，删除关键字 8 之后需重建堆，在此过程中，关键字之间的比较次数是（ ）

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

? 分析：

此题考查的是建堆的过程

所以选择 C 选项

---

3、注，请理解下面堆应用的知识再做。一组记录排序码为 (5 11 7 2 3 17)，则利用堆排序方法建立的初始堆为（ ）

A. (11 5 7 2 3 17)

B. (11 5 7 2 17 3)

C. (17 11 7 2 3 5)

D. (17 11 7 5 3 2)

E. (17 7 11 3 5 2)

F. (17 7 11 3 2 5)

? 分析：

此题考查的是堆排序建堆的过程

根据下面堆排序的过程分析，选择 C 选项

---

4、、注，请理解下面堆应用的知识再做。最小堆 [0, 3, 2, 5, 7, 4, 6, 8]，在删除堆顶元素0之后，其结果是（ ）

A. [3，2，5，7，4，6，8]

B. [2，3，5，7，4，6，8]

C. [2，3，4，5，7，8，6]

D. [2，3，4，5，6，7，8]

? 分析：

此题考查的是 Pop 堆顶后，重新建堆的变化

所以选择 C 选项

---

? 堆的实现

1、堆向下调整算法

现在我们给出一个数组，逻辑上看做一颗完全二叉树。我们通过从根节点开始的向下调整算法可以把它调整成一个小堆。
向下调整算法有一个前提：左右子树必须是一个堆 (包括大堆和小堆)，才能调整。

    ❗ 建堆 ❕
        有一个随机值的数组，把它理解成完全二叉树，并模拟成堆 (大堆/小堆)

    ——————————————————-Cut———————————————————

int array[] = { 
   27, 15, 19, 18, 28, 34, 65, 49, 25, 37} 

    ❓ 观察上面这组数据 ❔
        根下面的左右子树都是小根堆，其实堆向下调整算法就是针对这种特殊数据结构

    ——————————————————-Cut———————————————————

    ❓ 针对于这种类型的数据应该怎么调堆 ❔
       思路：从根开始与左右孩子比较，如果孩子比父亲小，则两两交换位置，再继续往下调，直到左右孩子都比父亲大或者调到叶子
     具体见下图：

    ——————————————————-Cut———————————————————

    ❓ 如果不满足左右子树是堆，怎么调整 ❔

int array[] = { 
   27, 37, 28, 18, 19, 34, 65, 25, 49, 15} 

    根的左右子树 37、28 都不满足：这里的想法就是先让左右子树先满足；而对于左右子树 37、28 来说又需要让 37 先满足；这样依此类推直至满足堆的条件。那干脆就从倒数的第一棵树，也就是倒数的第一个非叶子节点开始调整

2、堆的创建

    ❗ 这里从倒数的第一个非叶子节点开始调整 ❕

#include<stdio.h>

//实现父子交换的函数
void Swap(int* px, int* py)
{ 
   
	int temp = *px;
	*px = *py;
	*py = temp;
}
//实现调整
void AdjustDown(int* arr, int sz, int parent)
{ 
   
	//确定左孩子的下标
	int child = parent * 2 + 1;
	//孩子的下标超出数组的范围就停止
	while (child < sz)
	{ 
   
		//确定左右孩子中较小/大的那个
			//左孩子大于右孩子，所以让child记录较小孩子的下标 || (arr[child]<arr[child+1]记录较大孩子的下标)
		if (arr[child] > arr[child + 1] && child + 1 < sz)
		{ 
   
			child++; //(当只有一个左孩子时，会越界，且后面使用时会发生非法访问)
		}
		//判断父亲和小孩子
			//小孩子小于父亲，则交换，且继续调整 || (arr[child]>arr[parent]大孩子大于父亲，则交换，且继续调整)
		if (arr[child] < arr[parent])
		{ 
   
			Swap(&arr[child], &arr[parent]);
			//迭代
			parent = child;
			//重新确定左孩子的下标(当最后的叶子节点是parent时，这时去确定child会以读的方式越界，但可以不关心)
			child = parent * 2 + 1;
		}
		//小孩子大于父亲，则停止调整
		else
		{ 
   
			break;
		}
	}
}
//堆排序 -> 效率更高
void HeapSort(int* arr, int sz)
{ 
   
	//建堆
	int i = 0;
	//从最后一棵树开始调整，也就是最后一个节点的父亲
	for (i = (sz - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--)
	{ 
   
		AdjustDown(arr, sz, i);
	}
}
int main()
{ 
   
	//左右子树都为堆
	int arr1[] = { 
    27, 15, 19, 18, 28, 34, 65, 49, 25, 37 };
	//左右子树都为非堆
	int arr2[] = { 
    27, 37, 28, 18, 19, 34, 65, 25, 49, 15 };

	HeapSort(arr1, sizeof(arr1) / sizeof(arr1[0]));
	int i = 0;
	for (i = 0; i < sizeof(arr1) / sizeof(arr1[0]); i++)
	{ 
   
		printf("%d ", arr1[i]);
	}

	printf("\n");

	HeapSort(arr2, sizeof(arr2) / sizeof(arr2[0]));
	for (i = 0; i < sizeof(arr2) / sizeof(arr2[0]); i++)
	{ 
   
		printf("%d ", arr2[i]);
	}
	return 0;
}

    ? 输出结果：

      小堆

      大堆

3、堆的时间复杂度

      ❓ 证明建堆的时间复杂度是O(N) ❔

因为堆是完全二叉树，而满二叉树也是完全二叉树，此处为了简化使用满二叉树来证明
(时间复杂度本来看的就是近似值，多几个节点不影响最终结果)

建堆的调用次数用 T(N) 表示：(从最后一个非叶子节点 <也就是倒数第二层> 开始，最坏的情况下：倒数第二层每个节点最多能向下调 1 次；倒数第三层每个节点最多能向下调 2 次；倒数第四层每个节点最多能向下调 3 次；)

每层节点个数 $\times$ 最坏情况向下调整次数：

T(N) = 2^h-2 $\times$ 1 + 2^h-3 $\times$ 2 + … … + 2⁰ $\times$ (h-1)

这里我们从上至下开始

T(N) = 2⁰ $\times$ (h – 1) + 2¹ $\times$ (h – 2) + 2² $\times$ (h – 3) + 2³ $\times$ (h – 4) + … … + 2^h-3 $\times$ 2 + 2^h-2 $\times$ 1

    ❗ 错位相减法 ❕

      等号左右两边乘个 2 得到一个新公式，再用新公式减去旧的公式，具体见下图

4、堆的插入

先插入一个10到数组的尾上，再进行向上调整算法，直到满足堆。

5、堆的删除

删除堆是删除堆顶的数据，将堆顶的数据和最后一个数据交换换，然后删除数组最后一个数据，再进行向下调整算法。

6、堆的代码实现

⚠ 注意 ⚠

    ▶ 堆的初始化一般是使用数组进行初始化的

    ▶ 堆的插入数据不分头插、尾插，将数据插入后，原来堆的属性不变

      先放在数组的最后一个位置，再向上调整

    ▶ 堆的删除数据删除的是堆顶的数据，将数据删除后，原来堆的属性不变

      为了效率，将第一个和最后一个元素交换，再减容，然后再调整

❗ 这里需要三个文件 ❕

    1️⃣ Heap.h，用于函数的声明

#pragma once

//头
#include<stdio.h>
#include<assert.h>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>
#include<stdbool.h>

typedef int HPDataType;

//C++ -> priority_queue 在C++里用的是优先级队列，其底层就是一个堆
//大堆
typedef struct Heap
{ 
   
	HPDataType* a;
	int size;
	int capacity;
}HP;
//函数的声明
//交换
void Swap(int* px, int* py);
//向下调整
void AdjustDown(int* arr, int n, int parent);
//向上调整
void AdjustUp(int* a, int child);
//使用数组进行初始化
void HeapInit(HP* php, HPDataType* a, int n);
//回收空间
void HeapDestroy(HP* php);
//插入x，保持它继续是堆
void HeapPush(HP* php, HPDataType x); 
//删除堆顶的数据，保持它继续是堆
void HeapPop(HP* php);
//获取堆顶的数据，也就是最值
HPDataType HeapTop(HP* php);
//判空
bool HeapEmpty(HP* php);
//堆的数据个数
int HeapSize(HP* php);
//输出
void HeapPrint(HP* php);

    2️⃣ Heap.c，用于函数的定义

#include"Heap.h"


void Swap(int* px, int* py)
{ 
   
	int temp = *px;
	*px = *py;
	*py = temp;
}
void AdjustDown(int* arr, int n, int parent)
{ 
   
	int child = parent * 2 + 1;
	while (child < n)
	{ 
   
		if (arr[child] < arr[child + 1] && child + 1 < n)
		{ 
   
			child++;
		}
		if (arr[child] > arr[parent])
		{ 
   
			Swap(&arr[child], &arr[parent]);
			parent = child;
			child = parent * 2 + 1;
		}
		else
		{ 
   
			break;
		}
	}
}
void AdjustUp(int* a, int child)
{ 
   
	int parent = (child - 1) / 2;
	while (child > 0)
	{ 
   
		if (a[child] > a[parent])
		{ 
   
			Swap(&a[child], &a[parent]);
			child = parent;
			parent = (child - 1) / 2;
		}
		else
		{ 
   
			break;
		}
	}
}
void HeapPrint(HP* php)
{ 
   
	assert(php);

	int i = 0;
	for (i = 0; i < php->size; i++)
	{ 
   
		printf("%d ", php->a[i]);
	}
	printf("\n");
}
//1、对于HeapCreate函数，结构体不是外面传进来的，而是在函数内部自己malloc空间，再创建的
/* HP* HeapCreate(HPDataType* a, int n) {} */
//2、对于HeapInit函数，在外面定义一个结构体，把结构体的地址传进来
void HeapInit(HP* php, HPDataType* a, int n)
{ 
   
	assert(php); 
	//malloc空间(当前数组大小一样的空间)
	php->a = (HPDataType*)malloc(sizeof(HPDataType) * n);
	if (php->a == NULL)
	{ 
   
		printf("malloc fail\n");
		exit(-1);
	}
	//使用数组初始化
	memcpy(php->a, a, sizeof(HPDataType) * n);
	php->size = n;
	php->capacity = n;
	//建堆 
	int i = 0;
	for (i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--)
	{ 
   
		AdjustDown(php->a, n, i);
	}
}
void HeapDestroy(HP* php)
{ 
   
	assert(php);
	free(php->a);
	php->a = NULL;
	php->size = php->capacity = 0;
}
bool HeapEmpty(HP* php)
{ 
   
	assert(php);
	return php->size == 0;
}
void HeapPush(HP* php, HPDataType x)
{ 
   
	assert(php);

	//空间不够，增容
	if (php->size == php->capacity)
	{ 
   
		HPDataType* temp = (HPDataType*)realloc(php->a, php->capacity * 2 * sizeof(HPDataType));
		if (temp == NULL)
		{ 
   
			printf("realloc fail\n");
			exit(-1);
		}
		else
		{ 
   
			php->a = temp;	
		}
		php->capacity *= 2;
	}
	//将x放在最后
	php->a[php->size] = x;
	php->size++;
	//向上调整
	AdjustUp(php->a, php->size - 1);
}
void HeapPop(HP* php)
{ 
   
	assert(php);
	//没有数据删除就报错
	assert(!HeapEmpty(php));
	//交换首尾
	Swap(&php->a[0], &php->a[php->size-1]);
	php->size--;
	//向下调整
	AdjustDown(php->a, php->size, 0);
}
HPDataType HeapTop(HP* php)
{ 
   
	assert(php);
	//没有数据获取就报错
	assert(!HeapEmpty(php));
	
	return php->a[0];
}
int HeapSize(HP* php)
{ 
   
	assert(php);

	return php->size;
}

    3️⃣ Test.c，用于测试函数

#include"Heap.h"

void TestHeap()
{ 
   
	int arr[] = { 
    27, 37, 28, 18, 19, 34, 65, 25, 49, 15 };
	HP hp;
	HeapInit(&hp, arr, sizeof(arr)/sizeof(arr[0]));
	HeapPrint(&hp);
	HeapPush(&hp, 18);
	HeapPrint(&hp);
	HeapPush(&hp, 98);
	HeapPrint(&hp);
	printf("\n\n");
	//将堆这数据结构实现好后，我们就可以利用这些接口实现排序
	while(!HeapEmpty(&hp))
	{ 
   
		printf("%d ", HeapTop(&hp));	
		HeapPop(&hp);
	}
	printf("\n");
	
}
int main()
{ 
   
	TestHeap();
	return 0;
}

? 堆的应用

1、堆排序

    ❓ 堆创建后，如何进行排序 (升序、降序) ❔
        升序建大堆；降序建小堆。不是说升序建小堆；降序建大堆不行，而是因为不好：
        如果排升序建小堆：
          1、选出最小的数，最小的数就放在第一个位置
          2、接着就要选次小的数，再选次小的数 … … 。不断的选下去，如何选 ？
             只能对剩下的 sz-1、sz-2、sz-3 … 个数继续建堆。可想这样的代价是很高的 —— 建堆的时间
             复杂度是 O(N)，整个时间复杂度就是 O(N²)，堆的价值没有体现，还不如直接循环遍历
        如果排升序建大堆：
          1、选出最大的数，与最后一个数交换位置
          2、怎么选出次大、次次大 ？
             堆的结构没有被破坏，且最后一个数不看做堆，左右子树依旧是大堆，向下调整即可
             最多调整 log₂N 次，整体的时间复杂度是 O(N*log₂N）
        对比效率：

	1000	1000000
O(N2)	1000000	1000000000000
O(N*log2N)	10000	20000000

    ❗ 动图画解思路 ❕

        升序建大堆

        降序建小堆

#include<stdio.h>

void Swap(int* px, int* py)
{ 
   
	int temp = *px;
	*px = *py;
	*py = temp;
}
void AdjustDown(int* arr, int sz, int parent)
{ 
   
	int child = parent * 2 + 1;
	while (child < sz)
	{ 
   
		if (arr[child] > arr[child + 1] && child + 1 < sz)
		{ 
   
			child++; 
		}
		if (arr[child] < arr[parent])
		{ 
   
			Swap(&arr[child], &arr[parent]);
			parent = child;
			child = parent * 2 + 1;
		}
		else
		{ 
   
			break;
		}
	}
}
void HeapSort(int* arr, int sz)
{ 
   
	int i = 0;
	for (i = (sz - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--)
	{ 
   
		AdjustDown(arr, sz, i);
	}
	//排升序 > 建大堆
	//排降序 > 建小堆
	int end = sz - 1;
	//每次循环都将最小或最大的值与最后一个值交换，且最后一个值不看作堆的内容
	while (end > 0)
	{ 
   
		//与最后一个值交换
		Swap(&arr[0], &arr[end]);
		//调整
		AdjustDown(arr, end, 0);
		end--;
	}

}
int main()
{ 
   
	//左右子树都为堆
	int arr1[] = { 
    27, 15, 19, 18, 28, 34, 65, 49, 25, 37 };
	//左右子树都为非堆
	int arr2[] = { 
    27, 37, 28, 18, 19, 34, 65, 25, 49, 15 };

	HeapSort(arr1, sizeof(arr1) / sizeof(arr1[0]));
	int i = 0;
	for (i = 0; i < sizeof(arr1) / sizeof(arr1[0]); i++)
	{ 
   
		printf("%d ", arr1[i]);
	}

	printf("\n");

	HeapSort(arr2, sizeof(arr2) / sizeof(arr2[0]));
	for (i = 0; i < sizeof(arr2) / sizeof(arr2[0]); i++)
	{ 
   
		printf("%d ", arr2[i]);
	}
	return 0;
}

    ? 输出结果：

      升序

      降序

3、TOP – K问题

TOP-K问题：即求数据结合中前K个最大的元素或者最小的元素，一般情况下数据量都比较大。
比如：CSDN总榜前10、世界500强、富豪榜等。

❓ 如何求 ❔

? 方法 1：

    排序，时间复杂度 O(N*logN)

? 方法 2：

    建一个 N 个数的堆(优先级队列)，不断选数，选出前 K 个，时间复杂度 O(N+K*log(N))

    ❗ 假设 N 是十亿，显然前两个方法都不适用 ❕

? 方法 3：

    对于 Top-K 问题，能想到的最简单直接的方式就是排序，但是：如果数据量非常大，排序就不太可取了(可能数据都不能一下子全部加载到内存中)。最佳的方式就是用堆 (优化方法 2) 来解决，基本思路如下：

    1️⃣ 用数据集合中前 K 个元素来建堆

      ▶ 前k个最大的元素，则建小堆

      ▶ 前k个最小的元素，则建大堆

    2️⃣ 用剩余的N-K个元素依次与堆顶元素来比较，不满足则替换堆顶元素

      ▶ 将剩余 N-K 个元素依次与堆顶元素比完之后，堆中剩余的 K 个元素就是所求的前 K 个最小或者最大的元素

❗ 模拟 ❕

    创建随机数种子，生成随机数

❓ 怎么知道前十个数就是 TOP – 10 ❔

    默认随机生成的数都是小于 1000000 的，然后给随机位置的 10 个数都是比 1000000 要大的，把这 10 个数选出来就说明算法是对的

---

❗ 这里需要三个文件 ❕

    1️⃣ TOP-K.h，用于函数的声明

#pragma once

//头
#include<stdio.h>
#include<assert.h>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>
#include<stdbool.h>
#include<time.h>

typedef int HPDataType;

//C++ -> priority_queue 在C++里用的是优先级队列，其底层就是一个堆
//大堆
typedef struct Heap
{ 
   
	HPDataType* a;
	int size;
	int capacity;
}HP;
//函数的声明
//交换
void Swap(int* px, int* py);
//向下调整
void AdjustDown(int* arr, int n, int parent);
//向上调整
void AdjustUp(int* a, int child);
//使用数组进行初始化
void HeapInit(HP* php, HPDataType* a, int n);
//回收空间
void HeapDestroy(HP* php);
//插入x，保持它继续是堆
void HeapPush(HP* php, HPDataType x);
//删除堆顶的数据，保持它继续是堆
void HeapPop(HP* php);
//获取堆顶的数据，也就是最值
HPDataType HeapTop(HP* php);
//判空
bool HeapEmpty(HP* php);
//堆的数据个数
int HeapSize(HP* php);
//输出
void HeapPrint(HP* php);

    2️⃣ TOP-K.c，用于函数的定义

#include"TOP-K.h"

void Swap(int* px, int* py)
{ 
   
	int temp = *px;
	*px = *py;
	*py = temp;
}
void AdjustDown(int* arr, int n, int parent)
{ 
   
	int child = parent * 2 + 1;
	while (child < n)
	{ 
   
		if (arr[child] > arr[child + 1] && child + 1 < n)
		{ 
   
			child++;
		}
		if (arr[child] < arr[parent])
		{ 
   
			Swap(&arr[child], &arr[parent]);
			parent = child;
			child = parent * 2 + 1;
		}
		else
		{ 
   
			break;
		}
	}
}
void AdjustUp(int* a, int child)
{ 
   
	int parent = (child - 1) / 2;
	while (child > 0)
	{ 
   
		if (a[child] < a[parent])
		{ 
   
			Swap(&a[child], &a[parent]);
			child = parent;
			parent = (child - 1) / 2;
		}
		else
		{ 
   
			break;
		}
	}
}
void HeapPrint(HP* php)
{ 
   
	assert(php);

	int i = 0;
	for (i = 0; i < php->size; i++)
	{ 
   
		printf("%d ", php->a[i]);
	}
	printf("\n");
}
//1、对于HeapCreate函数，结构体不是外面传进来的，而是在函数内部自己malloc空间，再创建的
/* HP* HeapCreate(HPDataType* a, int n) {} */
//2、对于HeapInit函数，在外面定义一个结构体，把结构体的地址传进来
void HeapInit(HP* php, HPDataType* a, int n)
{ 
   00j000	
	assert(php);
	//malloc空间(当前数组大小一样的空间)
	php->a = (HPDataType*)malloc(sizeof(HPDataType) * n);
	if (php->a == NULL)
	{ 
   
		printf("malloc fail\n");
		exit(-1);
	}
	//使用数组初始化
	memcpy(php->a, a, sizeof(HPDataType) * n);
	php->size = n;
	php->capacity = n;
	//建堆 
	int i = 0;
	for (i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--)
	{ 
   
		AdjustDown(php->a, n, i);
	}
}
void HeapDestroy(HP* php)
{ 
   
	assert(php);
	free(php->a);
	php->a = NULL;
	php->size = php->capacity = 0;
}
bool HeapEmpty(HP* php)
{ 
   
	assert(php);
	return php->size == 0;
}
void HeapPush(HP* php, HPDataType x)
{ 
   
	assert(php);

	//空间不够，增容
	if (php->size == php->capacity)
	{ 
   
		HPDataType* temp = (HPDataType*)realloc(php->a, php->capacity * 2 * sizeof(HPDataType));
		if (temp == NULL)
		{ 
   
			printf("realloc fail\n");
			exit(-1);
		}
		else
		{ 
   
			php->a = temp;
		}
		php->capacity *= 2;
	}
	//将x放在最后
	php->a[php->size] = x;
	php->size++;
	//向上调整
	AdjustUp(php->a, php->size - 1);
}
void HeapPop(HP* php)
{ 
   
	assert(php);
	//没有数据删除就报错
	assert(!HeapEmpty(php));
	//交换首尾
	Swap(&php->a[0], &php->a[php->size - 1]);
	php->size--;
	//向下调整
	AdjustDown(php->a, php->size, 0);
}
HPDataType HeapTop(HP* php)
{ 
   
	assert(php);
	//没有数据获取就报错
	assert(!HeapEmpty(php));

	return php->a[0];
}
int HeapSize(HP* php)
{ 
   
	assert(php);

	return php->size;
}

    3️⃣ Test.c，用于函数的测试

#include"TOP-K.h"

void PrintTopK(int* a, int n, int k)
{ 
   
	HP hp;
	HeapInit(&hp, a, k);

	int i = 0;
	for (i = k; i < n; i++)
	{ 
   
		//比较堆顶的数据
		if (a[i] > HeapTop(&hp))
		{ 
   
			HeapPop(&hp);
			HeapPush(&hp, a[i]);
		}
	}

	HeapPrint(&hp);
	HeapDestroy(&hp);
}
void TestTopk()
{ 
   
	int n = 100000;
	int* a = (int*)malloc(sizeof(int)*n);
	//创建随机数种子
	srand((unsigned int)time(0));
	//生成随机数
	for (size_t i = 0; i < n; ++i)
	{ 
   
		a[i] = rand() % 1000000;
	}
	//如果找出这10个数，说明TOP-K算法是正确的
	a[5] = 1000000 + 1;
	a[1231] = 1000000 + 2;
	a[531] = 1000000 + 3;
	a[5121] = 1000000 + 4;
	a[115] = 1000000 + 5;
	a[2335] = 1000000 + 6;
	a[9999] = 1000000 + 7;
	a[76] = 1000000 + 8;
	a[423] = 1000000 + 9;
	a[3144] = 1000000 + 10;

	PrintTopK(a, n, 10);
}

int main()
{ 
   
	TestTopk();
	return 0;
}

四、二叉树链式结构及实现

? 前置说明

普通二叉树的增删查改复杂且没有意义，所以我们并不打算学习它的增删查改，主要是学习它的结构
在学习二叉树的基本操作前，需先要创建一棵二叉树，然后才能学习其相关的基本操作。
由于现在对二叉树结构掌握还不够深入，为了降低学习成本，此处手动快速创建一棵简单的二叉树，以此快速进入二叉树操作学习，等二叉树结构了解的差不多时，我们反过头再来研究二叉树真正的创建方式。

⚠ 以下代码并不是创建二叉树的方式，真正创建二叉树方式后序详解重点讲解

❗ 回顾二叉树 ❕

  1️⃣ 空树

  2️⃣ 非空：根节点，根节点的左子树、根节点的右子树组成

? 从概念中可以看出，二叉树定义是递归式的，因此后序基本操作中基本都是按照该概念实现的。

typedef int BTDataType;
typedef struct BinaryTreeNode
{ 
   
	BTDataType _data;
	struct BinaryTreeNode* _left;
	struct BinaryTreeNode* _right; 
}BTNode; 

BTNode* CreatBinaryTree()
{ 
   
	BTNode* node1 = BuyNode('A');
	BTNode* node2 = BuyNode('B');
	BTNode* node3 = BuyNode('C');
	BTNode* node4 = BuyNode('D');
	BTNode* node5 = BuyNode('E');
	BTNode* node6 = BuyNode('F');

	node1->_left = node2;
	node1->_right = node3;
	node2->_left = node4;
	node3->_left = node5;
	node3->_right = node6;
	
	return node1; 
 }
 

? 二叉树的遍历

学习二叉树结构，最简单的方式就是遍历。所谓二叉树遍历 (Traversal) 是按照某种特定的规则，依次对二叉树中的节点进行相应的操作，并且每个节点只操作一次。
访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题。 遍历是二叉树上最重要的运算之一，也是二叉树上进行其它运算的基础。

其实这种就是递归的思想，且在现实生活中也经常使用到 —— 比如 1 位校长要统计学校的人数，他不可能亲自去挨个数，一般是通过院长、系主任、辅导员、班长、舍长的层层反馈才得到结果的

1️⃣ 前序遍厉： 根   左子树  右子树

2️⃣ 中序遍厉： 左子树   根  右子树

3️⃣ 后序遍厉： 左子树  右子树  根

4️⃣ 层序遍厉： 一层一层的遍

在之前就提到过深度和广度，其实指的就是这个：

1️⃣ 深度优先遍厉：前序遍厉、中序遍厉、后序遍厉，注意有些说法只认同前序遍厉

2️⃣ 广度优先遍厉：层序遍厉

1、前序、中序以及后序遍历

1️⃣ 前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历) —— 访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之前。

2️⃣ 中序遍历(Inorder Traversal) —— 访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之中（间）。

3️⃣ 后序遍历(Postorder Traversal) —— 访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之后。

由于被访问的结点必是某子树的根，所以N(Node）、L(Left subtree）和R(Right subtree）又可解释为根、根的左子树和根的右子树。NLR、LNR和LRN分别又称为先根遍历、中根遍历和后根遍历。

// 二叉树前序遍历
void PreOrder(BTNode* root);
// 二叉树中序遍历
void InOrder(BTNode* root);
// 二叉树后序遍历
void PostOrder(BTNode* root);

---

❗ 实现 ❕

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>

typedef int BTDataType;
typedef struct BinaryTreeNode
{ 
   
	BTDataType _data;
	struct BinaryTreeNode* _left;
	struct BinaryTreeNode* _right; 
}BTNode; 

BTNode* BuyNode(BTDataType x)
{ 
   
	BTNode* node = malloc(sizeof(BTNode));
	node->_data = x;
	node->_left = NULL;
	node->_right = NULL;
	
	return node;
}

BTNode* CreatBinaryTree()
{ 
   
	BTNode* node1 = BuyNode('A');
	BTNode* node2 = BuyNode('B');
	BTNode* node3 = BuyNode('C');
	BTNode* node4 = BuyNode('D');
	BTNode* node5 = BuyNode('E');
	BTNode* node6 = BuyNode('F');

	node1->_left = node2;
	node1->_right = node3;
	node2->_left = node4;
	node3->_left = node5;
	node3->_right = node6;
	
	return node1; 
 }
//二叉树前序遍历
void PreOrder(BTNode* root)
{ 
   
	if(root == NULL)
	{ 
   
		printf("NULL ");
		return;
	}
	printf("%c ", root->_data);
	PreOrder(root->_left);
	PreOrder(root->_right);
}
//二叉树中序遍历
void InOrder(BTNode* root)
{ 
   
	if(root == NULL)
	{ 
   
		printf("NULL ");
		return;
	}
	InOrder(root->_left);
	printf("%c ", root->_data);
	InOrder(root->_right);
}
//二叉树后序遍历
void PostOrder(BTNode* root)
{ 
   
	if(root == NULL)
	{ 
   
		printf("NULL ");
		return;
	}
	PostOrder(root->_left);
	PostOrder(root->_right);
	printf("%c ", root->_data);
}
//构建二叉树
void TestTree()
{ 
   
	BTNode* root = CreatBinaryTree();
	PreOrder(root);
}

int main()
{ 
   
	TestTree();
	return 0;
}

? 分析：

以上真正的核心代码是 PreOrder、InOrder、PostOrder 函数的递归调用短短几行代码却执行了如此复杂的计算，这里豌豆太懒了就只画一个展开图：

❗ PreOrder ❕

2、层序遍历

除了先序遍历、中序遍历、后序遍历外，还可以对二叉树进行层序遍历。
设二叉树的根节点所在层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第2层上的节点，接着是第三层的节点，
以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。

// 层序遍历 - 在下面实现
void LevelOrder(BTNode* root);

3、概念选择题 (如何利用已知限有条件构建二叉树)

1.某完全二叉树按层次输出（同一层从左到右）的序列为 ABCDEFGH 。该完全二叉树的前序序列为（ ）

A. ABDHECFG

B. ABCDEFGH

C. HDBEAFCG

D. HDEBFGCA

? 分析

所以选择 A 选项

---

2.二叉树的先序遍历和中序遍历如下：先序遍历：EFHIGJK; 中序遍历：HFIEJKG; 则二叉树根结点为（ ）

A. E

B. F

C. G

D. H

? 分析

根据这棵树的先序遍厉、中序遍厉并不能重建 (其实可以重建的，详情看下题) 这棵树。但是这里并不需要重建，因为先序遍厉是从根开始的。

所以选择 A 选项

–

3.设—课二叉树的中序遍历序列: badce，后序遍历序列: bdeca, 则二叉树前序遍历序列为（ ）

A. adbce

B. decab

C. debac

D. abcde

? 分析

这里在没有 # 的情况下，满足以下条件即可构建出二叉树

所以选择 D 选项

---

4.某二叉树的后序遍历序列与中序遍历序列相同，均为 ABCDEF，则按层次输出 (同一层从左到右) 的序列为（ ）

A. FEDCBA

B. CBAFED

C. DEFCBA

D. ABCDEF

? 分析

显然这道题作为选择题来说一眼就能知道答案：根据它的后序遍厉知道根是 F

所以选择 A 选项

---

❓ 如果知道了前中后序遍历序列，不包括 #(空) ，能否构建一棵二叉树 ❔

     不能构建，但满足以下的条件即可构建：

? 节点个数以及高度等

❓ 实现以下接口 ❔

// 二叉树节点个数
int BinaryTreeSize(BTNode* root);
// 二叉树叶子节点个数
int BinaryTreeLeafSize(BTNode* root);
// 二叉树第k层节点个数
int BinaryTreeLevelKSize(BTNode* root, int k);
//二叉树深度/高度
int BinaryTreeDepth(BTNode* root)
// 二叉树查找值为x的节点
BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDataType x);

❗ 实现代码 ❕

  ❤ BinaryTreeSize ❤

    ? 核心思想1 ：使用前序 || 中序 || 后序遍历，全局变量记录

    ❌ 但是以下代码有 Bug ：如果采用前序重复遍历 2 次

    ✔ 经查，问题出在全局变量上，这里只需要在第 2 次遍历时置 0 即可

    ⚠ 在以后的知识面更大后，其实你会发现这种操作还有线程安全的问题

    ? 核心思想 2：函数使用带返回值的方式，其内部的递归本质上是一个后序遍厉

  ❤ BinaryTreeLeafSize ❤

    ? 核心思想 ：以 left 和 right 为标志，如果都为 NULL，则累加

  ❤ BinaryTreeLevelKSize ❤

    ? 核心思想 ：求当前树的第 k 层 = 左子树的第 k – 1 层 +　右子树的第 k – 1 层 (当 k = 1 时，说明此层就是目标层)

  ❤ BinaryTreeDepth ❤

    ? 核心思想 ：当前树的深度 = max (左子树的深度，右子树的深度) + 1

  ❤ BinaryTreeFind ❤

    ? 核心思想 ：

      1、先判断是不是当前节点，是就返回；

      2、先去左树找，找到就返回

      3、左树没找到，再找右树

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>

typedef int BTDataType;
typedef struct BinaryTreeNode
{ 
   
	BTDataType data;
	struct BinaryTreeNode* left;
	struct BinaryTreeNode* right;
}BTNode;

BTNode* BuyNode(BTDataType x)
{ 
   
	BTNode* node = malloc(sizeof(BTNode));
	node->data = x;
	node->left = NULL;
	node->right = NULL;

	return node;
}
// 二叉树节点个数
	//1、前序递归遍历
int sz1 = 0;
void BinaryTreeSize1(BTNode* root)
{ 
   
	if (root == NULL)
		return;
	else
		sz1++;
	BinaryTreeSize1(root->left);
	BinaryTreeSize1(root->right);
}
//2、中序递归遍历
int sz2 = 0;
void BinaryTreeSize2(BTNode* root)
{ 
   
	if (root == NULL)
		return;
	BinaryTreeSize2(root->left);
	if (root != NULL)
		sz2++;
	BinaryTreeSize2(root->right);
}
//3、后序递归遍历
int sz3 = 0;
void BinaryTreeSize3(BTNode* root)
{ 
   
	if (root == NULL)
		return;
	BinaryTreeSize3(root->left);
	BinaryTreeSize3(root->right);
	if (root != NULL)
		sz3++;
}
// 二叉树节点个数
int BinaryTreeSize(BTNode* root)
{ 
   
	return root == NULL ? 0 : 1 + BinaryTreeSize(root->left) + BinaryTreeSize(root->right);
}
//二叉树叶子节点个数
int BinaryTreeLeaSize(BTNode* root)
{ 
   
	if (root == NULL)
	{ 
   
		return 0;
	}
	else if (root->left == NULL && root->right == NULL)
	{ 
   
		return 1;
	}
	else
	{ 
   
		return BinaryTreeLeaSize(root->left) + BinaryTreeLeaSize(root->right);
	}
}
//二叉树第k层节点个数
int BinaryTreeLeveLKSize(BTNode* root, int k)
{ 
   
	if (root == NULL)
	{ 
   
		return 0;
	}
	if (k == 1)
	{ 
   
		return 1;
	}

	return BinaryTreeLeveLKSize(root->left, k - 1) + BinaryTreeLeveLKSize(root->right, k - 1);
}
//二叉树的深度/高度 
int BinaryTreeDepth(BTNode* root)
{ 
   
	if (root == NULL)
	{ 
   
		return 0;
	}
	int leftDepth = BinaryTreeDepth(root->left);
	int rightDepth = BinaryTreeDepth(root->right);

	return leftDepth > rightDepth ? leftDepth + 1 : rightDepth + 1;
}
// 二叉树查找值为x的节点
BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDataType x)
{ 
   
	if (root == NULL)
	{ 
   
		return NULL;
	}
	if (root->data == x)
	{ 
   
		return root;
	}
	BTNode* retleft = BinaryTreeFind(root->left, x);
	if (retleft)
	{ 
   
		return retleft;
	}
	BTNode* retright = BinaryTreeFind(root->right, x);
	if (retright)
	{ 
   
		return retright;
	}
	return NULL;
}
BTNode* CreatBinaryTree()
{ 
   
	BTNode* node1 = BuyNode('A');
	BTNode* node2 = BuyNode('B');
	BTNode* node3 = BuyNode('C');
	BTNode* node4 = BuyNode('D');
	BTNode* node5 = BuyNode('E');
	BTNode* node6 = BuyNode('F');

	node1->left = node2;
	node1->right = node3;
	node2->left = node4;
	node3->left = node5;
	node3->right = node6;

	return node1;
}

void PreOrder(BTNode* root)
{ 
   
	if (root == NULL)
	{ 
   
		printf("NULL ");
		return;
	}
	printf("%c ", root->data);
	PreOrder(root->left);
	PreOrder(root->right);
}
int main()
{ 
   
	BTNode* root = CreatBinaryTree();
	//遍厉前中后序输出二叉树节点的个数
	BinaryTreeSize1(root);
	BinaryTreeSize2(root);
	BinaryTreeSize3(root);
	printf("BinaryTreeSize:%d\n", sz1);
	printf("BinaryTreeSize:%d\n", sz2);
	printf("BinaryTreeSize:%d\n", sz3);
	printf("-----------------cur-----------------\n");
	//优化二叉树节点的个数
	printf("BinaryTreeSize:%d\n", BinaryTreeSize(root));
	printf("-----------------cur-----------------\n");
	//二叉树叶子节点个数
	printf("BinaryTreeLeaSize:%d\n", BinaryTreeLeaSize(root));
	printf("-----------------cur-----------------\n");
	//二叉树第k层节点个数
	printf("BinaryTreeLeveLKSize:%d\n", BinaryTreeLeveLKSize(root, 3));
	printf("-----------------cur-----------------\n");
	//二叉树的深度/高度 
	printf("BinaryTreeDepth:%d\n", BinaryTreeDepth(root));
	printf("-----------------cur-----------------\n");
	// 二叉树查找值为x的节点
	BTNode* ret = BinaryTreeFind(root, 'D');
	if(ret)
	{ 
   
		printf("找到了\n");
	}
	else
	{ 
   
		printf("没找到\n");
	}

	PreOrder(root);
	return 0;
}

? 二叉树基础oj练习

1、单值二叉树＜难度系数⭐＞

? 题述：如果二叉树每个节点都具有相同的值，那么该二叉树就是单值二叉树。只有给定的树是单值二叉树时，才返回 true；否则返回 false。

? 示例 1：

输入：[1,1,1,1,1,null,1]

输出：true

? 示例 2：

输入：[2,2,2,5,2]

输出：false

⚠ 注意：

1️⃣ 给定树的节点数范围是 [1, 100]。

2️⃣ 每个节点的值都是整数，范围为 [0, 99] 。

? 平台：Visual studio 2017 && windows

? 核心思想：

在数学中大家都知道等号具有传递性，如 a = b , b = c，那么 a = c 。

那么这里

a == b && a == c

b == d && b == e

… …

在每层栈帧中：如果那个节点为空返回 true；判断左右子树与根，如果不相等返回 false ；相等继续递归

leetcode原题

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<stdbool.h>

typedef int BTDataType;
typedef struct TreeNode 
{ 
   
	int val;
	struct TreeNode *left;
	struct TreeNode *right;
}BTNode;
//单值二叉树
bool isUnivalTree(struct TreeNode* root) { 
   
	if (root == NULL)
	{ 
   
		return true;
	}
	//左树不为空且左树不等于根val
	if (root->left && root->left->val != root->val)
	{ 
   
		return false;		
	}
	//右树不为空且右树不等于根val
	if (root->right && root->right->val != root->val)
	{ 
   
		return false;
	}
	//递归
	return isUnivalTree(root->left) && isUnivalTree(root->right);
}
//malloc空间
BTNode* BuyNode(BTDataType x)
{ 
   
	BTNode* node = malloc(sizeof(BTNode));
	node->val = x;
	node->left = NULL;
	node->right = NULL;

	return node;
}
//创建树
BTNode* CreatBinaryTree()
{ 
   
	BTNode* node1 = BuyNode('A');
	BTNode* node2 = BuyNode('A');
	BTNode* node3 = BuyNode('A');
	BTNode* node4 = BuyNode('A');
	BTNode* node5 = BuyNode('A');
	BTNode* node6 = BuyNode('A');

	node1->left = node2;
	node1->right = node3;
	node2->left = node4;
	node2->right = node5;
	node3->right = node6;

	return node1;
}

int main()
{ 
   
	BTNode* root = CreatBinaryTree();
	printf("%d\n", isUnivalTree(root));
	return 0;
}

2、检查两颗树是否相同＜难度系数⭐＞

? 题述：给你两棵二叉树的根节点 p 和 q ，编写一个函数来检验这两棵树是否相同。如果两个树在结构上相同，并且节点具有相同的值，则认为它们是相同的。

? 示例 1：

输入：p = [1,2,3], q = [1,2,3]
输出：true

? 示例 2：

输入：p = [1,2], q = [1,null,2]
输出：false

? 示例 3：

输入：p = [1,2,1], q = [1,1,2]
输出：false

⚠ 注意：

1️⃣ 两棵树上的节点数目都在范围 [0, 100] 内

2️⃣ -10⁴ <= Node.val <= 10⁴

? 平台：Visual studio 2017 && windows

? 核心思想：在递归时每一层函数的栈帧中存在这样的条件：p 为空，q 也为空，返回 true；p 或者 q 只有一个为空，返回 false；p 和 q 的 val 不等，返回 false；否则 p 和 q 的 val 是相等的才递归

leetcode原题

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<stdbool.h>

typedef int BTDataType;
typedef struct TreeNode 
{ 
   
	int val;
	struct TreeNode *left;
	struct TreeNode *right;
}BTNode;

//malloc空间
BTNode* BuyNode(BTDataType x)
{ 
   
	BTNode* node = malloc(sizeof(BTNode));
	node->val = x;
	node->left = NULL;
	node->right = NULL;

	return node;
}
//创建树1
BTNode* CreatBinaryTree1()
{ 
   
	BTNode* node1 = BuyNode(1);
	BTNode* node2 = BuyNode(2);
	BTNode* node3 = BuyNode(3);

	node1->right = node2;
	node2->left = node3;

	return node1;
}
//创建树2
BTNode* CreatBinaryTree2()
{ 
   
	BTNode* node1 = BuyNode(1);
	BTNode* node2 = BuyNode(2);
	BTNode* node3 = BuyNode(3);

	node1->right = node2;
	node2->left = node3;

	return node1;
}
//相同的树
bool isSameTree(struct TreeNode* p, struct TreeNode* q) { 
   
	//p为空，q也为空
	if (p == NULL && q == NULL)
		return true;
	//p和q只有1个为空
	if (p == NULL || q == NULL)
		return false;
	//p和q的val不等
	if (p->val != q->val)
		return false;
	//相等递归
	return isSameTree(p->left, q->left) && isSameTree(p->right, q->right);
}
int main()
{ 
   
	BTNode* root1 = CreatBinaryTree1();
	BTNode* root2 = CreatBinaryTree2();
	printf("%d\n", isSameTree(root1, root2));
	return 0;
}

3、对称二叉树＜难度系数⭐＞

? 题述：给定一个二叉树，检查它是否是镜像对称的。

? 示例 1：

[1,2,2,3,4,4,3] 是镜像对称的

? 示例 2：

[1,2,2,null,3,null,3] 则不是镜像对称的

? 平台：Visual studio 2017 && windows

? 核心思想：在递归时每一层函数的栈帧中存在这样的条件：root1 和 root2 同时为空，返回 true；root1 和 root2 只有一个为空返回 false；root1 和 root2 的 val 不等，返回 false；否则 root1 和 root2 是相等的继续递归。

leetcode原题

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<stdbool.h>

typedef int BTDataType;
typedef struct TreeNode 
{ 
   
	int val;
	struct TreeNode *left;
	struct TreeNode *right;
}BTNode;

//malloc空间
BTNode* BuyNode(BTDataType x)
{ 
   
	BTNode* node = malloc(sizeof(BTNode));
	node->val = x;
	node->left = NULL;
	node->right = NULL;

	return node;
}
//创建树
BTNode* CreatBinaryTree()
{ 
   
	BTNode* node1 = BuyNode(1);
	BTNode* node2 = BuyNode(2);
	BTNode* node3 = BuyNode(2);
	BTNode* node4 = BuyNode(3);
	BTNode* node5 = BuyNode(4);
	BTNode* node6 = BuyNode(4);
	BTNode* node7 = BuyNode(3);

	node1->left = node2;
	node1->right = node3;
	node2->left = node4;
	node2->right = node5;
	node3->left = node6;
	node3->right = node7;

	return node1;
}
//实现递归的子函数
bool _isSymmetric(struct TreeNode* root1, struct TreeNode* root2) { 
   
	//root1和root2同时为空
	if (root1 == NULL && root2 == NULL)
		return true;
	//root1和root2只有一个为空
	if (root1 == NULL || root2 == NULL)
		return false;
	//root1和root2的val不等
	if (root1->val != root2->val)
		return false;
	//相等继续递归
	return _isSymmetric(root1->left, root2->right) && _isSymmetric(root1->right, root2->left);
}
//对称二叉树
bool isSymmetric(struct TreeNode* root) { 
   
	//空树就返回true
	if (root == NULL)
		return true;
	//否则调用子函数判断左右子树
	return _isSymmetric(root->left, root->right);
}
int main()
{ 
   
	BTNode* root = CreatBinaryTree();
	printf("%d\n", isSymmetric(root));
	return 0;
}

4、二叉树的前序遍历＜难度系数⭐＞

? 题述：给你二叉树的根节点 root ，返回它节点值的前序遍历。

? 示例 1：

输入：root = [1,null,2,3]
输出：[1,2,3]

? 示例 2：

输入：root = []
输出：[]

? 示例 3：

输入：root = [1]
输出：[1]

? 示例 4：

输入：root = [1,2]
输出：[1,2]

? 示例 5：

输入：root = [1,null,2]
输出：[1,2]

⚠ 注意：

1️⃣ 树中节点数目在范围 [0, 100] 内

2️⃣ -100 <= Node.val <= 100

? 平台：Visual studio 2017 && windows

? 核心思想：先实现 TreeSize 计算出二叉树的节点个数给 returnSize，并开辟好 returnSize 个 int 类型大小的数组。再调用子函数进行前序递归：如果每层函数栈帧中节点为空则结束栈帧，否则把节点放到数组里，并继续递归

leetcode原题

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<stdbool.h>

typedef int BTDataType;
typedef struct TreeNode 
{ 
   
	int val;
	struct TreeNode *left;
	struct TreeNode *right;
}BTNode;

//malloc空间
BTNode* BuyNode(BTDataType x)
{ 
   
	BTNode* node = malloc(sizeof(BTNode));
	node->val = x;
	node->left = NULL;
	node->right = NULL;

	return node;
}
//创建树
BTNode* CreatBinaryTree()
{ 
   
	BTNode* node1 = BuyNode(1);
	BTNode* node2 = BuyNode(2);
	BTNode* node3 = BuyNode(3);

	node1->right = node2;
	node2->left = node3;

	return node1;
}

//求二叉树节点的个数
int TreeSize(struct TreeNode* root)
{ 
   
	if (root == NULL)
	{ 
   
		return 0;
	}
	return TreeSize(root->left) + TreeSize(root->right) + 1;
}
//子函数用于递归 - 使用前序的方式
void _preorderTraversal(struct TreeNode* root, int* arr, int* pi)
{ 
   
	if (root == NULL)
		return;
	//放节点
	arr[(*pi)++] = root->val;
	_preorderTraversal(root->left, arr, pi);
	_preorderTraversal(root->right, arr, pi);
}
//Note: The returned array must be malloced, assume caller calls free().
 //二叉树的前序遍厉
int* preorderTraversal(struct TreeNode* root, int* returnSize) { 
   
	//*returnSize用于接收二叉树的节点个数
	*returnSize = TreeSize(root);
	//开辟*returnSize个int类型大小的空间
	int* arr = (struct TreeSize*)malloc(sizeof(int)* *returnSize);
	//因为preorderTraversal不适合递归，所以需要一个子函数；这里每一次递归都是一层函数栈帧，所以对于i来说想要保留正确的下标就要传地址
	int i = 0;
	_preorderTraversal(root, arr, &i);
	return arr;
}
int main()
{ 
   
	int returnSize = 0;
	BTNode* root = CreatBinaryTree();
	int* arr = preorderTraversal(root, &returnSize);
	return 0;
}

5、二叉树中序遍历＜难度系数⭐＞

? 题述：给定一个二叉树的根节点 root ，返回它的中序遍历。

? 示例 1：

输入：root = [1,null,2,3]
输出：[1,2,3]

? 示例 2：

输入：root = []
输出：[]

? 示例 3：

输入：root = [1]
输出：[1]

? 示例 4：

输入：root = [1,2]
输出：[1,2]

? 示例 5：

输入：root = [1,null,2]
输出：[1,2]

⚠ 注意：

1️⃣ 树中节点数目在范围 [0, 100] 内

2️⃣ -100 <= Node.val <= 100

? 平台：Visual studio 2017 && windows

? 核心思想：类似前序

leetcode原题

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<stdbool.h>

typedef int BTDataType;
typedef struct TreeNode
{ 
   
	int val;
	struct TreeNode *left;
	struct TreeNode *right;
}BTNode;

//malloc空间
BTNode* BuyNode(BTDataType x)
{ 
   
	BTNode* node = malloc(sizeof(BTNode));
	node->val = x;
	node->left = NULL;
	node->right = NULL;

	return node;
}
//创建树
BTNode* CreatBinaryTree()
{ 
   
	BTNode* node1 = BuyNode(1);
	BTNode* node2 = BuyNode(2);
	BTNode* node3 = BuyNode(3);

	node1->right = node2;
	node2->left = node3;

	return node1;
}

//求二叉树节点的个数
int TreeSize(struct TreeNode* root)
{ 
   
	if (root == NULL)
	{ 
   
		return 0;
	}
	return TreeSize(root->left) + TreeSize(root->right) + 1;
}
//子函数用于递归 - 使用中序的方式
void _inorderTraversal(struct TreeNode* root, int* arr, int* pi)
{ 
   
    if(root == NULL)
        return;
    _inorderTraversal(root->left, arr, pi);
    arr[(*pi)++] = root->val;
    _inorderTraversal(root->right, arr, pi);
}
//Note: The returned array must be malloced, assume caller calls free().
//二叉树的中序遍厉
int* inorderTraversal(struct TreeNode* root, int* returnSize){ 
   
    //*returnSize接收二叉树的节点个数
    *returnSize = TreeSize(root);
    //开辟*returnSize个int类型大小的空间
    int* arr = (struct TreeNode*)malloc(sizeof(int)* * returnSize);
    //递归调用子函数
    int i = 0;
    _inorderTraversal(root, arr, &i);
    return arr;
}
int main()
{ 
   
	int returnSize = 0;
	BTNode* root = CreatBinaryTree();
	int* arr = inorderTraversal(root, &returnSize);
	return 0;
}

6、二叉树的后序遍历＜难度系数⭐＞

? 题述：给定一个二叉树，返回它的后序遍历。

? 示例 ：

输入: [1,null,2,3]
输出: [3,2,1]

? 平台：Visual studio 2017 && windows

? 核心思想：类似前序

leetcode原题

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<stdbool.h>

typedef int BTDataType;
typedef struct TreeNode
{ 
   
	int val;
	struct TreeNode *left;
	struct TreeNode *right;
}BTNode;

//malloc空间
BTNode* BuyNode(BTDataType x)
{ 
   
	BTNode* node = malloc(sizeof(BTNode));
	node->val = x;
	node->left = NULL;
	node->right = NULL;

	return node;
}
//创建树
BTNode* CreatBinaryTree()
{ 
   
	BTNode* node1 = BuyNode(1);
	BTNode* node2 = BuyNode(2);
	BTNode* node3 = BuyNode(3);

	node1->right = node2;
	node2->left = node3;

	return node1;
}

//求二叉树节点的个数
int TreeSize(struct TreeNode* root)
{ 
   
	if (root == NULL)
	{ 
   
		return 0;
	}
	return TreeSize(root->left) + TreeSize(root->right) + 1;
}
//子函数用于递归 - 使用后序的方式
void _postorderTraversal(struct TreeNode* root, int* arr, int* pi)
{ 
   
	if (root == NULL)
		return;
	_postorderTraversal(root->left, arr, pi);
	_postorderTraversal(root->right, arr, pi);
	arr[(*pi)++] = root->val;
}
//Note: The returned array must be malloced, assume caller calls free().
//二叉树的后序遍历
int* postorderTraversal(struct TreeNode* root, int* returnSize) { 
   
	//*returnSize接收二叉树的节点个数
	*returnSize = TreeSize(root);
	//开辟*returnSize个int类型大小的空间
	int* arr = (struct TreeNode*)malloc(sizeof(int)* * returnSize);
	//递归调用子函数
	int i = 0;
	_postorderTraversal(root, arr, &i);
	return arr;
}
int main()
{ 
   
	int returnSize = 0;
	BTNode* root = CreatBinaryTree();
	int* arr = postorderTraversal(root, &returnSize);
	return 0;
}

7、另一颗树的子树＜难度系数⭐＞

? 题述：给你两棵二叉树 root 和 subRoot 。检验 root 中是否包含和 subRoot 具有相同结构和节点值的子树。如果存在，返回 true ；否则，返回 false 。二叉树 tree 的一棵子树包括 tree 的某个节点和这个节点的所有后代节点。tree 也可以看做它自身的一棵子树。

? 示例 1：

输入：root = [3,4,5,1,2], subRoot = [4,1,2]
输出：true

? 示例 2：

输入：root = [3,4,5,1,2,null,null,null,null,0], subRoot = [4,1,2]
输出：false

⚠ 注意：

1️⃣ root 树上的节点数量范围是 [1, 2000]

2️⃣ subRoot 树上的节点数量范围是 [1, 1000]

3️⃣ -104 <= root.val <= 104

4️⃣ -104 <= subRoot.val <= 104

? 平台：Visual studio 2017 && windows

? 核心思想：每一层函数栈帧中都包括：如果 root 等于空，返回 false；如果调用相同的树为真，返回 true；否则继续递归

leetcode原题

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<stdbool.h>

typedef int BTDataType;
typedef struct TreeNode 
{ 
   
	int val;
	struct TreeNode *left;
	struct TreeNode *right;
}BTNode;

//malloc空间
BTNode* BuyNode(BTDataType x)
{ 
   
	BTNode* node = malloc(sizeof(BTNode));
	node->val = x;
	node->left = NULL;
	node->right = NULL;

	return node;
}
//创建树1
BTNode* CreatBinaryTree1()
{ 
   
	BTNode* node1 = BuyNode(3);
	BTNode* node2 = BuyNode(4);
	BTNode* node3 = BuyNode(5);
	BTNode* node4 = BuyNode(1);
	BTNode* node5 = BuyNode(2);

	node1->left = node2;
	node1->right = node3;
	node2->left = node4;
	node2->right = node5;

	return node1;
}
//创建树2
BTNode* CreatBinaryTree2()
{ 
   
	BTNode* node1 = BuyNode(4);
	BTNode* node2 = BuyNode(1);
	BTNode* node3 = BuyNode(2);

	node1->left = node2;
	node1->right = node3;

	return node1;
}
//相同的树
bool isSameTree(struct TreeNode* p, struct TreeNode* q) { 
   
	//p为空，q也为空
	if (p == NULL && q == NULL)
		return true;
	//p和q只有1个为空
	if (p == NULL || q == NULL)
		return false;
	//p和q的val不等
	if (p->val != q->val)
		return false;
	//相等递归
	return isSameTree(p->left, q->left) && isSameTree(p->right, q->right);
}
//另一棵树的子树
bool isSubtree(struct TreeNode* root, struct TreeNode* subRoot) { 
   
	//root等于空
	if (root == NULL)
		return false;
	//调用相同的树
	if (isSameTree(root, subRoot))
		return true;
	//继续递归
	return isSubtree(root->left, subRoot) || isSubtree(root->right, subRoot);
}
int main()
{ 
   
	BTNode* root1 = CreatBinaryTree1();
	BTNode* root2 = CreatBinaryTree2();

	printf("%d\n", isSubtree(root1, root2));

	return 0;
}

8、二叉树的构建及遍历＜难度系数⭐＞

? 题述：编一个程序，读入用户输入的一串先序遍历字符串，根据此字符串建立一个二叉树（以指针方式存储）。 例如如下的先序遍历字符串： ABC##DE#G##F### 其中“#”表示的是空格，空格字符代表空树。建立起此二叉树以后，再对二叉树进行中序遍历，输出遍历结果。

输入描述：

   输入包括1行字符串，长度不超过 100。

输出描述：

   可能有多组测试数据，对于每组数据， 输出将输入字符串建立二叉树后中序遍历的序列，每个字符后面都有一个
   空格。 每个输出结果占一行。

? 示例 ：

   输入：abc##de#g##f###

   输出：c b e g d f a

? 平台：Visual studio 2017 && windows

? 核心思想：

❗ 注意此题不同于上面的几道接口题，这里是 I/O 类型的题需要我们自己创建树 ❕

根据题意中先序遍历的字符串可以得到：

先前序构建树，再中序输出树

nowcode原题

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>

struct TreeNode
{ 
   
	char val;
	struct TreeNode* left;
	struct TreeNode* right;
};
//前序构建树
struct TreeNode* CreatTree(char* str, int* pi)
{ 
   
	if (str[*pi] == '#')
	{ 
   
		//空树数组的下标也要++，且为它malloc空间
		(*pi)++;
		return NULL;
	}
	//malloc空间
	struct TreeNode* root = (struct TreeNode*)malloc(sizeof(struct TreeNode));
	//前序递归
	root->val = str[(*pi)++];
	root->left = CreatTree(str, pi);
	root->right = CreatTree(str, pi);

	return root;
}
//中序输出树
void InOrder(struct TreeNode* root)
{ 
   
	if (root == NULL)
		return;
	InOrder(root->left);
	printf("%c ", root->val);
	InOrder(root->right);
}
int main()
{ 
   
	char str[100];
	scanf("%s", str);
	int i = 0;
	struct TreeNode* root = CreatTree(str, &i);
	InOrder(root);
	return 0;
}

? 二叉树的创建和销毁

//二叉树创建
BTNode* BinaryCreatBinaryTree();
// 二叉树销毁
void BinaryTreeDestroy(BTNode* root);

❗ BinaryCreatBinaryTree && BinaryTreeDestroy ❕

    注意对于 BinaryTreeDestroy 使用后序的方式销毁

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>

typedef int BTDataType;
typedef struct BinaryTreeNode
{ 
   
	BTDataType _data;
	struct BinaryTreeNode* _left;
	struct BinaryTreeNode* _right;
}BTNode;

BTNode* BuyNode(BTDataType x)
{ 
   
	BTNode* node = malloc(sizeof(BTNode));
	node->_data = x;
	node->_left = NULL;
	node->_right = NULL;

	return node;
}
//创建二叉树
BTNode* BinaryCreatBinaryTree()
{ 
   
	BTNode* node1 = BuyNode(1);
	BTNode* node2 = BuyNode(2);
	BTNode* node3 = BuyNode(3);
	BTNode* node4 = BuyNode(4);
	BTNode* node5 = BuyNode(5);
	BTNode* node6 = BuyNode(6);

	node1->_left = node2;
	node1->_right = node3;
	node2->_left = node4;
	node3->_left = node5;
	node3->_right = node6;

	return node1;
}
//后序销毁二叉树
void BinaryTreeDestroy(BTNode* root)
{ 
   
	if (root == NULL)
		return;
	BinaryTreeDestroy(root->_left);
	BinaryTreeDestroy(root->_right);
	free(root);
}
int main()
{ 
   
	BTNode* root = BinaryCreatBinaryTree();
	BinaryTreeDestroy(root);
	root = NULL;
	return 0;
}

? 二叉树的层序遍厉

//层序遍厉
void BinaryTreeLeveOrder(BTNode* root);
//判断二叉树是否是完全二叉树
bool BinaryTreeComplete(BTNode* root);

BinaryTreeLeveOrder：

? 核心思想 ?

    使用队列的方式：先入第一层，出上一层，再入下一层 … …

    需要使用之前实现的队列

BinaryTreeComplete：

? 核心思想 ?

    想必完全二叉树在此处出现一定跟层序有关系

    层序遍厉，把空也入队列

    完全二叉树，非空是连续的，空也是连续的

    非完全二叉树，非空就不是连续的，空也是不连续的

---

❗ 这里需要三个文件 ❕

    1️⃣ Queue_LeveOrder.h，用于函数的声明

#pragma once

//头
#include<stdio.h>
#include<assert.h>
#include<stdbool.h>
#include<stdlib.h>

//结构体
typedef struct BinaryTreeNode*  QDataType;
typedef struct QueueNode
{ 
   
	struct QueueNode* next; //指向下一个节点
	QDataType data; //存储整型数据
}QueueNode;

typedef struct Queue
{ 
   
	QueueNode* phead;//头指针
	QueueNode* ptail;//尾指针
}Queue;

//函数
void QueueInit(Queue* pq); 
void QueuePush(Queue* pq, QDataType x);	
bool QueueEmpty(Queue* pq);
void QueuePop(Queue* pq);
QDataType QueueSize(Queue* pq);
QDataType QueueFront(Queue* pq);
QDataType QueueBack(Queue* pq);
void QueueDestory(Queue* pq);

    2️⃣ Queue_LeveOrder.c，用于函数的实现

#include"Queue_LeveOrder.h"

void QueueInit(Queue* pq)
{ 
   
	assert(pq);
	//把2个指针置空
	pq->phead = pq->ptail = NULL;
}
void QueuePush(Queue* pq, QDataType x)
{ 
   
	assert(pq);
	//malloc空间,如果需要频繁的开辟空间建议再实现一个BuyQueueNode用于malloc
	QueueNode* newnode = (QueueNode*)malloc(sizeof(QueueNode));
	if (newnode == NULL)
	{ 
   
		printf("malloc fail\n");
		exit(-1);
	}
	newnode->data = x;
	newnode->next = NULL;
	//第一次插入
	if (pq->phead == NULL)
	{ 
   
		pq->phead = pq->ptail = newnode;
	}
	//非第一次插入
	else
	{ 
   
		pq->ptail->next = newnode;
		pq->ptail = newnode;
	}
}
bool QueueEmpty(Queue* pq)
{ 
   
	assert(pq);
	//空链表返回true，非空链表返回false
	return pq->phead == NULL;
}
void QueuePop(Queue* pq)
{ 
   
	assert(pq);
	//链表为空时不能删除
	assert(!QueueEmpty(pq));
	//只有一个节点的情况
	if (pq->phead->next == NULL)
	{ 
   
		free(pq->phead);
		pq->phead = pq->ptail = NULL;
	}
	//多个节点的情况
	else
	{ 
   
		QueueNode* next = pq->phead->next;
		free(pq->phead)	;
		pq->phead = next;
	}
}
QDataType QueueSize(Queue* pq)
{ 
   
	assert(pq);
	//如果需要频繁的调用QueueSize这个接口，可以在Queue这个结构体中增加一个成员用于记录长度
	int sz = 0;
	QueueNode* cur = pq->phead;
	while (cur)
	{ 
   
		sz++;
		cur = cur->next;
	}
	return sz;
}
QDataType QueueFront(Queue* pq)
{ 
   
	assert(pq);
	//链表为空时不能取头
	assert(!QueueEmpty(pq));
	
	return pq->phead->data;
}
QDataType QueueBack(Queue* pq)
{ 
   
	assert(pq);
	//链表为空时不能取尾
	assert(!QueueEmpty(pq));

	return pq->ptail->data;
}
void QueueDestory(Queue* pq)
{ 
   
	assert(pq);
	
	QueueNode* cur = pq->phead;
	//遍历链表
	while (cur)
	{ 
   
		QueueNode* next = cur->next;
		free(cur);
		cur = next;
	}
	pq->phead = pq->ptail = NULL;
}

    3️⃣ Test.c，用于函数的测试

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>

typedef int BTDataType;
typedef struct BinaryTreeNode
{ 
   
	BTDataType _data;
	struct BinaryTreeNode* _left;
	struct BinaryTreeNode* _right;
}BTNode;

//从此处包含Queue.h文件
#include"Queue_LeveOrder.h"

BTNode* BuyNode(BTDataType x)
{ 
   
	BTNode* node = malloc(sizeof(BTNode));
	node->_data = x;
	node->_left = NULL;
	node->_right = NULL;

	return node;
}
//创建二叉树
BTNode* BinaryCreatBinaryTree()
{ 
   
	BTNode* node1 = BuyNode(1);
	BTNode* node2 = BuyNode(2);
	BTNode* node3 = BuyNode(3);
	BTNode* node4 = BuyNode(4);
	BTNode* node5 = BuyNode(5);
	BTNode* node6 = BuyNode(6);

	node1->_left = node2;
	node1->_right = node3;
	node2->_left = node4;
	node3->_left = node5;
	node3->_right = node6;

	return node1;
}
//层序遍厉
void BinaryTreeLeveOrder(BTNode* root)
{ 
   
	Queue q;
	QueueInit(&q);
	if (root)
	{ 
   
		//入队列
		QueuePush(&q, root);
	}
	while (!QueueEmpty(&q))
	{ 
   
		//取队头的数据
		BTNode* front = QueueFront(&q);
		//出队
		QueuePop(&q);
		printf("%d ", front->_data);
		if (front->_left)
		{ 
   
			//入左子树
			QueuePush(&q, front->_left);
		}
		if (front->_right)
		{ 
   
			//入右子树
			QueuePush(&q, front->_right);
		}
	}
	printf("\n");
	QueueDestory(&q);
}
//判断二叉树是否是完全二叉树
bool BinaryTreeComplete(BTNode* root)
{ 
   
	Queue q;
	QueueInit(&q);
	if (root)
	{ 
   
		//入队列
		QueuePush(&q, root);
	}
	while (!QueueEmpty(&q))
	{ 
   
		//取队头的数据
		BTNode* front = QueueFront(&q);
		//出队
		QueuePop(&q);
		//遇到空就break出去再判断
		if(front == NULL)
		{ 
   
			break;
		}
		//入左子树
		QueuePush(&q, front->_left);
		//入右子树
		QueuePush(&q, front->_right);
	}
	//队列中全是空，就是完全二叉树；还有非空，就不是完全二叉树
	while(!QueueEmpty(&q))
	{ 
   
		BTNode* front = QueueFront(&q);
		QueuePop(&q);
		//非空
		if(front)
		{ 
   
			QueueDestory(&q);
			return false;
		}
	}
	//全是空
	QueueDestory(&q);
	return true;
}
//后序销毁二叉树
void BinaryTreeDestroy(BTNode* root)
{ 
   
	if (root == NULL)
		return;
	BinaryTreeDestroy(root->_left);
	BinaryTreeDestroy(root->_right);
	free(root);
}
int main()
{ 
   
	BTNode* root = BinaryCreatBinaryTree();
	BinaryTreeLeveOrder(root);
	printf("BinaryTreeComplete:%d\n", BinaryTreeComplete(root));
	BinaryTreeDestroy(root);
	root = NULL;
	return 0;
}