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请思考以下问题:
任意给定正整数n,请问在小于等于n的正整数之中,有多少个与n构成互质关系?(比如,在1到8之中,有多少个数与8构成互质关系?)
计算这个值的方法就叫做欧拉函数,以φ(n)表示。在1到8之中,与8形成互质关系的是1、3、5、7,所以 φ(n) = 4。
φ(n) 的计算方法并不复杂,但是为了得到最后那个公式,需要一步步讨论。
第一种情况
如果n=1,则 φ(1) = 1 。因为1与任何数(包括自身)都构成互质关系。
第二种情况
如果n是质数,则 φ(n)=n-1 。因为质数与小于它的每一个数,都构成互质关系。比如5与1、2、3、4都构成互质关系。
第三种情况
如果n是质数的某一个次方,即 n = p^k (p为质数,k为大于等于1的整数),则
比如 φ(8) = φ(2^3) =2^3 – 2^2 = 8 -4 = 4。
这是因为只有当一个数不包含质数p,才可能与n互质。而包含质数p的数一共有p^(k-1)个,即1×p、2×p、3×p、…、p^(k-1)×p,把它们去除,剩下的就是与n互质的数。
上面的式子还可以写成下面的形式:
可以看出,上面的第二种情况是 k=1 时的特例。
第四种情况
如果n可以分解成两个互质的整数之积,
n = p1 × p2
则
φ(n) = φ(p1p2) = φ(p1)φ(p2)
即积的欧拉函数等于各个因子的欧拉函数之积。比如,φ(56)=φ(8×7)=φ(8)×φ(7)=4×6=24。
这一条的证明要用到“中国剩余定理”,这里就不展开了,只简单说一下思路:如果a与p1互质(a<p1),b与p2互质(b<p2),c与p1p2互质(c<p1p2),则c与数对 (a,b) 是一一对应关系。由于a的值有φ(p1)种可能,b的值有φ(p2)种可能,则数对 (a,b) 有φ(p1)φ(p2)种可能,而c的值有φ(p1p2)种可能,所以φ(p1p2)就等于φ(p1)φ(p2)。
第五种情况
因为任意一个大于1的正整数,都可以写成一系列质数的积。
根据第4条的结论,得到
再根据第3条的结论,得到
也就等于
这就是欧拉函数的通用计算公式。比如,1323的欧拉函数,计算过程如下:
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