八皇后问题递归算法思想_迷宫在数据结构中的地位

八皇后问题递归算法思想_迷宫在数据结构中的地位一、迷宫回溯问题1.问题一个7*8的数组模拟迷宫,障碍用1表示,通路使用0表示,给定起点(1,1)和终点(6,5),要求给出起点到终点的通路2.解题思路首先,我们需要给程序一个寻向的基本策略,

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一、迷宫回溯问题

1.问题

一个7*8的数组模拟迷宫,障碍用1表示,通路使用0表示,给定起点(1,1)和终点(6,5),要求给出起点到终点的通路

八皇后问题递归算法思想_迷宫在数据结构中的地位八皇后问题递归算法思想_迷宫在数据结构中的地位

2.解题思路

  1. 首先,我们需要给程序一个寻向的基本策略,我们先假定寻向顺序为“下-右-上-左”,也就是说从起点出发,先往下走,往下走不通就往右…..以此类推
  2. 然后我们需要给走过的路一个标记,暂记为2
  3. 而当从一个方向走到一个只能原路返回的死胡同时,就给这段路标记为3
  4. 当抵达终点坐标(6,5)时程序结束

3.代码实现

3.1生成地图

/**
 * 创建一个二维数组,用于模拟8*7迷宫
 * 使用1表示不可通过的实心方块,0表示可通过砖块
 * (6,5)为默认终点,(1,1)为默认起点
 * @return
 */
public static int[][] getMap(){
    int[][] map = new int[8][7];
    //上下全置为1
    for(int i = 0;i <7 ;i++){
        map[0][i] = 1;
        map[7][i] = 1;
    }
    //左右全置为1
    for(int i = 0;i < 8;i++){
        map[i][0] = 1;
        map[i][6] = 1;
    }
    //设置挡板
    map[3][1] = 1;
    map[3][2] = 1;

    //输出地图
    System.out.println("地图的初始情况:");
    showMap(map);

    return map;
}

/**
 * 展示地图
 * @param map
 */
public static void showMap(int[][] map) {
    for(int i = 0;i < 8;i++){
        for(int j = 0;j < 7;j++){
            System.out.print(map[i][j] + " ");
        }
        System.out.println();
    }
}

3.2 寻路逻辑的实现

对于这个寻路程序,我们可以看见,往四个方向走的过程实际上除了方向外动作上是一样的;而具体分析同一个方向,每走过一个坐标的动作也是一样的,我们对流程进行分析:

  1. 出发,先往下走,判断下一格有没有障碍(int[x][y]==1
  2. 如果没有障碍,就继续往下走,然后重复步骤1到碰到障碍为止
  3. 如果有障碍,就按“下-右-上-左”的顺序,换个方向,然后重复步骤1到碰到障碍为止
  4. 如果找到了(6,5)就结束

表现为代码实际上就是一个递归的过程:

  • 找路是方法体
  • 找到了(6,5)或者死胡同是终止条件
/**
 * 给定起始点,根据地图找路
 * 使用2表示可以走通的路,使用3表示走过但是不通的路
 * @param map 地图二维数组
 * @param x 起始点横坐标
 * @param y 起始点纵坐标
 * @return
 */
public static boolean findWay(int[][] map, int x, int y) {
    //如果走到了终点就终止
    if (map[6][5] == 2){
        return true;
    }else {
        //只有为0的路才能通过
        if (map[y][x] == 0) {
            //如果该点可以走通就打上标记
            map[y][x] = 2;
            if (findWay(map, x, y + 1)) {
                //向下递归
                return true;
            } else if (findWay(map, x + 1, y)) {
                //向右递归
                return true;
            } else if (findWay(map, x, y - 1)) {
                //向上递归
                return true;
            } else if (findWay(map, x - 1, y)) {
                //向左递归
                return true;
            } else {
                //都走不通说明是死胡同
                map[y][x] = 3;
                return false;
            }
        }else {
            //不为0说明要么是死路要么是障碍
            return false;
        }
    }
}

3.3 运行结果

八皇后问题递归算法思想_迷宫在数据结构中的地位八皇后问题递归算法思想_迷宫在数据结构中的地位

findWay()方法中的终止条件从map[6][5] == 2换成其他坐标即可更换终点位置,

棋盘大小和障碍物位置不影响findWay()方法寻路。

二、八皇后问题

1.问题

皇后问题,一个古老而著名的问题,是回溯算法的典型案例。该问题由国际西洋棋棋手马克斯·贝瑟尔于 1848 年提出:

在 8×8 格的国际象棋上摆放八个皇后,使其不能互相攻击,即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上,求有多少种摆法?

八皇后问题递归算法思想_迷宫在数据结构中的地位

2.解题思路

  1. 首先,我们先使用一个长度为8数组来表示八皇后的摆放位置,数组下标+1即表示棋盘的第几行数组下标对应的存放的数字+1即为棋盘的第几列。举个例子:

    arr = {0,2,3,8,4,6,2,7}

    其中,元素0下标为0,即表示第一行第一列;元素2下标为1,即表示第二行第三列……以此类推。

  2. 任意假设任意坐标分标为(x1,y1),(x2,y2),也就是用数组表示为arr[x1]=y1,arr[x2]=y2的两个皇后不允许在同一列,我们可以理解为:

    arr[x1] != arr[x2];

    而任意坐标的皇后不允许在同一斜线,即(x2-x1)=(y2-y1),也就是斜率不应当相同,我们可以理解为:

    Math.abs(x2-x1) != Math.abs(arr[x2]-arr[x1])

    (注:Math.abs()为求绝对值方法)

3.代码实现

3.1 检查摆放位置的代码实现

在前面明确了如何用数组表示位置,以及如何检查皇后是否允许摆放后,我们有如下代码:

//表示皇后位置的数组
int[] arr = new int[8];

/**
 * 检查第n个皇后是否与前面摆放的皇后冲突
 * @param n
 * @return
 */
public boolean check(int n) {
    //检查第n层之前的皇后位置
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        // arr[i] == arr[n] 检查是否同一列
        // Math.abs(n - i) == Math.abs(arr[n] - arr[i]) 检查是否同一斜线
        if (arr[i] == arr[n] ||
            Math.abs(n - i) == Math.abs(arr[n] - arr[i])) {
            return false;
        }
    }
    return true;
}

3.2 完整代码

接着我们需要考虑如何使用递归方法来做到以下效果:

使用一个方法遍历第n行的每一列,检查每一列是否可以放置皇后:

  1. 如果可以放置皇后,将位置出入arr[n]中,然后递归调用自己,传入n+1开始遍历下一行…..以此类推
  2. 如果不可以放置皇后,就跳过该列检查下一列,如果可以就重复步骤1
  3. 若n行中全部位置都不合适,则结束本层返回上一层n-1层,重复步骤1
  4. 如果最后n=8,即八个皇后全部放置完毕,记一次完成摆放,然后结束递归返回第一层,继续检查第一层的下一列

最终代码实现结果如下:

/**
 * @Author:黄成兴
 * @Date:2020-06-26 20:53
 * @Description:八皇后问题
 */
public class EightQueens {

    public static void main(String[] args) {
        EightQueens eightQueens = new EightQueens();
        eightQueens.set(0);
        System.out.println("共有摆法:" + eightQueens.count);
    }

    //记录八皇后有几种摆法
    int count = 0;

    //表示皇后位置的数组
    int[] arr = new int[8];

    /**
     * 摆放皇后
     * @param n 第几个皇后
     */
    private void set(int n) {
        //如果放置好了第8个皇后
        if (n == 8){
            show();
            //记录一种摆放方式
            count++;
            //回到第一层继续递归
            return;
        }

        //遍历第n行的每一列
        for (int i = 0; i < 8; i++) {
            //将该皇后放置在第n行第i列
            arr[n] = i;
            //检查放置位置是否合适
            if (check(n)){
                //如果位置合适,就递归找下一个(n+1)皇后的摆放位置
                set(n + 1);
            }
            //如果位置不合适,就跳过这一列检查下一列
        }
    }

    /**
     * 检查第n个皇后是否与前面摆放的皇后冲突
     * @param n
     * @return
     */
    public boolean check(int n) {
        //检查第n层之前的皇后位置
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            // arr[i] == arr[n] 检查是否同一列
            // Math.abs(n - i) == Math.abs(arr[n] - arr[i]) 检查是否同一斜线
            if (arr[i] == arr[n] ||
                Math.abs(n - i) == Math.abs(arr[n] - arr[i])) {
                return false;
            }
        }
        return true;
    }
    

    /**
     * 展示某一摆法中八皇后的摆放位置
     */
    public void show() {
        for (int i : arr) {
            System.out.print(i + " ");
        }
        System.out.println();
    }
}
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